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国立 千葉大学 2012年 第9問以下の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$は第2次導関数$f^{\prime\prime}(x)$が連続で，ある$a<b$に対して，$f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$を満たしているものとする．このとき
\[ f(b)-f(a)=\int_a^b \left( \frac{a+b}{2}-x \right) f^{\prime\prime}(x) \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(2)直線道路上における車の走行を考える．ある信号で停止していた車が，時刻0で発進後，距離$L$だけ離れた次の信号に時刻$T$で到達し再び停止した．この間にこの車の加速度の絶対値が$\displaystyle \frac{4L}{T^2}$以上である瞬間があることを示せ．
(1)関数$f(x)$は第2次導関数$f^{\prime\prime}(x)$が連続で，ある$a<b$に対して，$f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$を満たしているものとする．このとき
\[ f(b)-f(a)=\int_a^b \left( \frac{a+b}{2}-x \right) f^{\prime\prime}(x) \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(2)直線道路上における車の走行を考える．ある信号で停止していた車が，時刻0で発進後，距離$L$だけ離れた次の信号に時刻$T$で到達し再び停止した．この間にこの車の加速度の絶対値が$\displaystyle \frac{4L}{T^2}$以上である瞬間があることを示せ．
私立 稚内北星学園大学 2012年 第1問$x$の関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x^2}$に対して，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の導関数$f^{\, \prime}(x)$を求め，$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$f(x)$の第2次導関数$f^{\, \prime\prime}(x)$を求め，さらに$f^{\, \prime\prime}(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ．
(3)$x>0$において，$2\sqrt{x}-\log x > 0$を示せ．
(4)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2}$を求めよ．
(5)$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \int_1^a f(x)\, dx = \int_1^c f(x) \, dx$を満たす正の定数$c$を求めよ．
(1)$f(x)$の導関数$f^{\, \prime}(x)$を求め，$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$f(x)$の第2次導関数$f^{\, \prime\prime}(x)$を求め，さらに$f^{\, \prime\prime}(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ．
(3)$x>0$において，$2\sqrt{x}-\log x > 0$を示せ．
(4)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2}$を求めよ．
(5)$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \int_1^a f(x)\, dx = \int_1^c f(x) \, dx$を満たす正の定数$c$を求めよ．
国立 防衛医科大学校 2011年 第1問以下の問に答えよ．
(1)$a,\ b,\ c$は正の整数で，$a<b<c,\ a+b<c$を満たすものとする．このとき整式$ax^2-(a^2+ab)x+a^2b-174$が$x-c$で割り切れるような$(a,\ b,\ c)$の組があればすべて求めよ．
(2)$\alpha=1+\sqrt{3}i,\ \beta=1-\sqrt{3}i$のとき
\[ \left( \frac{\beta^2-4\beta+8}{\alpha^{n+2}-\alpha^{n+1}+2\alpha^n+4\alpha^{n-1}+\alpha^3-2\alpha^2+5\alpha-2} \right)^3 \]
はいくらか．ただし，$n$は2以上の自然数，$i$は虚数単位とする．
(3)$y=\cos x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$の逆関数を$y=f(x)$とおく．$\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{2}$における，$f(x)$の第2次導関数の値$\displaystyle f^{\prime\prime} \biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \biggr)$はいくらか．
(1)$a,\ b,\ c$は正の整数で，$a<b<c,\ a+b<c$を満たすものとする．このとき整式$ax^2-(a^2+ab)x+a^2b-174$が$x-c$で割り切れるような$(a,\ b,\ c)$の組があればすべて求めよ．
(2)$\alpha=1+\sqrt{3}i,\ \beta=1-\sqrt{3}i$のとき
\[ \left( \frac{\beta^2-4\beta+8}{\alpha^{n+2}-\alpha^{n+1}+2\alpha^n+4\alpha^{n-1}+\alpha^3-2\alpha^2+5\alpha-2} \right)^3 \]
はいくらか．ただし，$n$は2以上の自然数，$i$は虚数単位とする．
(3)$y=\cos x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$の逆関数を$y=f(x)$とおく．$\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{2}$における，$f(x)$の第2次導関数の値$\displaystyle f^{\prime\prime} \biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \biggr)$はいくらか．
国立 大阪大学 2010年 第1問関数
\[ f(x) = 2\log(1+e^x)-x-\log 2 \]
を考える．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底とする．
(1)$f(x)$の第2次導関数を$f^{\,\prime\prime}(x)$とする．等式
\[ \log f^{\,\prime\prime}(x) = -f(x) \]
が成り立つことを示せ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\log 2} (x-\log 2)e^{-f(x)}\, dx$を求めよ．
\[ f(x) = 2\log(1+e^x)-x-\log 2 \]
を考える．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底とする．
(1)$f(x)$の第2次導関数を$f^{\,\prime\prime}(x)$とする．等式
\[ \log f^{\,\prime\prime}(x) = -f(x) \]
が成り立つことを示せ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\log 2} (x-\log 2)e^{-f(x)}\, dx$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2010年 第4問$a$を正の定数とし，関数
\[ f(x)=(x-a)e^{-x} \]
について，次の各問いに答えよ．ただし$e$は自然対数の底である．
(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の第2次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(3)関数$f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(4)$n$を正の整数とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=a+n$とで囲まれた部分の面積$S_n$を$n$と$a$で表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
\[ f(x)=(x-a)e^{-x} \]
について，次の各問いに答えよ．ただし$e$は自然対数の底である．
(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の第2次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(3)関数$f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(4)$n$を正の整数とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=a+n$とで囲まれた部分の面積$S_n$を$n$と$a$で表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．