以下の問の$[$50$]$～$[$63$]$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

関数$\displaystyle y=-4a \sin^2 \frac{\theta}{2}-3 \sin 2\theta-4 \cos 2\theta-6a \sin \theta+2a+10$がある．

(1)$3 \sin \theta-\cos \theta=t$とおくと，$y=t^2-[$50$]at+[$51$]$である．
(2)$a$の値の範囲が$-5<a<5$のとき，この関数の最大値$y_{\max}$のとりうる値の範囲は
\[ [$52$][$53$] \leqq y_{\max}<[$54$][$55$]+[$56$][$57$] \sqrt{[$58$][$59$]} \]
である．
(3)この関数の最小値が$-15$であるとき$\displaystyle a=\pm \frac{[$60$] \sqrt{[$61$][$62$]}}{[$63$]}$である．

以下の問の$[$64$]$～$[$73$]$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

$xy$平面上に原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする円$C$と，$2$つの直線$\ell_1$，$\ell_2$がある．ただし，$a>1$とする．


円$C$ \quad\!\! ：$x^2+y^2=1$
直線$\ell_1$：$\displaystyle x+\sqrt{2}y=\frac{\sqrt{3}}{a}$
直線$\ell_2$：$\displaystyle x+\sqrt{2}y=a \sqrt{3}$


円$C$と直線$\ell_1$は異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わり，それぞれの$x$座標を$x_\mathrm{A}$，$x_\mathrm{B}$とおくと，$x_\mathrm{A}<x_\mathrm{B}$である．また，直線$\ell_2$上に，$x$座標および$y$座標が共に正であるような点$\mathrm{P}$をとる．三角形$\mathrm{APB}$において，$\angle \mathrm{APB}=\theta$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{a} \sqrt{a^2-1}$であり，四角形$\mathrm{OAPB}$の面積は$2 \sqrt{6}$である．

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{[$64$] \sqrt{[$65$]}}{[$66$]}$である．

(2)$\angle \mathrm{OBP}=\frac{[$67$]}{[$68$]} \pi+\frac{[$69$]}{[$70$]} \theta$である．

(3)三角形$\mathrm{OBP}$の面積は$\displaystyle \frac{[$71$] \sqrt{[$72$]}}{[$73$]}$である．

次の$[　]$にあてはまる数字または符号を記入せよ．

(1)$\displaystyle -2<\log_8 x<\frac{5}{3}$を満たす$x$は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}<x<[　]$である．
(2)$x^3+ax^2+x+b=0$が$1$と$-2$を解にもつとき，もう$1$つの解は$[　]$である．
(3)$7$個の数字$1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4$を$1$列に並べる．このとき，偶数番目がすべて奇数になるような並べ方は$[　]$通りある．
(4)$2$点$(2,\ 0,\ 1)$，$(1,\ 1,\ 2)$を通る直線がある．原点$\mathrm{O}$からこの直線に下ろした垂線の足を$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]} \right)$であり，原点から点$\mathrm{A}$までの距離は$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$である．