3次関数$f(x)=x^3-3ax^2 \ (a>0)$と，曲線$C:y=f(x) \ (-\infty<x<\infty)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$の変曲点における接線の式を求めよ．
(2)曲線$C$はこの変曲点に関して対称であることを示せ．
(3)$b,\ c$は実数とする．3次方程式$x^3-3ax^2=bx-c$が3つの解をもち，それらの解が等差数列をなすとき，$c$を$a,\ b$の式で表せ．
(4)(3)において，等差数列の公差が$2 \sqrt{3}$に等しいとする．このとき，3次関数$f(x)-bx+c$の極値を求めよ．

座標平面の$x$軸の正の部分を始線にとり，角${\theta_n}^\circ \geqq 0 \ $(度数法)の動径と単位円との交点を$\mathrm{P}_n$とする．$\theta_1=0$のとき，次の問いに答えよ．

(1)$\{ \theta_n \}$は等差数列とする．$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{10}$が単位円の周上を正の向きにちょうど$1$周して$\mathrm{P}_{10}=\mathrm{P}_1$となるとき，数列$\{ \theta_n \}$の公差を求めよ．
(2)$\{ \theta_n \}$は，$\theta_{n+1}-\theta_n=n+d$を満たす数列とする．$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_k \ (k \geqq 2)$が単位円の周上を正の向きにちょうど$1$周して$\mathrm{P}_k=\mathrm{P}_1$となるとき，$d$を$k$を用いて表せ．
(3)$\{ \theta_n \}$は，(2)の数列とする．$k=6$のとき，$\mathrm{P}_n=\mathrm{P}_1$を満たす$n \ (n \geqq 7)$をひとつ求めよ．

自然数$n$に対して，$\{a_n\}$は初項$a$，一般項$a_n$の数列であり，$\{b_n\}$ \\
は初項$b$，一般項$b_n$の数列である．座標平面上の点$\mathrm{P}_n(a_n,\ b_n)$， \\
点$\mathrm{P}_{n+1}(a_{n+1},\ b_{n+1})$と点$\mathrm{Q}_n(a_{n+1},\ b_n)$の座標は数列$\{a_n\}$と \\
$\{b_n\}$によって与えられる．また，点$\mathrm{P}_n$と点$\mathrm{P}_{n+1}$を通る直線の傾 \\
き$g_n$と$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{Q}_n$の面積$h_n$は，それぞれ$g_n=cb_n,\ h_n=dg_n$で定義され，各点の位置関係は右図のようになる．ここで，$h_n$を一般項とする数列を$\{h_n\}$で表し，また，$d>0$，任意の$n$について$a_{n+1}>a_n,\ h_n>0$と仮定する．
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(1)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$と$\{h_n\}$の中から等差数列と等比数列を見つけ，それぞれの公差または公比を$c$と$d$で表しなさい．
(2)数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$について，それぞれの一般項と，初項から第$n$項までの和を$a,\ b,\ c,\ d$および$n$で表しなさい．
(3)$\displaystyle d=\frac{1}{2}$のとき，$c$の値の範囲を求めなさい．
(4)$\displaystyle b=1,\ d=\frac{1}{2},\ 4h_2-6h_1-1=0$のとき，$c$の値を求めなさい．
(5)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$と$\mathrm{Q}_1$の各点を用いて，$\alpha=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\beta=\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$，$\theta=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$と定義する．$\displaystyle b=1,\ c=\frac{2}{3},\ d=\frac{1}{2}$のとき，$\tan \alpha,\ \tan \beta$と$\tan \theta$を求めなさい．

$[ア]$～$[オ]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)整数$a,\ b$が$2a+3b=42$を満たすとき，$ab$の最大値は$[ア]$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=1$，$\mathrm{CA}=\sqrt{2}$とし，$\angle \mathrm{A}=\alpha$，$\angle \mathrm{B}=\beta$とする．正の整数$m,\ n$が$m\alpha + n\beta = \pi$を満たすとき，$m=[イ]$，$n=[ウ]$である．
(3)数列$\{a_n\}$は次の$3$つの条件を満たしている．

(i) $\{a_n\}$は等差数列で，その公差は$0$ではない．
(ii) $a_1=1$
(iii) 数列$a_3,\ a_6,\ a_{10}$は等比数列になっている．

このとき数列$\{a_n\}$の第$2010$項までの和$\displaystyle \sum_{n=1}^{2010}a_n$の値は$[エ]$である．
(4)四面体$\mathrm{ABCD}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DA}=1$を満たす．このような四面体の体積のとり得る最大値は$[オ]$である．

