「立方体」について
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国立 香川大学 2015年 第1問図のような一辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とする．$\mathrm{M}$を辺$\mathrm{OC}$の中点，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$をそれぞれ辺$\mathrm{AE}$，辺$\mathrm{GF}$上の点とする．$\mathrm{AR}=r$，$\mathrm{GS}=s$，$\angle \mathrm{RMS}=\theta$とおくとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{MR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MS}}$を，それぞれ$r,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$を$r,\ s$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{MRS}$が$\angle \mathrm{RMS}={90}^\circ$の直角二等辺三角形のとき，$r$と$s$の値を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{MRS}$はつねに鋭角であることを示せ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{MR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MS}}$を，それぞれ$r,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$を$r,\ s$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{MRS}$が$\angle \mathrm{RMS}={90}^\circ$の直角二等辺三角形のとき，$r$と$s$の値を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{MRS}$はつねに鋭角であることを示せ．
国立 香川大学 2015年 第1問図のような一辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とする．$\mathrm{M}$を辺$\mathrm{OC}$の中点，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$をそれぞれ辺$\mathrm{AE}$，辺$\mathrm{GF}$上の点とする．$\mathrm{AR}=r$，$\mathrm{GS}=s$，$\angle \mathrm{RMS}=\theta$とおくとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{MR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MS}}$を，それぞれ$r,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$を$r,\ s$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{MRS}$が$\angle \mathrm{RMS}={90}^\circ$の直角二等辺三角形のとき，$r$と$s$の値を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{MRS}$はつねに鋭角であることを示せ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{MR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MS}}$を，それぞれ$r,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$を$r,\ s$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{MRS}$が$\angle \mathrm{RMS}={90}^\circ$の直角二等辺三角形のとき，$r$と$s$の値を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{MRS}$はつねに鋭角であることを示せ．
国立 香川大学 2015年 第1問図のような一辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とする．$\mathrm{M}$を辺$\mathrm{OC}$の中点，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$をそれぞれ辺$\mathrm{AE}$，辺$\mathrm{GF}$上の点とする．$\mathrm{AR}=r$，$\mathrm{GS}=s$，$\angle \mathrm{RMS}=\theta$とおくとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{MR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MS}}$を，それぞれ$r,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$を$r,\ s$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{MRS}$が$\angle \mathrm{RMS}={90}^\circ$の直角二等辺三角形のとき，$r$と$s$の値を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{MRS}$はつねに鋭角であることを示せ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{MR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MS}}$を，それぞれ$r,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$を$r,\ s$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{MRS}$が$\angle \mathrm{RMS}={90}^\circ$の直角二等辺三角形のとき，$r$と$s$の値を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{MRS}$はつねに鋭角であることを示せ．
国立 香川大学 2015年 第1問図のような一辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とする．$\mathrm{M}$を辺$\mathrm{OC}$の中点，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$をそれぞれ辺$\mathrm{AE}$，辺$\mathrm{GF}$上の点とする．$\mathrm{AR}=r$，$\mathrm{GS}=s$，$\angle \mathrm{RMS}=\theta$とおくとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{MR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MS}}$を，それぞれ$r,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$を$r,\ s$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{MRS}$が$\angle \mathrm{RMS}={90}^\circ$の直角二等辺三角形のとき，$r$と$s$の値を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{MRS}$はつねに鋭角であることを示せ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{MR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MS}}$を，それぞれ$r,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$を$r,\ s$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{MRS}$が$\angle \mathrm{RMS}={90}^\circ$の直角二等辺三角形のとき，$r$と$s$の値を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{MRS}$はつねに鋭角であることを示せ．
国立 長崎大学 2015年 第2問$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 4,\ 0)$，$\mathrm{D}(0,\ 0,\ 4)$をとり，下図のように線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OC}$，$\mathrm{OD}$を$3$辺とする立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を考える．辺$\mathrm{DE}$，$\mathrm{BF}$の中点を，それぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とする．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{GM}}$および$\overrightarrow{\mathrm{GN}}$を成分で表せ．
(2)$\angle \mathrm{MGN}=\theta$とする．$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{G}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$を頂点とする三角形$\mathrm{GMN}$の面積を求めよ．
(4)三角錐$\mathrm{FGMN}$において，三角形$\mathrm{GMN}$を底面としたときの高さを求めよ．
