$a^2+b^2=1$を満たす正の実数$a,\ b$の組$(a,\ b)$の全体を$S$とする．$S$に含まれる$(a,\ b)$に対し，$xyz$空間内に3点P$(a,\ b,\ b)$，Q$(-a,\ b,\ b)$，R$(0,\ 0,\ b)$をとる．また原点をOとする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)三角形OPQを$x$軸のまわりに1回転してできる立体を$F_1$とする．$(a,\ b)$が$S$の中を動くとき，$F_1$の体積の最大値を求めよ．
(2)三角形PQRを$x$軸のまわりに1回転してできる立体を$F_2$とする．$\displaystyle a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$のとき，$F_2$の$xy$平面による切り口の周を$xy$平面上に図示せよ．
(3)三角形OPRを$x$軸のまわりに1回転してできる立体を$F_3$とする．$(a,\ b)$が$S$の中を動くとき，$F_3$の体積の最大値を求めよ．

$a,\ b$を実数とし，関数$f(x)$，$g(x)$を$f(x)=a(e^x+e^{-x})$，$g(x)=4x+b$とする．曲線$C:y=f(x)$の点$(\log 3,\ f(\log 3))$における接線が直線$\ell:y=g(x)$と一致するとき，次に答えよ．ただし，対数は自然対数を表し，$e$は自然対数の底とする．また，$\log 3 < 1.1$を用いてよい．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$\ell$および直線$x=-\log 3$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および直線$x=-\log 3$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

Oを原点とする座標平面上に点A$(0,\ 1)$があり，点Aからの距離が4である点P$(x,\ y)$が$x>0$，$y>1$をみたすように動く．直線APが$x$軸の正の向きとなす角を$\theta$，点Pから$x$軸に垂線を下ろしたときの交点をQとする．以下の問いに答えよ．

(1)点Pの座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)四角形OAPQの面積$S$を$\theta$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた$S$が最大となるときの$\sin \theta$の値を求めよ．
(4)四角形OAPQを$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積$V$を$\theta$を用いて表せ．
(5)(4)で求めた$V$が$\displaystyle \sin \theta=\frac{3}{4}$で最大となることを示せ．

放物線$C:y=x^2-x+1$について，次の問に答えよ．

(1)点$(0,\ 0)$を通り，放物線$C$に接する2つの直線の方程式を求めよ．
(2)放物線$C$と，(1)で求めた2つの接線で囲まれる図形を$D$とするとき，$C$と接線の概形をかき，$D$を図示せよ．
(3)$D$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

関数$y=e^{-x}$のグラフを$C$とする．$C$上の点P$(t,\ e^{-t})$における接線と$x$軸との交点をQ$(u,\ 0)$とする．$C$上の点$(u,\ e^{-u})$をRとするとき，次の問いに答えよ．

(1)$u$を$t$の式で表せ．
(2)線分PQ，線分QRと$C$で囲まれた部分を図形Aとする．図形Aを$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を$t$の式で表せ．
(3)(1)の$u$を$t$の関数とみて$u(t)$と表す．数列$\{t_n\}$を$t_1=0,\ t_{n+1}=u(t_n) \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$と定義するとき，一般項$t_n$を求めよ．
(4)(2)の$V$を$t$の関数とみて$V(t)$と表し，(3)の$t_n$を用いて$V_n=V(t_n) \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおく．数列$\{V_n\}$は等比数列であることを示し，無限等比級数
\[ V_1+V_2+\cdots +V_n+\cdots \]
の収束，発散を調べ，収束する場合は，その和を求めよ．

曲線$C:y=e^{-x}$上の点$\mathrm{A}(a,\ e^{-a})$における法線を$\ell$とし，$\ell$に関して点$(a,\ 0)$と対称な点を$\mathrm{B}$，直線$\mathrm{AB}$と$y$軸との交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の$y$座標を$f(a)$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(a)$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$が実数全体を動くとき，$f(a)$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．
(3)$a$を(2)で求めた値とするとき，曲線$C$，$y$軸と線分$\mathrm{AP}$で囲まれた部分を，$y$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

