図のような$1$辺の長さ$a$の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$がある．線分$\mathrm{AF}$，$\mathrm{BG}$，$\mathrm{CH}$，$\mathrm{DE}$上にそれぞれ動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$があり，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を同時に出発して同じ速さで頂点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{E}$まで動く．このとき，四角形$\mathrm{PQRS}$が通過してできる立体の体積を求めよ．
（図は省略）

$n$を$0$以上の整数とする．立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$の頂点を，以下のように移動する$2$つの動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を考える．時刻$0$には$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$に位置し，$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{C}$に位置している．時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置していれば，時刻$n+1$には，$\mathrm{P}$は時刻$n$に位置していた頂点から，それに隣接する$3$頂点のいずれかに等しい確率で移り，$\mathrm{Q}$も時刻$n$に位置していた頂点から，それに隣接する$3$頂点のいずれかに等しい確率で移る．一方，時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が同じ頂点に位置していれば，時刻$n+1$には$\mathrm{P}$も$\mathrm{Q}$も時刻$n$の位置からは移動しない．

(1)時刻$1$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置するとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$はどの頂点にあるか．可能な組み合わせをすべて挙げよ．
(2)時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置する確率$r_n$を求めよ．
(3)時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$がともに上面$\mathrm{ABCD}$の異なる頂点に位置するか，またはともに下面$\mathrm{EFGH}$の異なる頂点に位置するかのいずれかである確率を$p_n$とする．また， 時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$のいずれか一方が上面$\mathrm{ABCD}$，他方が下面$\mathrm{EFGH}$にある確率を$q_n$とする．$p_{n+1}$を，$p_n$と$q_n$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{q_n}{p_n}$を求めよ．
（図は省略）

$xyz$空間内の6つの平面$x=0,\ x=1,\ y=0,\ y=1,\ z=0,\ z=1$によって囲まれた立方体を$P$とおく．$P$を$x$軸のまわりに1回転してできる立体を$P_x$とし，$P$を$y$軸のまわりに1回転してできる立体を$P_y$とする．さらに，$P_x$と$P_y$の少なくとも一方に属する点全体でできる立体を$Q$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$Q$と平面$z=t$が交わっているとする．このとき，$P_x$を平面$z=t$で切ったときの切り口を$R_x$とし，$P_y$を平面$z=t$で切ったときの切り口を$R_y$とする．$R_x$の面積，$R_y$の面積，および$R_x$と$R_y$の共通部分の面積を求めよ．
(2)$Q$と平面$z=t$が交わっているとき，$Q$を平面$z=t$で切ったときの切り口の面積$S(t)$を求めよ．
(3)$Q$の体積を求めよ．

$xyz$空間内の6つの平面$x=0,\ x=1,\ y=0,\ y=1,\ z=0,\ z=1$によって囲まれた立方体を$P$とおく．$P$を$x$軸のまわりに1回転してできる立体を$P_x$とし，$P$を$y$軸のまわりに1回転してできる立体を$P_y$とする．さらに，$P_x$と$P_y$の少なくとも一方に属する点全体でできる立体を$Q$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$Q$と平面$z=t$が交わっているとする．このとき，$P_x$を平面$z=t$で切ったときの切り口を$R_x$とし，$P_y$を平面$z=t$で切ったときの切り口を$R_y$とする．$R_x$の面積，$R_y$の面積，および$R_x$と$R_y$の共通部分の面積を求めよ．
(2)$Q$と平面$z=t$が交わっているとき，$Q$を平面$z=t$で切ったときの切り口の面積$S(t)$を求めよ．
(3)$Q$の体積を求めよ．

各点の座標が$(x,\ y,\ z)$で表される空間で，ある立方体の3頂点がA$(2,\ 2,\ 3)$，B$(2,\ 0,\ 1)$，C$(6,\ 0,\ 1)$であるとする．

(1)2頂点A，Cを通る直線と$xy$平面の交点をPとするとき，線分APの長さを求めよ．
(2)この立方体の体積を求めよ．
(3)この立方体の頂点Xで，$\angle \text{BXC}=60^\circ$となるものすべてについてそれらの座標を求めよ．

