「立方体」について
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私立 法政大学 2012年 第4問(経営学部III)および(人間環境学部III)\\
\quad 1辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHにおいて，2辺DH，GHの中点をそれぞれM，Nとおく．さらに，3つの線分AC，AM，ANが平面BDEと交わる点をそれぞれP，Q，Rとおく．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}},\ \overrightarrow{\mathrm{AE}}$で表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}},\ \overrightarrow{\mathrm{AE}}$で表せ．
(3)三角形PQRの面積を求めよ．
\quad 1辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHにおいて，2辺DH，GHの中点をそれぞれM，Nとおく．さらに，3つの線分AC，AM，ANが平面BDEと交わる点をそれぞれP，Q，Rとおく．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}},\ \overrightarrow{\mathrm{AE}}$で表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}},\ \overrightarrow{\mathrm{AE}}$で表せ．
(3)三角形PQRの面積を求めよ．
私立 近畿大学 2012年 第3問下図の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$の$1$辺の長さは$1$である．線分$\mathrm{AH}$の中点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{HC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{c}$とおく．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{[ア]}{[イ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ウ]}{[エ]} \overrightarrow{b}+\frac{[オ]}{[カ]} \overrightarrow{c}$である．
(2)線分$\mathrm{CG}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{BR}$上に点$\mathrm{S}$を，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DS}}$が垂直になるようにとると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{DS}}=\overrightarrow{a}-\frac{[キク]}{[ケコ]} \overrightarrow{b}+\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{c} \]
である．
(3)次に，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{F}$を含む平面上に点$\mathrm{T}$を，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DT}}$が垂直になるようにとる．線分$\mathrm{DT}$の長さは
\[ \overrightarrow{\mathrm{DT}}=\overrightarrow{a}-\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{b}-\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{c} \]
のとき，最小値$\displaystyle \frac{\sqrt{[チツ]}}{[テ]}$をとる．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{[ア]}{[イ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ウ]}{[エ]} \overrightarrow{b}+\frac{[オ]}{[カ]} \overrightarrow{c}$である．
(2)線分$\mathrm{CG}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{BR}$上に点$\mathrm{S}$を，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DS}}$が垂直になるようにとると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{DS}}=\overrightarrow{a}-\frac{[キク]}{[ケコ]} \overrightarrow{b}+\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{c} \]
である．
(3)次に，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{F}$を含む平面上に点$\mathrm{T}$を，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DT}}$が垂直になるようにとる．線分$\mathrm{DT}$の長さは
\[ \overrightarrow{\mathrm{DT}}=\overrightarrow{a}-\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{b}-\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{c} \]
のとき，最小値$\displaystyle \frac{\sqrt{[チツ]}}{[テ]}$をとる．