$t$を$0 \leqq t \leqq \sqrt{3}$をみたす実数とし，座標空間内に点$\mathrm{P}(t,\ 0,\ \sqrt{3-t^2})$をとる．$\mathrm{P}$を通り$yz$平面に平行な平面を$\beta$とおく．3点$\mathrm{D}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{E}(0,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{F}(-\sqrt{3},\ 0,\ 0)$に対し，$\beta$と直線$\mathrm{FD}$との交点を$\mathrm{Q}$，$\beta$と直線$\mathrm{FE}$との交点を$\mathrm{R}$とする．$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S(t)$とおくとき，以下の問いに答えよ．ただし，$S(\sqrt{3})=0$とする．

(1)$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(2)$t$が$0 \leqq t \leqq \sqrt{3}$の範囲を動くとき，$S(t)$の最大値を求めよ．
(3)$t$が$0 \leqq t \leqq \sqrt{3}$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{PQR}$が通過してできる立体の体積$V$を求めよ．

曲線$C:y=e^{-x}$上の点$\mathrm{A}(a,\ e^{-a})$における$C$の法線$m$と直線$\ell_1:x=a$に関して，以下の問いに答えよ．

(1)$\ell_1$と$m$のなす角を$\theta$とするとき，$\tan \theta$を$a$を用いて表せ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(2)$m$に関して$\ell_1$と対称な直線を$\ell_2$とするとき，$\ell_2$の方程式を$a$を用いて表せ．
(3)$\ell_2$と$y$軸の交点を$\mathrm{P}$とおく．$a$が実数全体を動くとき，$\mathrm{P}$の$y$座標の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．
(4)$a$を(3)で求めた値とするとき，曲線$C$，$y$軸および線分$\mathrm{AP}$で囲まれた部分を，$y$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$4$点
\[ \mathrm{A}_1(1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{B}_1(-1,\ -1,\ 1),\quad \mathrm{C}_1(1,\ -1,\ -1),\quad \mathrm{D}_1(-1,\ 1,\ -1) \]
を考えると，立体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$は正四面体である．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)正四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$を$xy$平面に平行な平面$z=-1+h (0 \leqq h \leqq 2)$で切ったときに出来る図形の面積を$S(h)$とすると，
\[ S(h)=-[$34$]h^2+[$35$]h \]
と表され，$S(h)$は$h=[$36$]$のとき最大値$[$37$]$をとる．（このときの図形はペトリー多角形と呼ばれている．）さらに，
\[ V_1=\int_0^2 S(h) \, dh=\frac{[$38$]}{[$39$]} \]
とおくと，$V_1$は正四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$の体積となっている．
(2)三角形$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$，三角形$\mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1$，三角形$\mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$，三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1$の重心をそれぞれ$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}_2$，$\mathrm{C}_2$，$\mathrm{D}_2$とする．このとき，立体$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$は再び，正四面体となる．（このことを，正四面体は自己双対であるという．）同様に，$n$を自然数として，三角形$\mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$，三角形$\mathrm{C}_n \mathrm{D}_n \mathrm{A}_n$，三角形$\mathrm{D}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$，三角形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n$の重心をそれぞれ$\mathrm{A}_{n+1}$，$\mathrm{B}_{n+1}$，$\mathrm{C}_{n+1}$，$\mathrm{D}_{n+1}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OA}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OA}}_n=\frac{[$40$]}{[$41$]} \left\{ 1-\left( -\frac{[$42$]}{[$43$]} \right)^n \right\} \overrightarrow{\mathrm{OA}}_1 \]
である．また，正四面体$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の表面積$S_n$と体積$V_n$は，それぞれ，
\[ S_n=[$44$] \cdot [$45$]^{-[$46$]n+\frac{[$47$]}{2}},\quad V_n=[$48$] \cdot [$49$]^{-[$50$]n+[$51$]} \]
である．

実数$\theta$が動くとき，$xy$平面上の動点P$(0,\ \sin \theta)$およびQ$(8 \cos \theta,\ 0)$を考える．$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，平面内で線分PQが通過する部分を$D$とする．$D$を $x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ．