「等差数列」について
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公立 福岡女子大学 2012年 第1問$a$を定数とし，$f(x)=x^5-5x^3+ax$とする．方程式$f(x)=0$は異なる$5$つの実数解をもち，これらを$x_1<x_2<x_3<x_4<x_5$とする．この$5$つの解は等差数列をなしており，その総和は$0$である．次の問に答えなさい．
(1)$x_3=0$を示せ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)$x_1,\ x_2,\ x_4,\ x_5$を求めよ．
(1)$x_3=0$を示せ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)$x_1,\ x_2,\ x_4,\ x_5$を求めよ．
公立 福岡女子大学 2012年 第1問$a$を定数とし，$f(x)=x^5-5x^3+ax$とする．方程式$f(x)=0$は異なる$5$つの実数解をもち，これらを$x_1<x_2<x_3<x_4<x_5$とする．この$5$つの解は等差数列をなしており，その総和は$0$である．次の問に答えなさい．
(1)$x_3=0$を示せ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)$x_1,\ x_2,\ x_4,\ x_5$を求めよ．
(1)$x_3=0$を示せ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)$x_1,\ x_2,\ x_4,\ x_5$を求めよ．
公立 北九州市立大学 2012年 第1問初項が$5$で，初項から第$5$項までの和が$45$となる等差数列を$\{a_n\}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．
(3)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n$の中から異なる$2$つの項を取り出して作った積すべての和$T_n$を求めよ．
(4)$a_2 \leqq b_2 \leqq a_3$，$a_6 \leqq b_4 \leqq a_7$，$a_7 \leqq b_5 \leqq a_8$を満たすすべての等差数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．ただし，数列$\{b_n\}$の初項と公差は自然数とする．
(5)数列$\{a_n\}$と$(4)$で求めたすべての数列$\{b_n\}$に共通に現れる数を小さい方から順に並べてできる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．
(3)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n$の中から異なる$2$つの項を取り出して作った積すべての和$T_n$を求めよ．
(4)$a_2 \leqq b_2 \leqq a_3$，$a_6 \leqq b_4 \leqq a_7$，$a_7 \leqq b_5 \leqq a_8$を満たすすべての等差数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．ただし，数列$\{b_n\}$の初項と公差は自然数とする．
(5)数列$\{a_n\}$と$(4)$で求めたすべての数列$\{b_n\}$に共通に現れる数を小さい方から順に並べてできる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
国立 信州大学 2011年 第1問$3$つの数列$\{x_n\},\ \{y_n\},\ \{z_n\}$は次の$4$つの条件をみたすとする．
(1)$x_1 = a,\ x_2 = b,\ x_3 = c,\ x_4 = 4,\ y_1 = c,\ y_2 = a,\ y_3 = b$
(2)$\{y_n\}$は$\{x_n\}$の階差数列である．
(3)$\{z_n\}$は$\{y_n\}$の階差数列である．
(4)$\{z_n\}$は等差数列である．
このとき，数列$\{x_n\},\ \{y_n\},\ \{z_n\}$の一般項を求めよ．
(1)$x_1 = a,\ x_2 = b,\ x_3 = c,\ x_4 = 4,\ y_1 = c,\ y_2 = a,\ y_3 = b$
(2)$\{y_n\}$は$\{x_n\}$の階差数列である．
(3)$\{z_n\}$は$\{y_n\}$の階差数列である．
(4)$\{z_n\}$は等差数列である．
このとき，数列$\{x_n\},\ \{y_n\},\ \{z_n\}$の一般項を求めよ．
国立 滋賀大学 2011年 第1問$n$を$3$以上の整数とする．$2n$個の整数$1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 2n$から無作為に異なる$3$個の数を選ぶとき，次の問いに答えよ．
(1)$3$個の数を小さい順に並べた数列が，公差$2$の等差数列である選び方は何通りあるか．
(2)$3$個の数を小さい順に並べた数列が，等差数列である確率を求めよ．
(1)$3$個の数を小さい順に並べた数列が，公差$2$の等差数列である選び方は何通りあるか．
(2)$3$個の数を小さい順に並べた数列が，等差数列である確率を求めよ．
国立 岩手大学 2011年 第3問$\{a_n\}$は，初項$a_1=-1$，公差$d$の等差数列で，$\{b_n\}$は，初項$b_1=2011$，公比$r$の等比数列とする．ただし，$d \neq 0,\ r \neq 0$とする．これらの数列が
\[ a_nb_{n-1}+3b_na_{n-1}-2b_{n-1}=0 \quad (n \geqq 2) \]
を満たしているとき，次の問いに答えよ．
(1)$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$|b_n|<|a_n|$となる最小の$n$の値を求めよ．
\[ a_nb_{n-1}+3b_na_{n-1}-2b_{n-1}=0 \quad (n \geqq 2) \]
を満たしているとき，次の問いに答えよ．
