「等差数列」について
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（4ページ目：全132問中31問～40問を表示）
私立 自治医科大学 2015年 第13問$x-6,\ x,\ y$がこの順で等比数列であり，$x-9,\ x,\ y-x$がこの順で等差数列であるとする（$x>6$，$y>0$，$x,\ y$は実数）．$\displaystyle \frac{3y}{x}$の値を求めよ．
私立 東京理科大学 2015年 第1問数列$\{a_n\}$を初項$5 \log_2 3$，公差$\displaystyle -\frac{1}{2} \log_2 3-\frac{1}{2}$の等差数列とする．このとき，
(1)$\displaystyle a_{10}=\frac{[ア]}{[イ]} \log_2 3-\frac{[ウ]}{[エ]},\quad a_{11}=-[オ]$
である．
(2)数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=2^{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定めると，これは初項$[カ][キ][ク]$，公比$\displaystyle \frac{\sqrt{[ケ]}}{[コ]}$の等比数列となる．
(3)数列$\{a_n\}$はある$n$より先は負となる．$a_n$が負となる最初の$n$は$[サ]$である．
(1)$\displaystyle a_{10}=\frac{[ア]}{[イ]} \log_2 3-\frac{[ウ]}{[エ]},\quad a_{11}=-[オ]$
である．
(2)数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=2^{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定めると，これは初項$[カ][キ][ク]$，公比$\displaystyle \frac{\sqrt{[ケ]}}{[コ]}$の等比数列となる．
(3)数列$\{a_n\}$はある$n$より先は負となる．$a_n$が負となる最初の$n$は$[サ]$である．
私立 立教大学 2015年 第2問図のように$\angle \mathrm{ACB}$が直角である直角三角形$\mathrm{ABC}$があり，$a=\mathrm{BC}$，$b=\mathrm{CA}$，$c=\mathrm{AB}$，$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$，$\displaystyle t=\tan \frac{\theta}{2}$とする．このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \frac{a}{c},\ \frac{b}{c}$をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{b}{a+c}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \frac{b}{c}=\frac{12}{13}$となる$t$の値を求めよ．
(4)$a,\ b,\ c$を適当に並び換えると等差数列になるときの$\displaystyle \frac{a}{c},\ \frac{b}{c}$の値の組をすべて求めよ．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \frac{a}{c},\ \frac{b}{c}$をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{b}{a+c}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \frac{b}{c}=\frac{12}{13}$となる$t$の値を求めよ．
(4)$a,\ b,\ c$を適当に並び換えると等差数列になるときの$\displaystyle \frac{a}{c},\ \frac{b}{c}$の値の組をすべて求めよ．
私立 中京大学 2015年 第1問等差数列$\{a_n\}$の初項から第$6$項までの和が$42$，$a_{30}=3a_{10}$であるとき，$a_1=[ア]$であり，$a_{13}=[イウ]$である．
私立 北海道薬科大学 2015年 第2問次の各設問に答えよ．
(1)数列$10,\ 22,\ 41,\ 74,\ \cdots$は，初項が$[ア]$，公差が$[イ]$の等差数列と，初項が$[ウ]$，公比が$[エ]$の等比数列の和で表すことができる．
(2)$a,\ b$を正の実数として，$xy$平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{P}(a,\ 8)$，$\mathrm{Q}(b,\ 0)$をとる．$\angle \mathrm{OPQ}={90}^\circ$の三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は，$a=[オ]$，$b=[カキ]$のとき，最小値$[クケ]$をとる．
(1)数列$10,\ 22,\ 41,\ 74,\ \cdots$は，初項が$[ア]$，公差が$[イ]$の等差数列と，初項が$[ウ]$，公比が$[エ]$の等比数列の和で表すことができる．
(2)$a,\ b$を正の実数として，$xy$平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{P}(a,\ 8)$，$\mathrm{Q}(b,\ 0)$をとる．$\angle \mathrm{OPQ}={90}^\circ$の三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は，$a=[オ]$，$b=[カキ]$のとき，最小値$[クケ]$をとる．
私立 東邦大学 2015年 第2問等差数列$\{a_n\}$が，$a_{15}+a_{23}=-240$，$a_{19}+a_{20}+a_{21}=-318$を満たしている．このとき，公差は$[ウエ]$であり，和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$は$n=[オカ]$のとき最小となる．
私立 西南学院大学 2015年 第4問$p$を定数とする．等差数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が
\[ S_n=pn^2-8pn+p+4 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で表される．このとき，$p=[ホマ]$である．また，$\{a_n\}$の初項は$[ミム]$，公差は$[メモ]$であり，$S_n$は$n=[ヤ]$のとき最大となる．
\[ S_n=pn^2-8pn+p+4 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で表される．このとき，$p=[ホマ]$である．また，$\{a_n\}$の初項は$[ミム]$，公差は$[メモ]$であり，$S_n$は$n=[ヤ]$のとき最大となる．
私立 同志社大学 2015年 第1問次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ．
(1)整式$P(x)$は$(x-2)(x+3)$で割ると余りは$5x-2$であり，$(x-2)(x-3)$で割ると余りは$-x+10$である．このとき，$P(x)$を$(x+3)(x-3)$で割ると余りは$([ア])x+([イ])$である．