座標空間において，$8$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{D}(0,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{E}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{F}(1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{G}(1,\ 1,\ 1)$をとり，この$8$点を頂点とする立方体を$Q$とする．また点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$と正の実数$t$に対し，$6$点$(x+t,\ y,\ z)$，$(x-t,\ y,\ z)$，$(x,\ y+t,\ z)$，$(x,\ y-t,\ z)$，$(x,\ y,\ z+t)$，$(x,\ y,\ z-t)$を頂点とする正八面体を$\alpha_t(\mathrm{P})$，その外部の領域を$\beta_t(\mathrm{P})$で表す．ただし，立方体および正八面体は内部の領域も含むものとする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$0 < t \leqq 1$のとき，$Q$と$\alpha_t(\mathrm{O})$の共通部分$Q \cap \alpha_t(\mathrm{O})$の体積を$t$で表せ．
(2)$Q \cap \beta_1(\mathrm{O}) \cap \beta_1(\mathrm{D}) \cap \beta_1(\mathrm{E}) \cap \beta_1(\mathrm{F})$の体積を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{2} < t \leqq 1$のとき，$Q \cap \alpha_t(\mathrm{O}) \cap \alpha_t(\mathrm{A})$の体積を$t$で表せ．
(4)$t$が$0<t \leqq 1$の範囲で変化するとき，$Q \cap \alpha_t(\mathrm{O}) \cap \beta_t(\mathrm{A}) \cap \beta_t(\mathrm{B}) \cap \beta_t(\mathrm{C})$の体積が最大となる$t$の値を求めよ．

座標空間において，8点O$(0,\ 0,\ 0)$，A$(1,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 1,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ 1)$，D$(0,\ 1,\ 1)$，E$(1,\ 0,\ 1)$，F$(1,\ 1,\ 0)$，G$(1,\ 1,\ 1)$をとり，この8点を頂点とする立方体を$Q$とする．また点P$(x,\ y,\ z)$と正の実数$t$に対し，6点$(x+t,\ y,\ z)$，$(x-t,\ y,\ z)$，$(x,\ y+t,\ z)$，$(x,\ y-t,\ z)$，$(x,\ y,\ z+t)$，$(x,\ y,\ z-t)$を頂点とする正八面体を$\alpha_t(\text{P})$，その外部の領域を$\beta_t(\text{P})$で表す．ただし，立方体および正八面体は内部の領域も含むものとする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$0 < t \leqq 1$のとき，$Q \cap \beta_t(\text{O}) \cap \beta_t(\text{D}) \cap \beta_t(\text{E}) \cap \beta_t(\text{F})$の体積，すなわち5個の領域$Q$，$\beta_t(\text{O})$，$\beta_t(\text{D})$，$\beta_t(\text{E})$，$\beta_t(\text{F})$の共通部分の体積を$t$で表せ．
(2)$Q \cap \alpha_1(\text{O}) \cap \beta_1(\text{A}) \cap \beta_1(\text{B}) \cap \beta_1(\text{C})$の体積を求めよ．
(3)$\displaystyle 0< t \leqq 1$のとき，
\[ Q \cap \beta_t(\text{O}) \cap \beta_t(\text{A}) \cap \beta_t(\text{B}) \cap \beta_t(\text{C}) \cap \beta_t(\text{D}) \cap \beta_t(\text{E}) \cap \beta_t(\text{F}) \cap \beta_t(\text{G}) \]
の体積を$t$で表せ．

図のように立方体の隣接する$3$つの面$\mathrm{ABCD}$，$\mathrm{BEFC}$，$\mathrm{CFGD}$上にそれぞれ縦横等間隔の線を描き，その線の上を通ることができるとする．次のそれぞれの場合に最短距離で通る道順は何通りあるかを求めよ．
（図は省略）

(1)面$\mathrm{ABCD}$上で$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$へ行く場合．
(2)面$\mathrm{ABCD}$，$\mathrm{BEFC}$上で$\mathrm{A}$から$\mathrm{F}$へ行く場合．
(3)面$\mathrm{ABCD}$，$\mathrm{BEFC}$，$\mathrm{CFGD}$上で$\mathrm{A}$から$\mathrm{F}$へ行く場合．

同じ大きさの立方体を$12$個積んでできた直方体を図に示す．頂点$\mathrm{A}$ \\
から頂点$\mathrm{B}$まで立方体の辺を通って最短距離で進むものとする． \\
次の問いに答えよ．
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(1)進み方は全部で何通りあるか．
(2)直方体の内部を少なくとも一度は通る進み方は何通りあるか．
(3)頂点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$のいずれも通らない進み方は何通りあるか．