(5)三角形$\mathrm{GMN}$を含む平面と線分$\mathrm{OF}$との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を用いて表せ．
（図は省略）
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{GM}}$および$\overrightarrow{\mathrm{GN}}$を成分で表せ．
(2)$\angle \mathrm{MGN}=\theta$とする．$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{G}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$を頂点とする三角形$\mathrm{GMN}$の面積を求めよ．
(4)三角錐$\mathrm{FGMN}$において，三角形$\mathrm{GMN}$を底面としたときの高さを求めよ．
(5)三角形$\mathrm{GMN}$を含む平面と線分$\mathrm{OF}$との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を用いて表せ．
私立 慶應義塾大学 2015年 第4問座標空間内の原点$\mathrm{O}$，$z$座標が正である点$\mathrm{P}_k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ 7)$を頂点とする立方体$\mathrm{OP}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3-\mathrm{P_4}\mathrm{P_5}\mathrm{P_6}\mathrm{P_7}$を考える．点$\mathrm{P}_1$の座標は$(2,\ 5,\ 4)$であり，点$\mathrm{P}_3$は$zx$平面上にあるとする．このとき，点$\mathrm{P}_3$の座標は$[ソ]$，点$\mathrm{P}_4$の座標は$[タ]$，点$\mathrm{P}_6$の座標は$[チ]$である．点$\mathrm{P}_k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ 7)$を$xy$平面に下ろした垂線を$\mathrm{P}_k \mathrm{Q}_k$とするとき，四角形$\mathrm{OQ}_1 \mathrm{Q}_2 \mathrm{Q}_3$の面積は$[ツ]$，六角形$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2 \mathrm{Q}_3 \mathrm{Q}_7 \mathrm{Q}_4 \mathrm{Q}_5$の面積は$[テ]$である．また，立方体と$z$軸との交わりは線分となり，その線分の長さは$[ト]$となる．
（図は省略）
（図は省略）
私立 昭和薬科大学 2015年 第3問$1$辺の長さが$6$の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を考える．辺$\mathrm{FG}$の中点を$\mathrm{I}$とし，辺$\mathrm{GH}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{J}$とする．また，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{J}$を通る平面と辺$\mathrm{BF}$の交点を$\mathrm{K}$とし，$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$に向かう単位ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{k}$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AI}},\ \overrightarrow{\mathrm{AJ}}$を$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{k}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{J}$を通る平面と垂直なベクトル$\overrightarrow{n}$が$\overrightarrow{n}=-3 \overrightarrow{i}+a \overrightarrow{j}+b \overrightarrow{k}$と表されるとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(3)線分$\mathrm{BK}$の長さを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AI}},\ \overrightarrow{\mathrm{AJ}}$を$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{k}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{J}$を通る平面と垂直なベクトル$\overrightarrow{n}$が$\overrightarrow{n}=-3 \overrightarrow{i}+a \overrightarrow{j}+b \overrightarrow{k}$と表されるとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(3)線分$\mathrm{BK}$の長さを求めよ．
公立 大阪市立大学 2015年 第4問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 1)$が与えられている．線分$\mathrm{OC}$を$1$つの対角線とし，線分$\mathrm{AB}$を一辺とする立方体を直線$\mathrm{OC}$の周りに回転して得られる回転体$K$の体積を求めたい．次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ p) (0<p \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{H}$の座標と線分$\mathrm{PH}$の長さを求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}(q,\ 0,\ 1) (0 \leqq q \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{I}$の座標と線分$\mathrm{QI}$の長さを求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{C}$方向へ線分$\mathrm{OC}$上を距離$u (0 \leqq u \leqq \sqrt{3})$だけ進んだ点を$\mathrm{U}$とする．点$\mathrm{U}$を通り直線$\mathrm{OC}$に垂直な平面で$K$を切ったときの切り口の円の半径$r$を$u$の関数として表せ．
(4)$K$の体積を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ p) (0<p \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{H}$の座標と線分$\mathrm{PH}$の長さを求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}(q,\ 0,\ 1) (0 \leqq q \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{I}$の座標と線分$\mathrm{QI}$の長さを求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{C}$方向へ線分$\mathrm{OC}$上を距離$u (0 \leqq u \leqq \sqrt{3})$だけ進んだ点を$\mathrm{U}$とする．点$\mathrm{U}$を通り直線$\mathrm{OC}$に垂直な平面で$K$を切ったときの切り口の円の半径$r$を$u$の関数として表せ．
(4)$K$の体積を求めよ．
国立 和歌山大学 2014年 第3問立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$がある．辺$\mathrm{AD}$，$\mathrm{AB}$をそれぞれ$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．辺$\mathrm{FG}$上に$\mathrm{FS}:\mathrm{SG}=t:(1-t) (0<t<1)$をみたす点$\mathrm{S}$をとる．また，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{S}$を通る平面と辺$\mathrm{BF}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{z}$とするとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{z}$および$t$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{QRS}={120}^\circ$となるときの$t$の値を求めよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{z}$および$t$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{QRS}={120}^\circ$となるときの$t$の値を求めよ．
国立 東京海洋大学 2014年 第4問箱の中に赤球，青球，黄球，緑球が各$1$個ずつ入っている．この箱から球を取り出し，取り出した球の色をサイコロの$1$の面に塗り，球を箱にもどす．以下，同様の作業を繰り返し，箱から取り出した球の色をサイコロの$2$から$6$の各面に順に塗っていく．ただし，サイコロは立方体であり$2$つの面は辺を共有するとき「隣り合う」という．このとき次の問に答えよ．
(1)サイコロが$3$色で塗られ，かつどの隣り合う$2$つの面の色も異なる確率を求めよ．
(2)サイコロのどの隣り合う$2$つの面の色も異なる確率を求めよ．
(1)サイコロが$3$色で塗られ，かつどの隣り合う$2$つの面の色も異なる確率を求めよ．
(2)サイコロのどの隣り合う$2$つの面の色も異なる確率を求めよ．