次の各問に答えよ．

(1)異なる$3$個のサイコロを同時に投げたとき，目の和が$5$の倍数になる場合は$[ア]$通りである．
(2)数列$\{a_n\}$は，初項が$2$，公差が$5$の等差数列であり，数列$\{b_n\}$は，初項が$1$，公比が$3$の等比数列である．このとき
\[ a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = \frac{[イ]+([ウ]n+[エ])3^n}{[オ]} \]
である．ただし，$[オ]$はできる限り小さい自然数で答えること．

数列$\{a_n\}$を初項$1$，公差$\displaystyle \frac{1}{2}$の等差数列，$\{b_n\}$を初項$2$，公比$\displaystyle \frac{1}{2}$の等比数列とし，$\{c_n\}$を$c_1=3$，$c_{n+1}-c_n=n+1$で定まる数列とする．また，$\mathrm{O}$を原点とする座標空間の点$(a_n,\ b_n,\ c_n)$を$\mathrm{P}_n$とする．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\left( \frac{[キ]}{[ク]} (n+[ケ]),\ 2^{[コ]-n},\ \frac{[サ]}{[シ]}(n^2+n+[ス]) \right)$である．

(2)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}=\left( \frac{[セ]}{[ソ]},\ -[タ]^{1-n},\ n+[チ] \right)$である．

(3)$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}|>100$となるような最小の自然数$n$は$[ツテ]$である．

$-10,\ a_1,\ \cdots,\ a_m,\ 20,\ b_1,\ \cdots,\ b_n,\ 30$がこの順に等差数列になっているとき，次の設問に答えよ．

(1)$n = 4$のとき，$b_1$および$m$の値を求めよ．
(2)$m,\ n$が変動するとき，$m$を$n$の式で表せ．
(3)この数列の和が490になるときの$n$の値を求めよ．

初項$a_1=2$および漸化式
\[ a_{n+1}=ra_n+(1-r)n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定義される数列$\{a_n\}$がある．ただし，$r \neq 0$とする．

(1)$b_n=a_{n+1}-a_n-1 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$を用いた式で表せ．さらに，数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．
(3)$c_n=a_{n+1}-2a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．数列$\{c_n\}$が等差数列となるような$r$の値を求めよ．

初項$-2$，公差$3$の等差数列の第$10$項は$[　]$である．また，この数列の初項から第$10$項までの和は$[　]$である．

初項$2$，公差$4$の等差数列$a_n$を
\[ \begin{array}{cccccc}
a_1 & a_2 & a_4 & a_7 & a_{11} & \cdots \\
a_3 & a_5 & a_8 & a_{12} & \cdots & \cdots \\
a_6 & a_9 & \swarrow & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{10} & \swarrow & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots
\end{array} \]
とならべて，これを
\[ \begin{array}{cccccc}
b(1,\ 1) & b(1,\ 2) & b(1,\ 3) & b(1,\ 4) & b(1,\ 5) & \cdots \\
b(2,\ 1) & b(2,\ 2) & b(2,\ 3) & b(2,\ 4) & \cdots & \cdots \\
b(3,\ 1) & b(3,\ 2) & \swarrow & \cdots & \cdots & \cdots \\
b(4,\ 1) & \swarrow & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots
\end{array} \]
と表す．例えば$a_1=b(1,\ 1)$である．このとき，次の問に答えなさい．

(1)このとき，$b(1,\ 2)=[ア]$である．
(2)$1$行目の$l$番目の数は$b(1,\ l)=[イ]l^2-[ウ]l+[エ]$である．
(3)$1$行目の$1$番目の数から$1$行目の$k$番目の数までの和は
\[ \sum_{l=1}^k b(1,\ l)=\frac{[オ]k \left( k^{[カ]}+[キ] \right)}{[ク]} \]
である．
(4)$k$行目の$l$番目の数は
\[ b(k,\ l)=[ケ]k^2+[コ]l^2+[サ]kl-[シ]k-[ス]l+[セ] \]
である．
(5)$1$行目から$n$行目までの$1$番目の数から$n$番目の数までの和を$S(n)$とおく．このとき，$S(2)$は
\[ \begin{array}{cc}
b(1,\ 1) & b(1,\ 2) \\
b(2,\ 1) & b(2,\ 2) \\
\end{array} \]
の和なので$S(2)=[ソタ]$である．また，$\displaystyle S(k)=\frac{k^{[チ]} ([ツ]k^2-[テ])}{[ト]}$である．