国立 島根大学 2011年 第2問半径$1$の球を$\mathrm{O}_1$とし，球$\mathrm{O}_1$に内接する立方体を$\mathrm{B}_1$とする．次に立方体$\mathrm{B}_1$に内接する球を$\mathrm{O}_2$とし，球$\mathrm{O}_2$に内接する立方体を$\mathrm{B}_2$とする．以下この操作を繰り返してできる球を$\mathrm{O}_n$，立方体を$\mathrm{B}_n \ (n=3,\ 4,\ \cdots)$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)立方体$\mathrm{B}_1$の$1$辺の長さ$l_1$を求めよ．
(2)球$\mathrm{O}_n$の半径$r_n$を$n$を用いて表せ．
(3)球$\mathrm{O}_n$の体積を$V_n$とし，$S_k=V_1+V_2+\cdots+V_k$とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty} S_k$を求めよ．
(1)立方体$\mathrm{B}_1$の$1$辺の長さ$l_1$を求めよ．
(2)球$\mathrm{O}_n$の半径$r_n$を$n$を用いて表せ．
(3)球$\mathrm{O}_n$の体積を$V_n$とし，$S_k=V_1+V_2+\cdots+V_k$とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty} S_k$を求めよ．
国立 島根大学 2011年 第2問半径1の球をO$_1$とし，球O$_1$に内接する立方体をB$_1$とする．次に立方体B$_1$に内接する球をO$_2$とし，球O$_2$に内接する立方体をB$_2$とする．以下この操作を繰り返してできる球をO$_n$，立方体をB$_n \ (n=3,\ 4,\ \cdots)$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)立方体B$_1$の1辺の長さ$l_1$を求めよ．
(2)球O$_n$の半径$r_n$を$n$を用いて表せ．
(3)球O$_n$の体積を$V_n$とし，$S_k=V_1+V_2+\cdots+V_k$とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty} S_k$を求めよ．
(1)立方体B$_1$の1辺の長さ$l_1$を求めよ．
(2)球O$_n$の半径$r_n$を$n$を用いて表せ．
(3)球O$_n$の体積を$V_n$とし，$S_k=V_1+V_2+\cdots+V_k$とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty} S_k$を求めよ．
国立 京都教育大学 2011年 第3問立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$の各辺の中点を，図$1$のように$\mathrm{I}$，$\mathrm{J}$，$\cdots$， \\
$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$とする．
\img{473_1279_2011_1}{15}
(1)$\overrightarrow{\mathrm{LM}},\ \overrightarrow{\mathrm{LK}}$を使って$\overrightarrow{\mathrm{LQ}},\ \overrightarrow{\mathrm{LR}},\ \overrightarrow{\mathrm{LO}}$をそれぞれ表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{LM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{LK}}$のなす角を求めよ．
(3)点$\mathrm{M},\ \mathrm{L},\ \mathrm{K}$を通る平面による立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$の切り口は，正六角形であることを示せ．
$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$とする．
\img{473_1279_2011_1}{15}
(1)$\overrightarrow{\mathrm{LM}},\ \overrightarrow{\mathrm{LK}}$を使って$\overrightarrow{\mathrm{LQ}},\ \overrightarrow{\mathrm{LR}},\ \overrightarrow{\mathrm{LO}}$をそれぞれ表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{LM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{LK}}$のなす角を求めよ．
(3)点$\mathrm{M},\ \mathrm{L},\ \mathrm{K}$を通る平面による立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$の切り口は，正六角形であることを示せ．
私立 早稲田大学 2011年 第1問次の$[ ]$にあてはまる数または数式を解答用紙の所定欄に記入せよ．
(1)平面上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上にあり，
\[ 3 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+7 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている．このとき線分$\mathrm{AB}$の長さは[ア]である．
(2)$xy$平面上の曲線$y=e^x$と$y$軸および直線$y=e$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は[イ]である．
(3)碁石を$n$個一列に並べる並べ方のうち，黒石が先頭で白石どうしは隣り合わないような並べ方の総数を$a_n$とする．ここで，$a_1=1$，$a_2=2$である．
(4)立方体の各辺の中点は全部で$12$個ある．頂点がすべてこれら$12$個の点のうちのどれかであるような正多角形は全部で[エ]個ある．
(1)平面上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上にあり，
\[ 3 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+7 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている．このとき線分$\mathrm{AB}$の長さは[ア]である．
