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大阪大学 国立 大阪大学 2015年 第4問
座標空間の$x$軸上に動点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$がある.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$は時刻$0$において,原点を出発する.$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向に,$\mathrm{Q}$は$x$軸の負の方向に,ともに速さ$1$で動く.その後,ともに時刻$1$で停止する.点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$を中心とする半径$1$の球をそれぞれ$A,\ B$とし,空間で$x \geqq -1$の部分を$C$とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)時刻$t (0 \leqq t \leqq 1)$における立体$(A \cup B) \cap C$の体積$V(t)$を求めよ.
(2)$V(t)$の最大値を求めよ.
奈良県立医科大学 公立 奈良県立医科大学 2015年 第13問
平行六面体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$において,$\triangle \mathrm{BDE}$の重心を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{AD}$の中点を$\mathrm{M}$とする.このとき,点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{MF}$をどのように内分するか求めよ.ここで,平行六面体とは$6$つの平行四辺形からなる立体であり,$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$は向かい合う面の対応を表している.
岐阜薬科大学 公立 岐阜薬科大学 2015年 第4問
\begin{mawarikomi}{50mm}{
(図は省略)
}
$2$つずつ平行な$3$組の平面で囲まれた立体を平行六面体という.平行六面体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$があり,
\[ l \overrightarrow{\mathrm{PB}}+m \overrightarrow{\mathrm{PD}}+n \overrightarrow{\mathrm{PE}}=\overrightarrow{\mathrm{GP}} \]
を満たす点$\mathrm{P}$が存在している.ただし,$l+m+n+1 \neq 0$とする.次の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を,$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$,$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AG}$上にあるとき,$l,\ m,\ n$が満たす条件を求めよ.
(3)点$\mathrm{Q}$が$\triangle \mathrm{BDE}$を含む平面上にある.$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=x \overrightarrow{\mathrm{AB}}+y \overrightarrow{\mathrm{AD}}+z \overrightarrow{\mathrm{AE}}$とするとき,$x,\ y,\ z$が満たす条件を求めよ.
(4)四面体$\mathrm{ABDE}$の体積と四面体$\mathrm{PBDE}$の体積が$2:1$になるとき,$l,\ m,\ n$が満たす条件を求めよ.また,点$\mathrm{P}$がこの条件を満たし,かつ,線分$\mathrm{AG}$上にあるとき,$l,\ m,\ n$の値を求めよ.

\end{mawarikomi}
北九州市立大学 公立 北九州市立大学 2015年 第3問
半径$1$の円を底面とする高さ$2$の円柱がある.下図のように,ひとつの底面を$xy$平面にとり,その中心を原点$\mathrm{O}$にとる.点$\displaystyle \mathrm{A} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}},\ 0,\ 0 \right)$および点$\displaystyle \mathrm{B} \left( 0,\ 0,\ \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$を通り,$xy$平面と${45}^\circ$の角をなす平面で,円柱を$2$つの立体に分ける.以下の問いに答えよ.

(1)平面$x=a$(ただし,$\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}} \leqq a \leqq 1$)で小さい方の立体を切ったときの切り口(長方形$\mathrm{PQRS}$)の面積$S(a)$を求めよ.
(2)小さい方の立体の体積$V$を求めよ.
(図は省略)
山口大学 国立 山口大学 2014年 第2問
図のように,円柱$E$と直円錐$F$が半径$1$の球に内接しており,さらに$E$と$F$の底面は一致している.このとき,次の問いに答えなさい.
(図は省略)

(1)円柱$E$の高さを$h$とするとき,円柱$E$の底面の半径と直円錐$F$の高さを,それぞれ$h$を用いて表しなさい.
(2)半径$1$の球に内接する円柱の体積の最大値を求めなさい.
(3)円柱$E$の体積と直円錐$F$の体積が等しいとする.円柱$E$から直円錐$F$が重なっている部分をくり抜いたとき,くり抜かれて残った立体の体積を求めなさい.
茨城大学 国立 茨城大学 2014年 第4問
$0$でない実数$t$に対して,座標空間における$3$点$\mathrm{P}(t,\ 0,\ 0)$,$\displaystyle \mathrm{Q} \left( t,\ \frac{1}{1+t^2},\ 0 \right)$,$\displaystyle \mathrm{R} \left( t,\ 0,\ \frac{t}{1+t^2} \right)$を考える.以下の各問に答えよ.

