次の$3$つの条件をすべて満たす$3$角形の$3$辺の長さを求めよ．

$(ⅰ)$ 最大角と最小角の差は$90^\circ$である．
$(ⅱ)$ $3$辺の長さを大きさの順に並べたものは等差数列である．
$(ⅲ)$ $3$辺の長さの和は$3$である．

次の空欄アに$①$～$④$のいずれかを記入せよ．また空欄イ～スに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)実数$x,\ y$に対して，$x^2+y^2 \leqq 1$は「$-1 \leqq x \leqq 1$かつ$-1 \leqq y \leqq 1$」であるための何条件かを，$①$「必要条件」，$②$「十分条件」，$③$「必要十分条件」，$④$「必要条件でも十分条件でもない」のうちから選択すると，$[ア]$となる．
(2)$3x^2-xy-2y^2-x+6y+k$が，$x,\ y$の整数係数の$1$次式の積に因数分解されるとき，$k=[イ]$である．
(3)$3$つの数$\log_2 x$，$\log_2 10$，$\log_2 20$がこの順で等差数列であるとき，$x=[ウ]$である．
(4)$\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots +\frac{1}{100 \cdot 101}=\frac{[エ]}{[オ]}$である．
(5)座標平面上の曲線$y=x^3+ax^2+bx$上の点$(2,\ 4)$における接線が$x$軸に平行であるとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$である．
(6)自宅から$2000 \; \mathrm{m}$離れている駅まで，はじめに毎分$80 \; \mathrm{m}$で歩き，途中から毎分$170 \; \mathrm{m}$で走るものとする．出発してから$16$分以内に駅に到着するには，歩きはじめてから$[ク]$分以内に走り出さなければならない．
(7)点$\mathrm{A}(2,\ 3)$，点$\mathrm{B}(p,\ q)$と原点$\mathrm{O}$がつくる三角形$\mathrm{OAB}$について，$\angle \mathrm{OAB}=90^\circ$のとき，$p,\ q$の満たす条件は$p \neq 2$かつ$p=[ケ]$である．
(8)実数$x,\ y,\ a,\ b$が条件$x^2+y^2=2$，および$a^2+b^2=3$を満たすとき，$ax+by$の最大値は$[コ]$で，最小値は$[サ]$である．
(9)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{10}i}{3}$とし，$x$と共役な複素数を$y$とするとき，$x^3+y^3=[シ]$となる．ただし，$i$は虚数単位とする．
\mon $\displaystyle \sin x+\sin y=\frac{1}{3}$，$\displaystyle \cos x-\cos y=\frac{1}{2}$のとき，$\cos (x+y)$の値は$[ス]$である．

第$5$項が$101$，第$10$項が$76$である等差数列がある．この数列の初項は$[　]$であり，初項から第$n$項までの和を最大にする$n$の値は$[　]$である．

$a$を実数とする．整式$f(x)=x^3+x^2-2x-a(x^2+x-2)$について，次の各問に答えよ．

(1)$f(x)$を因数分解せよ．
(2)方程式$f(x)=0$の$3$つの解をすべて求めよ．
(3)方程式$f(x)=0$の$3$つの解が等差数列をなすとき，$a$の値をすべて求めよ．
(4)方程式$f(x)=0$の$3$つの解が等比数列をなすとき，$a$の値をすべて求めよ．

等差数列$\{a_n\}$は$a_9=-5,\ a_{13}=6$を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)一般項$a_n$を求めよ．
(2)$a_n$が正となる最小の$n$を求めよ．
(3)第1項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．
(4)$S_n$が正となる最小の$n$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の連立不等式を解け．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
4x^2-4x-15<0 \\
x^2-2x \geqq 0
\end{array}
\right. \]
(2)鈍角三角形ABCにおいて，$\text{BC}=1,\ \text{CA}=\sqrt{3},\ \angle \text{A}=30^\circ$であるとき，ABの長さを求めよ．
(3)原点O，および3点A$(1,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 1,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ 1)$がある．$0<s<1$に対して，線分AB，線分CAを$s:(1-s)$に内分する点を，それぞれP，Qとするとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$を用いて表せ．
(4)方程式$\displaystyle \left( \log_2\sqrt{x}+\log_2x^2+\log_2\frac{1}{x} \right)^2=9$を解け．
(5)数列$1,\ a,\ b,\ c$はこの順に等差数列であり，数列$a,\ b,\ 1,\ c$はこの順に等比数列であるとする．このとき，$c=1$であることを示せ．

数列$\{a_n\}$を初項3，公比3の等比数列とし，数列$\{b_n\}$を初項11，公差8の等差数列とする．$\{a_n\}$と$\{b_n\}$に共通に含まれる項を小さいものから順に並べて得られる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

数列$\{a_n\}$を初項1，公差$\displaystyle \frac{2}{7}$の等差数列とするとき，次の問に答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$および初項から第$n$項までの和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を$n$を用いて表せ．
(2)実数$x$に対して，$m \leqq x$をみたす最大の整数$m$を$[\,x\,]$で表す．数列$\{b_n\}$を$b_n=[\,a_n\,]$で定めるとき，$b_7,\ b_{14},\ b_{15}$を求めよ．
(3)(2)で定めた数列$\{b_n\}$について，$b_{100}$および$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} b_k$を求めよ．

数列$\{a_n\}$を初項1，公差$\displaystyle \frac{2}{7}$の等差数列とするとき，次の問に答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$および初項から第$n$項までの和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を$n$を用いて表せ．
(2)実数$x$に対して，$m \leqq x$をみたす最大の整数$m$を$[\,x\,]$で表す．数列$\{b_n\}$を$b_n=[\,a_n\,]$で定めるとき，$b_7,\ b_{14},\ b_{15}$を求めよ．
(3)(2)で定めた数列$\{b_n\}$について，$b_{100}$および$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} b_k$を求めよ．

数列$\{a_n\}$を初項1，公差$\displaystyle \frac{2}{7}$の等差数列とするとき，次の問に答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$および初項から第$n$項までの和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を$n$を用いて表せ．
(2)実数$x$に対して，$m \leqq x$をみたす最大の整数$m$を$[\,x\,]$で表す．数列$\{b_n\}$を$b_n=[\,a_n\,]$で定めるとき，$b_7,\ b_{14},\ b_{15}$を求めよ．
(3)(2)で定めた数列$\{b_n\}$について，$b_{100}$および$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} b_k$を求めよ．