$n$は自然数，$p_0$，$p_1$，$\cdots$，$p_n$は$p_0>0$，$\cdots$，$p_n>0$かつ$p_0+p_1+\cdots+p_n=1$を満たす定数とする．ポイント$0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n-1,\ n$が，それぞれ$p_0,\ p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_{n-1},\ p_n$の確率で得られる試行$T$を考える．試行$T$を$1$回行って得られるポイントの期待値を$a$とし，$A=[a]+1$とする．ただし，実数$x$に対して$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．競技者は，試行$T$を下記の各設問のルールに従って何回か行う．

(1)$k$を$1 \leqq k \leqq n$を満たす整数とする．競技者は，試行$T$を以下のルールに従って最大$2$回まで行う．

\mon[$①$] 試行$T$を$1$回行い，もしポイントが$k$以上であれば$2$回目の試行を行わず，このポイントを賞金とする．
\mon[$②$] $1$回目のポイントが$k$未満であれば$2$回目の試行$T$を行う．このとき，$1$回目のポイントは無効とし，$2$回目のポイントを賞金とする．
このとき賞金の期待値を$b_k$とする．$b_k$を求めよ．

(2)$(1)$の期待値$b_k$は$k$が$A$のとき最大となることを示せ．
(3)$m$を$1 \leqq m \leqq n$を満たす整数とする．競技者は，試行$T$を以下のルールに従って最大$3$回まで行う．

\mon[$①$] 試行$T$を$1$回行い，もしポイントが$m$以上であれば$2$回目以降の試行を行わず，このポイントを賞金とする．
\mon[$②$] $1$回目のポイントが$m$未満であれば$2$回目の試行$T$を行う．$2$回目のポイントが$A$以上であれば$3$回目の試行を行わない．このとき，$1$回目のポイントは無効とし，$2$回目のポイントを賞金とする．
\mon[$③$] $2$回目のポイントが$A$未満であれば$3$回目の試行$T$を行う．このとき，$1$回目，$2$回目のポイントは無効とし，$3$回目のポイントを賞金とする．
このとき賞金の期待値を$c_m$とする．$c_m$を求めよ．

(4)$(3)$の期待値$c_m$は$m$が$B=[b_A]+1$のとき最大となり，$c_B \geqq b_A$であることを示せ．ただし，$b_A$は$(1)$で求めた期待値$b_k$の$k=A$のときの値である．
(5)$n=5$とし，試行$T$として，$5$枚の硬貨を同時に投げ，表の出た枚数をポイントとする試行を考える．また，$b_k$，$c_m$は上記で定義したものとする．

(i) $p_0$，$p_1$，$p_2$，$p_3$，$p_4$，$p_5$，$a$を求めよ．
(ii) $(1)$のように最大$2$回試行を行う場合，$b_k$の最大値を求めよ．
(iii) $(3)$のように最大$3$回試行を行う場合，$c_m$の最大値を求めよ．

自然数$n$を定数として，さいころを投げる次の競技を行う．この競技は，{\bf 試行}$1$と{\bf 試行}$2$からなる．競技者は，はじめに{\bf 試行}$1$を行う．
\begin{screen}

\mon[{\bf 試行}$1$] さいころを投げ，出た目の数を$X$とする．$X$の値に応じて次の手順に従う．
\mon[$\bullet$] $X=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の場合
$X$の値を得点として競技を終了する．
\mon[$\bullet$] $X=6$の場合
もし$n=1$ならば，$7$を得点として競技を終了する．
(★) \quad もし$n \geqq 2$ならば，{\bf 試行}$2$に進む．

\end{screen}
\begin{screen}

\mon[{\bf 試行}$2$] 競技者はさいころを投げる．
(★★) \quad 出た目の数を$X$とする．
$X$の値に応じて次の手順に従う．
\mon[$\bullet$] $X=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の場合
次のように定めた$P$を得点として競技を終了する．
\[ P=\left\{ \begin{array}{rl}
-1 & (X=1) \\
7 & (X=2,\ 3,\ 4) \\
13 & (X=5)
\end{array} \right. \]
\mon[$\bullet$] $X=6$の場合
もし競技開始から現時点までにさいころを投げた回数が$n$に等しいならば，$7$を得点として競技を終了する．
そうでないならば，続けてさいころを投げ，(★★)にもどる．