(2)初項が$a_1=-24$で公差が$12$の等差数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$は$S_n=[ウ]$である．また，数列$\{b_n\}$の初項$b_1$から第$n$項までの和$T_n$が$T_n=5^n-1$のとき，一般項は$b_n=[エ]$である．このとき，初項が$c_1=-1$で漸化式
\[ c_{n+1}=c_n+S_n-b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定まる数列$\{c_n\}$の一般項は$c_n=[オ]$である．
(3)曲線$C:y=|x^2-4x-5|$と直線$\ell:y=k$の共有点の個数は$3$個である．このとき，実数$k$の値は$k=[カ]$であり，直線$\ell$と曲線$C$で囲まれた図形の面積は$[キ]$である．
(4)$1$個のサイコロを$3$回投げる．出た目の最大値が$5$となる確率は$[ク]$である．出た目の最大値が$5$，かつ最小値が$1$となる確率は$[ケ]$である．$3$つの出た目の積が$2$の倍数であり，かつ$3$の倍数でない確率は$[コ]$である．
(1)整式$P(x)$は$(x-2)(x+3)$で割ると余りは$5x-2$であり，$(x-2)(x-3)$で割ると余りは$-x+10$である．このとき，$P(x)$を$(x+3)(x-3)$で割ると余りは$([ア])x+([イ])$である．
(2)初項が$a_1=-24$で公差が$12$の等差数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$は$S_n=[ウ]$である．また，数列$\{b_n\}$の初項$b_1$から第$n$項までの和$T_n$が$T_n=5^n-1$のとき，一般項は$b_n=[エ]$である．このとき，初項が$c_1=-1$で漸化式
\[ c_{n+1}=c_n+S_n-b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定まる数列$\{c_n\}$の一般項は$c_n=[オ]$である．
(3)曲線$C:y=|x^2-4x-5|$と直線$\ell:y=k$の共有点の個数は$3$個である．このとき，実数$k$の値は$k=[カ]$であり，直線$\ell$と曲線$C$で囲まれた図形の面積は$[キ]$である．
(4)$1$個のサイコロを$3$回投げる．出た目の最大値が$5$となる確率は$[ク]$である．出た目の最大値が$5$，かつ最小値が$1$となる確率は$[ケ]$である．$3$つの出た目の積が$2$の倍数であり，かつ$3$の倍数でない確率は$[コ]$である．
私立 東北工業大学 2015年 第3問以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle (8^{\frac{1}{4}}-3^{-\frac{1}{4}})(8^{\frac{1}{4}}+3^{-\frac{1}{4}})(8^{\frac{1}{2}}+3^{-\frac{1}{2}})=\frac{[ナ][ニ]}{3}$
(2)$\log_2 72-3 \log_4 9+2 \log_4 6=[ヌ][ネ]$
(3)赤，白，青のカードが$4$枚ずつあり，各色ごとに$1$から$4$までの番号が$1$つずつ書かれている．$12$枚のカードをよくまぜてから同時に$3$枚取り出す．$3$枚の番号がすべて異なる確率は$\displaystyle \frac{[ノ][ハ]}{55}$．
(4)$\mathrm{O}$を原点とし，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の位置ベクトルが$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=2 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(t-6) \overrightarrow{a}+(t+1) \overrightarrow{b}$であるとする（$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$は零ベクトルではなく，たがいに平行ではないものとする．$t$は実数とする．）．$t=[ヒ][フ]$のとき$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は一直線上にある．
(5)初項$-100$，公差$7$の等差数列において，第$[ヘ][ホ]$項で初めて$500$以上になる．
(1)$\displaystyle (8^{\frac{1}{4}}-3^{-\frac{1}{4}})(8^{\frac{1}{4}}+3^{-\frac{1}{4}})(8^{\frac{1}{2}}+3^{-\frac{1}{2}})=\frac{[ナ][ニ]}{3}$
(2)$\log_2 72-3 \log_4 9+2 \log_4 6=[ヌ][ネ]$
(3)赤，白，青のカードが$4$枚ずつあり，各色ごとに$1$から$4$までの番号が$1$つずつ書かれている．$12$枚のカードをよくまぜてから同時に$3$枚取り出す．$3$枚の番号がすべて異なる確率は$\displaystyle \frac{[ノ][ハ]}{55}$．
(4)$\mathrm{O}$を原点とし，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の位置ベクトルが$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=2 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(t-6) \overrightarrow{a}+(t+1) \overrightarrow{b}$であるとする（$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$は零ベクトルではなく，たがいに平行ではないものとする．$t$は実数とする．）．$t=[ヒ][フ]$のとき$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は一直線上にある．
(5)初項$-100$，公差$7$の等差数列において，第$[ヘ][ホ]$項で初めて$500$以上になる．
私立 東京都市大学 2015年 第2問次の問に答えよ．
(1)初項$\log_{10}5$，公差$\log_{10}3$の等差数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．さらに，$a_n<4$をみたす最大の自然数$n$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{2x-3}{x-2}$に対し，合成関数$f(f(f(x)))$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$の値を求めよ．
(1)初項$\log_{10}5$，公差$\log_{10}3$の等差数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．さらに，$a_n<4$をみたす最大の自然数$n$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{2x-3}{x-2}$に対し，合成関数$f(f(f(x)))$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$の値を求めよ．