$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \cos A=\frac{2}{3}$，$\mathrm{BC}=10$とする．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{BAC}$の$2$等分線と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の交点のうち$\mathrm{A}$と異なる方を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{BD}$を求めよ．
(3)$\mathrm{AB}=3 \sqrt{2}$のとき，$\mathrm{AD}$を求めよ．

三角形$\mathrm{OAB}$の各頂点の座標は$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ 4)$，$\mathrm{B}(-4,\ 6)$である．

(1)頂点$\mathrm{A}$を通って三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$2$等分する直線の方程式を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$の重心$\mathrm{G}$の座標を求めよ．
(3)重心$\mathrm{G}$から辺$\mathrm{AB}$に引いた垂線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

以下の各問いに答えなさい．

(1)次の$[　]$に適語を入れなさい．
整数$a$と$0$でない整数$b$によって，分数$\displaystyle \frac{a}{b}$の形に表すことのできる数を$[ア]$といい，表すことができない数を$[イ]$という．
(2)$x$と$y$についての$1$次不等式$ax-2y>4$と$x+by<a$の解が一致しているとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めなさい．
(3)$x+y=1$のとき$x^2+y^2$の最小値を求めなさい．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=7$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(5)円$x^2+y^2=2$と直線$y=x-1$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さを求めなさい．
(6)$x^4-4$を複素数の範囲で因数分解しなさい．

以下の各問いに答えなさい．

(1)次の$[　]$に適語を入れなさい．
整数$a$と$0$でない整数$b$によって，分数$\displaystyle \frac{a}{b}$の形に表すことのできる数を$[ア]$といい，表すことができない数を$[イ]$という．
(2)$x$と$y$についての$1$次不等式$ax-2y>4$と$x+by<a$の解が一致しているとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=7$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(4)$x^4-4$を複素数の範囲で因数分解しなさい．
(5)$y=xe^{-x}$を微分しなさい．

(6)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx$を求めなさい．

円$C:x^2+y^2-6x-4y=19$と直線$\ell:x+y=k$について次の問いに答えなさい．

(1)$C$の半径を求めなさい．
(2)$\ell$が$C$の囲む面積を$2$等分するような$k$の値を求めなさい．
(3)$\ell$が$C$と共有点をもつような$k$の範囲を求めなさい．
(4)$\ell$が$C$と異なる$2$つの共有点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとき，$\mathrm{PQ}$の長さが$8$となるような$k$の値を求めなさい．

四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CD}=5$，$\angle \mathrm{BCD}={120}^\circ$であり，対角線$\mathrm{BD}$は$\angle \mathrm{ABC}$を$2$等分している．このとき，以下の空欄をうめよ．

(1)$\mathrm{BD}=[イ]$である．
(2)$\angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{CBD}=\theta$とするとき，$\sin \theta=[ロ]$である．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[ハ]$である．

曲線$y=x^2$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{A}(\alpha,\ \alpha^2) \ (\alpha<0)$における曲線$C$の接線を$\ell$とする．また，この接線$\ell$上の点$\mathrm{P}$から，曲線$C$に$\ell$とは異なる接線$m$をひく．ただし，点$\mathrm{P}$の$x$座標は$p$とし，$p>\alpha$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)接線$m$の曲線$C$との接点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を通る直線が，直線$\ell$と垂直となるとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$を(2)で求めたものとする．このとき，点$\mathrm{P}$を通り，$\triangle \mathrm{ABP}$の面積を$2$等分する直線の方程式を求めよ．

双曲線$\displaystyle C:\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$上に点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{4}{\cos \theta},\ 3 \tan \theta \right)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$をとる．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$\mathrm{A}$における$C$の接線と$\mathrm{B}$における$C$の接線との交点を$\mathrm{D}$とし，$C$の焦点のうち$x$座標が正であるものを$\mathrm{F}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(2)$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}=m$とおく．$\tan \angle \mathrm{DFB}$を$m$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{DF}$は$\angle \mathrm{AFB}$を$2$等分することを証明せよ．

次の$[　]$の中を適当に補いなさい．

(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-1,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(x,\ 1)$について，$2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$が垂直になるように，実数$x$を定めると$x=[　]$．
(2)青玉$10$個，黄玉$10$個，黒玉$10$個，緑玉$10$個，赤玉$10$個の合計$50$個が入った壺がある．最初に$1$個とり出して，見ずに箱にしまっておく．その後，壺から$1$個ずつ玉を戻さずに$3$回とり出したら，$3$個とも赤玉であった．箱にしまっておいた玉が赤玉である確率は$[　]$．
(3)曲線$y=-x(x-2)$と$x$軸で囲まれた面積を，直線$y=(-a+2)x$が$2$等分するとき，定数$a$を定めると$a=[　]$．

三角形$\mathrm{ABC}$は，$\mathrm{AB}=7k$，$\mathrm{BC}=6k$，$\mathrm{CA}=5k$であり，面積が$24 \sqrt{6}$である．ただし，$k$は正の定数とする．

(1)$k$の値を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ADC}$に内接する円の半径$r$を求めよ．