\end{screen}
以下の問いに答えよ．

(1)$n=1$として，{\bf 試行}$1$のみを行う．得点の期待値を求めよ．
(2)$n=4$とする．得点の期待値を求めよ．
(3)$n=30$とする．{\bf 試行}$1$を行い$X=6$になった．このとき，{\bf 試行}$1$の規則(★)を変更して，競技者は

\mon[(a)] 得点$7$を得て競技をただちに終了するか
\mon[(b)] 終了せずに{\bf 試行}$2$に進むか

どちらか一方を選択できるとする．どちらの選択をする方が得点の期待値が大きいか．

自然数$n$を定数として，さいころを投げる次の競技を行う．この競技は，{\bf 試行}$1$と{\bf 試行}$2$からなる．競技者は，はじめに{\bf 試行}$1$を行う．
\begin{screen}

\mon[{\bf 試行}$1$] さいころを投げ，出た目の数を$X$とする．$X$の値に応じて次の手順に従う．
\mon[$\bullet$] $X=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の場合
$X$の値を得点として競技を終了する．
\mon[$\bullet$] $X=6$の場合
もし$n=1$ならば，$7$を得点として競技を終了する．
(★) \quad もし$n \geqq 2$ならば，{\bf 試行}$2$に進む．

\end{screen}
\begin{screen}

\mon[{\bf 試行}$2$] 競技者はさいころを投げる．
(★★) \quad 出た目の数を$X$とする．
$X$の値に応じて次の手順に従う．
\mon[$\bullet$] $X=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の場合
次のように定めた$P$を得点として競技を終了する．
\[ P=\left\{ \begin{array}{rl}
-1 & (X=1) \\
7 & (X=2,\ 3,\ 4) \\
13 & (X=5)
\end{array} \right. \]
\mon[$\bullet$] $X=6$の場合
もし競技開始から現時点までにさいころを投げた回数が$n$に等しいならば，$7$を得点として競技を終了する．
そうでないならば，続けてさいころを投げ，(★★)にもどる．

\end{screen}
以下の問いに答えよ．

(1)$n=1$として，{\bf 試行}$1$のみを行う．得点の期待値を求めよ．
(2)$n=4$とする．得点の期待値を求めよ．
(3)$n=30$とする．{\bf 試行}$1$を行い$X=6$になった．このとき，{\bf 試行}$1$の規則(★)を変更して，競技者は

\mon[(a)] 得点$7$を得て競技をただちに終了するか
\mon[(b)] 終了せずに{\bf 試行}$2$に進むか

どちらか一方を選択できるとする．どちらの選択をする方が得点の期待値が大きいか．

次のような競技を考える．競技者がサイコロを振る．もし，出た目が気に入ればその目を得点とする．そうでなければ，もう$1$回サイコロを振って，$2$つの目の合計を得点とすることができる．ただし，合計が$7$以上になった場合は得点は$0$点とする．この取決めによって，$2$回目を振ると得点が下がることもあることに注意しよう．次の問いに答えよ．

(1)競技者が常にサイコロを$2$回振るとすると，得点の期待値はいくらか．
(2)競技者が最初の目が$6$のときだけ$2$回目を振らないとすると，得点の期待値はいくらか．
(3)得点の期待値を最大にするためには，競技者は最初の目がどの範囲にあるときに$2$回目を振るとよいか．

次のような競技を考える．競技者がサイコロを振る．もし，出た目が気に入ればその目を得点とする．そうでなければ，もう$1$回サイコロを振って，$2$つの目の合計を得点とすることができる．ただし，合計が$7$以上になった場合は得点は$0$点とする．この取決めによって，$2$回目を振ると得点が下がることもあることに注意しよう．次の問いに答えよ．

(1)競技者が常にサイコロを$2$回振るとすると，得点の期待値はいくらか．
(2)競技者が最初の目が$6$のときだけ$2$回目を振らないとすると，得点の期待値はいくらか．
(3)得点の期待値を最大にするためには，競技者は最初の目がどの範囲にあるときに$2$回目を振るとよいか．