(2)$xy$平面上の曲線$y=e^x$と$y$軸および直線$y=e$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は[イ]である．
(3)碁石を$n$個一列に並べる並べ方のうち，黒石が先頭で白石どうしは隣り合わないような並べ方の総数を$a_n$とする．ここで，$a_1=1$，$a_2=2$である．
(4)立方体の各辺の中点は全部で$12$個ある．頂点がすべてこれら$12$個の点のうちのどれかであるような正多角形は全部で[エ]個ある．
私立 上智大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)立方体の各面に$1$～$6$の目が$1$つずつ書かれたサイコロを$2$つ振って，出た目の大きくない方を$x$とする．$x=2$である確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．$x$の期待値は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(2)$A=\left( \begin{array}{cc}
5 & 11 \\
3 & 7
\end{array} \right)$とする．行列$A$が表す$1$次変換により，点$(3,\ -2)$は点$([オ],\ [カ])$に移り，点$([キ],\ [ク])$は点$(3,\ 1)$に移る．
(3)$f(x)=x^3-9x^2+18x+9$とし，
\[ A=\{x \;|\; f(x)>0\},\quad B=\{x \;|\; x>-1\} \]
とする．次が成り立つ．
\[ 1 [あ] A,\quad 5 [い] A,\quad A [う] B \]
\begin{screen}
{\bf あ，い，うの選択肢：} \\
$(\mathrm{a}) \in \quad (\mathrm{b}) \not\in \quad (\mathrm{c}) \ni \quad (\mathrm{d}) \not\ni \quad (\mathrm{e}) \subset \quad (\mathrm{f}) \supset \quad (\mathrm{g}) =$
\end{screen}
また，正の整数$a$に対して，
\[ C=\{x \;|\; 0 \leqq x \leqq a\} \]
とする．$A \supset C$となる最も大きい整数$a$は$a=[ケ]$である．
(1)立方体の各面に$1$～$6$の目が$1$つずつ書かれたサイコロを$2$つ振って，出た目の大きくない方を$x$とする．$x=2$である確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．$x$の期待値は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(2)$A=\left( \begin{array}{cc}
5 & 11 \\
3 & 7
\end{array} \right)$とする．行列$A$が表す$1$次変換により，点$(3,\ -2)$は点$([オ],\ [カ])$に移り，点$([キ],\ [ク])$は点$(3,\ 1)$に移る．
(3)$f(x)=x^3-9x^2+18x+9$とし，
\[ A=\{x \;|\; f(x)>0\},\quad B=\{x \;|\; x>-1\} \]
とする．次が成り立つ．
\[ 1 [あ] A,\quad 5 [い] A,\quad A [う] B \]
\begin{screen}
{\bf あ，い，うの選択肢：} \\
$(\mathrm{a}) \in \quad (\mathrm{b}) \not\in \quad (\mathrm{c}) \ni \quad (\mathrm{d}) \not\ni \quad (\mathrm{e}) \subset \quad (\mathrm{f}) \supset \quad (\mathrm{g}) =$
\end{screen}
また，正の整数$a$に対して，
\[ C=\{x \;|\; 0 \leqq x \leqq a\} \]
とする．$A \supset C$となる最も大きい整数$a$は$a=[ケ]$である．
国立 京都大学 2010年 第6問座標空間内で，O$(0,\ 0,\ 0)$，A$(1,\ 1,\ 0)$，B$(1,\ 1,\ 0)$，C$(0,\ 1,\ 0)$，D$(0,\ 0,\ 1)$，E$(1,\ 0,\ 1)$，F$(1,\ 1,\ 1)$，G$(0,\ 0,\ 1)$を頂点にもつ立方体を考える．この立方体を対角線OFを軸にして回転させて得られる回転体の体積を求めよ．
国立 京都大学 2010年 第5問座標空間内で，$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0 )$，$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{D}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{E}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{F}(1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{G}(0,\ 1,\ 1)$を頂点にもつ立方体を考える．
(1)頂点$\mathrm{A}$から対角線$\mathrm{OF}$に下ろした垂線の長さを求めよ．
(2)この立方体を対角線$\mathrm{OF}$を軸にして回転させて得られる回転体の体積を求めよ．
(1)頂点$\mathrm{A}$から対角線$\mathrm{OF}$に下ろした垂線の長さを求めよ．
(2)この立方体を対角線$\mathrm{OF}$を軸にして回転させて得られる回転体の体積を求めよ．
国立 静岡大学 2010年 第3問$xyz$座標空間に，下図のように一辺の長さ1の立方体OABC-DEFGがある．この立方体を$xy$平面上の直線$y = -x$のまわりに，頂点Fが$z$軸の正の部分にくるまで回転させる．このとき，次の問いに答えよ．
(1)回転後の頂点Bの座標を求めよ．
(2)回転後の頂点A，Gで定まるベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$の成分を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
(1)回転後の頂点Bの座標を求めよ．
(2)回転後の頂点A，Gで定まるベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$の成分を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）