「等分」について
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私立 東北学院大学 2010年 第2問一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．線分$\mathrm{AB}$を$3$等分した点を，点$\mathrm{A}$に近い方から$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．また点$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$を$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=2 \overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=l \overrightarrow{\mathrm{OD}}$を満たすものとする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{F}$が線分$\mathrm{BE}$上にあるとき$l$の値を求めよ．
(3)$(2)$のとき面積比$\triangle \mathrm{EOF}:\triangle \mathrm{BDF}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{F}$が線分$\mathrm{BE}$上にあるとき$l$の値を求めよ．
(3)$(2)$のとき面積比$\triangle \mathrm{EOF}:\triangle \mathrm{BDF}$を求めよ．
私立 南山大学 2010年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)$2$次関数$y=(x+1)^2+[ア]$のグラフを$x$軸方向に$[イ]$，$y$軸方向に$-3$だけ平行移動すると，$2$次関数$y=x^2-6x+8$のグラフになる．
(2)$x^2-4x+1=0$の解のひとつを$\alpha$とするとき
\[ \alpha+\frac{1}{\alpha}=[ウ],\quad \alpha^2+\frac{1}{\alpha^2}=[エ] \]
である．
(3)放物線$C:y=-2x^2+10x-8$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$は，直線$y=kx-k$（$k$は定数）で$2$等分される．このとき，$S=[オ]$であり，$k=[カ]$である．
(4)実数$x,\ t$に対して
\[ \log_2(x+2^t)=2t-3 \]
が成り立つとする．$t=4$のとき$x$の値は$[キ]$であり，$x=-2$のとき$t$の値は$[ク]$である．
(5)三角形$\mathrm{ABC}$において
\[ \sin^2 A+\sin^2 B=\sin^2 C \quad \text{かつ} \quad 5 \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B} \]
であるとき，$\angle \mathrm{A}=[ケ]^\circ$であり，分母を有理化すると$\tan^2 A=[コ]$である．
(1)$2$次関数$y=(x+1)^2+[ア]$のグラフを$x$軸方向に$[イ]$，$y$軸方向に$-3$だけ平行移動すると，$2$次関数$y=x^2-6x+8$のグラフになる．
(2)$x^2-4x+1=0$の解のひとつを$\alpha$とするとき
\[ \alpha+\frac{1}{\alpha}=[ウ],\quad \alpha^2+\frac{1}{\alpha^2}=[エ] \]
である．
(3)放物線$C:y=-2x^2+10x-8$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$は，直線$y=kx-k$（$k$は定数）で$2$等分される．このとき，$S=[オ]$であり，$k=[カ]$である．
(4)実数$x,\ t$に対して
\[ \log_2(x+2^t)=2t-3 \]
が成り立つとする．$t=4$のとき$x$の値は$[キ]$であり，$x=-2$のとき$t$の値は$[ク]$である．
(5)三角形$\mathrm{ABC}$において
\[ \sin^2 A+\sin^2 B=\sin^2 C \quad \text{かつ} \quad 5 \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B} \]
であるとき，$\angle \mathrm{A}=[ケ]^\circ$であり，分母を有理化すると$\tan^2 A=[コ]$である．
私立 東京電機大学 2010年 第6問平面上に$4$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(4,\ 1)$，$\mathrm{C}(4,\ 4)$，$\mathrm{D}(1,\ 4)$をとる．また$a>0$とし，$y=a^2x^2$で定まる放物線を$T$とする．ただし，$T$は辺$\mathrm{CD}$と交点をもつものとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a$の範囲を求めよ．
(2)$T$が四角形$\mathrm{ABCD}$を$2$つに分割するとき，$T$よりも右側にある部分の面積を$S$とする．$S$を$a$の関数で表せ．
(3)$T$が四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を$2$等分するときの$a$の値を求めよ．
(1)$a$の範囲を求めよ．
(2)$T$が四角形$\mathrm{ABCD}$を$2$つに分割するとき，$T$よりも右側にある部分の面積を$S$とする．$S$を$a$の関数で表せ．
(3)$T$が四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を$2$等分するときの$a$の値を求めよ．
私立 津田塾大学 2010年 第1問次の問に答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$とする．関数$y=x-\sin 2x$の最大値を求めよ．
(2)円周上を$9$等分する点を$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\cdots$，$\mathrm{A}_9$とする．このとき，これらの点を頂点とする正三角形は何個あるか．また，正三角形でない二等辺三角形は何個あるか．
(3)関数$y=|\abs{x-1|-2}$のグラフを描け．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$とする．関数$y=x-\sin 2x$の最大値を求めよ．
(2)円周上を$9$等分する点を$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\cdots$，$\mathrm{A}_9$とする．このとき，これらの点を頂点とする正三角形は何個あるか．また，正三角形でない二等辺三角形は何個あるか．
(3)関数$y=|\abs{x-1|-2}$のグラフを描け．
私立 広島工業大学 2010年 第7問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とおく．このとき，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=2$，$\mathrm{AD}=\mathrm{BD}$とする．
(1)辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(1)辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
公立 首都大学東京 2010年 第2問長さ$2$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする半円周を点$\mathrm{A} = \mathrm{P}_0,\ \mathrm{P}_1,\ \cdots,\ \mathrm{P}_{n-1},\ \mathrm{P}_n = \mathrm{B}$で$n$等分する．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)三角形$\mathrm{AP}_k \mathrm{B}$の三辺の長さの和$\mathrm{AP}_k + \mathrm{P}_k \mathrm{B}+ \mathrm{BA}$を$l_n(k)$とおく．$l_n(k)$を求めなさい．
(2)極限値$\displaystyle \alpha = \lim_{n \to \infty} \frac{l_n(1) +l_n(2) + \cdots + l_n(n)}{n}$を求めなさい．
(1)三角形$\mathrm{AP}_k \mathrm{B}$の三辺の長さの和$\mathrm{AP}_k + \mathrm{P}_k \mathrm{B}+ \mathrm{BA}$を$l_n(k)$とおく．$l_n(k)$を求めなさい．
(2)極限値$\displaystyle \alpha = \lim_{n \to \infty} \frac{l_n(1) +l_n(2) + \cdots + l_n(n)}{n}$を求めなさい．
公立 兵庫県立大学 2010年 第4問直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}=90^\circ$，$\mathrm{AB}=a$，$\mathrm{AC}=b$，$\angle \mathrm{A}$の$3$等分線が$\mathrm{BC}$と交わる点を，$\mathrm{B}$に近い方から$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$とする．$3$等分線$\mathrm{AD}$，$\mathrm{AE}$の長さ$x,\ y$を$a,\ b$を用いて表しなさい．
公立 九州歯科大学 2010年 第2問辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さを，それぞれ，$4,\ 2,\ b$とする$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AC}$と$\angle \mathrm{ABC}$の$2$等分線の交点を$\mathrm{D}$とする．$\alpha=\angle \mathrm{BAC}$，$\beta=\angle \mathrm{ABC}$，$\gamma=\angle \mathrm{ACB}$，$\displaystyle \overrightarrow{u}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{BC}}+\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{CD}}$とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，$t$は定数である．
(1)$\triangle \mathrm{BCD}$の面積$S_1$と$\triangle \mathrm{ABD}$の面積$S_2$の比$\displaystyle p=\frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|$と$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|$の比$\displaystyle r=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|}$の値を求めよ．
(3)$w=|\overrightarrow{u}|^2+4bt \cos \alpha+16t(1-t) \cos \beta+2b(1-t) \cos \gamma$を$b$と$t$を用いて表せ．
(4)$t=p$のとき，$z=3|\overrightarrow{u}|+4w-b^2$の値を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{BCD}$の面積$S_1$と$\triangle \mathrm{ABD}$の面積$S_2$の比$\displaystyle p=\frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|$と$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|$の比$\displaystyle r=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|}$の値を求めよ．
(3)$w=|\overrightarrow{u}|^2+4bt \cos \alpha+16t(1-t) \cos \beta+2b(1-t) \cos \gamma$を$b$と$t$を用いて表せ．
(4)$t=p$のとき，$z=3|\overrightarrow{u}|+4w-b^2$の値を求めよ．