(1)三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S(t)$とする.実数$t$が$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき,$S(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ.
(2)実数$t$が$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき,三角形$\mathrm{PQR}$が通過してできる立体の体積$V$を求めよ.
九州大学 国立 九州大学 2013年 第4問
原点$\mathrm{O}$を中心とし,点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を通る円を$S$とする.点$\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$で円$S$に内接する円$T$が,点$\mathrm{C}$で$y$軸に接しているとき,以下の問いに答えよ.

(1)円$T$の中心$\mathrm{D}$の座標と半径を求めよ.
(2)点$\mathrm{D}$を通り$x$軸に平行な直線を$\ell$とする.円$S$の短い方の弧$\koa{AB}$,円$T$の短い方の弧$\koa{BC}$,および線分$\mathrm{AC}$で囲まれた図形を$\ell$のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ.
東京慈恵会医科大学 私立 東京慈恵会医科大学 2013年 第3問
$\theta$は$0 \leqq \theta \leqq \pi$をみたす実数とする.$xyz$空間内の平面$z=0$上に$2$点
\[ \mathrm{P}_\theta (\cos \theta,\ \sin \theta,\ 0),\quad \mathrm{Q}_\theta (2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta,\ 0) \]
をとり,$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で動かすとき,線分$\mathrm{P}_\theta \mathrm{Q}_\theta$が通過する部分を$D$とする.空間内の$z \geqq 0$の部分において,底面が$D$,$\mathrm{P}_\theta \mathrm{Q}_\theta$上の各点での高さが$\displaystyle \frac{2}{\pi}\theta$の立体$K$を考える.半球$B:x^2+y^2+z^2 \leqq 2^2$,$z \geqq 0$と$K$の共通部分を$L$とするとき,次の問いに答えよ.

(1)$B$を平面$z=t (0 \leqq t<2)$で切った切り口の円の半径を$t$を用いて表せ.
(2)$L$の体積を求めよ.
大阪大学 国立 大阪大学 2012年 第3問
$xyz$空間に3点O$(0,\ 0,\ 0)$,A$(1,\ 0,\ 1)$,B$(0,\ \sqrt{3},\ 1)$がある.平面$z=0$に含まれ,中心がO,半径が1の円を$W$とする.点Pが線分OA上を,点Qが円$W$の周および内部を動くとき,$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をみたす点R全体がつくる立体を$V_A$とおく.同様に点Pが線分OB上を,点Qが円$W$の周および内部を動くとき,$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をみたす点R全体がつくる立体を$V_B$とおく.さらに$V_A$と$V_B$の重なり合う部分を$V$とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)平面$\displaystyle z=\cos \theta \ (0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2})$による立体$V$の切り口の面積を$\theta$を用いて表せ.
(2)立体$V$の体積を求めよ.
筑波大学 国立 筑波大学 2012年 第3問
曲線$C:y=\log x \ (x>0)$を考える.自然数$n$に対して,曲線$C$上に点P$(e^n,\ n)$,Q$(e^{2n},\ 2n)$をとり,$x$軸上に点A$(e^n,\ 0)$,B$(e^{2n},\ 0)$をとる.四角形APQBを$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V(n)$とする.また,線分PQと曲線$C$で囲まれる部分を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を$S(n)$とする.

(1)$V(n)$を$n$の式で表せ.
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S(n)}{V(n)}$を求めよ.
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