(1)$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$|b_n|<|a_n|$となる最小の$n$の値を求めよ．
国立 岩手大学 2011年 第3問$\{a_n\}$は，初項$a_1=-1$，公差$d$の等差数列で，$\{b_n\}$は，初項$b_1=2011$，公比$r$の等比数列とする．ただし，$d \neq 0,\ r \neq 0$とする．これらの数列が
\[ a_nb_{n-1}+3b_na_{n-1}-2b_{n-1}=0 \quad (n \geqq 2) \]
を満たしているとき，次の問いに答えよ．
(1)$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$|b_n|<|a_n|$となる最小の$n$の値を求めよ．
\[ a_nb_{n-1}+3b_na_{n-1}-2b_{n-1}=0 \quad (n \geqq 2) \]
を満たしているとき，次の問いに答えよ．
(1)$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$|b_n|<|a_n|$となる最小の$n$の値を求めよ．
国立 愛知教育大学 2011年 第3問数列$\{a_n\}$を初項$a_1=1$，公差が2の等差数列とし，数列$\{b_n\}$は初項$b_1=1$で$b_{n+1}-b_n=a_n$を満たすとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．
(3)4以上の自然数$n$に対して$S_{n+1}<2S_n$が成立することを証明せよ．
(1)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．
(3)4以上の自然数$n$に対して$S_{n+1}<2S_n$が成立することを証明せよ．
国立 宇都宮大学 2011年 第2問数列$\{a_n\}$は$a_1=2,\ a_2=2$をみたすとする．$\{a_n\}$の階差数列を$\{b_n\}$とし，$\{b_n\}$の階差数列を$\{c_n\}$とする．数列$\{c_n\}$が$c_1=1$をみたす公差3の等差数列であるとき，次の問いに答えよ．
(1)数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(1)数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
国立 帯広畜産大学 2011年 第1問自然数$n$について，$\{a_n\}$は初項$a$，公差$d$の等差数列であり，$\{b_n\}$は初項$b$，公比$r$の等比数列である．数列$\{a_n\}$の一般項を$a_n$で表し，その初項から第$n$項までの和を$S_a$とする．また，数列$\{b_n\}$の一般項を$b_n$で表し，その初項から第$n$項までの和を$S_b$とする．次の各問に解答しなさい．
(1)$d=2a,\ a \neq 0$とする．
(i) $d$と$n$を用いて$a_n$を表しなさい．また，$a$と$n$を用いて$S_a$を表しなさい．
(ii) 不等式$6a_n<a_{n+1}+27d$および$2a_n>a_{n+1}$を満たすすべての$n$の値を求めなさい．
(2)$r=2b+1,\ b \neq 0$とする．
(i) $b$と$n$を用いて$b_n$を表しなさい．また，$r$と$n$を用いて$S_b$を表しなさい．
(ii) $\displaystyle \log_2 b_n > \log_2 b_{n+1}+\frac{1}{2}$であるとき，$r$の値の範囲を求めなさい．
(3)$A$と$B$はいずれも$2 \times 2$行列であり，それぞれ$A=\left( \begin{array}{cc}
d & 2d-1 \\
1 & d
\end{array} \right),\ B=A^2$と定義される．また，行列$B$の$(1,\ 1)$成分を$g$とし，行列$A$が与えられたときの$a$と$b$の関係は次の連立1次方程式を満たすものとする．
\[ A \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
-9 \\
1
\end{array} \right) \]
(i) $d$を用いて$g$を表しなさい．また，$g$が最小値をとるときの$d$の値を求めなさい．
(ii) $g$が最小値をとるとき，$A$の逆行列$A^{-1}$を求め，さらに$a$と$b$の値を求めなさい．また，$r \neq 1,\ r>0,\ n=3$および$S_a=2S_b$であるとき，$S_a$と$r$の値を求めなさい．
(1)$d=2a,\ a \neq 0$とする．
(i) $d$と$n$を用いて$a_n$を表しなさい．また，$a$と$n$を用いて$S_a$を表しなさい．
(ii) 不等式$6a_n<a_{n+1}+27d$および$2a_n>a_{n+1}$を満たすすべての$n$の値を求めなさい．
(2)$r=2b+1,\ b \neq 0$とする．
(i) $b$と$n$を用いて$b_n$を表しなさい．また，$r$と$n$を用いて$S_b$を表しなさい．
(ii) $\displaystyle \log_2 b_n > \log_2 b_{n+1}+\frac{1}{2}$であるとき，$r$の値の範囲を求めなさい．
(3)$A$と$B$はいずれも$2 \times 2$行列であり，それぞれ$A=\left( \begin{array}{cc}
d & 2d-1 \\
1 & d
\end{array} \right),\ B=A^2$と定義される．また，行列$B$の$(1,\ 1)$成分を$g$とし，行列$A$が与えられたときの$a$と$b$の関係は次の連立1次方程式を満たすものとする．
\[ A \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
-9 \\
1
\end{array} \right) \]
(i) $d$を用いて$g$を表しなさい．また，$g$が最小値をとるときの$d$の値を求めなさい．
(ii) $g$が最小値をとるとき，$A$の逆行列$A^{-1}$を求め，さらに$a$と$b$の値を求めなさい．また，$r \neq 1,\ r>0,\ n=3$および$S_a=2S_b$であるとき，$S_a$と$r$の値を求めなさい．