座標平面において，実数$x$に対して，$4$点$(x,\ 0)$，$(x+1,\ 0)$，$(x+1,\ 1)$，$(x,\ 1)$を頂点とする正方形で囲まれる領域を$A_x$とし，$A_1 \cap A_x$の面積を$f(x)$とおく．ただし，$A_1 \cap A_x$が空集合あるいは線分のときは，$f(x)=0$とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$f(x)$のグラフをかけ．

(2)$\displaystyle g(x)=\int_0^1 f(x-t) \, dt$とおくとき，$\displaystyle g \left( \frac{1}{2} \right)$，$g(2)$を求めよ．

(3)$(2)$の$g(x)$について，$\displaystyle \int_0^3 xg(x) \, dx$を求めよ．

$xyz$空間において連立不等式
\[ |x| \leqq 1,\quad |y| \leqq 1,\quad |z| \leqq 1 \]
の表す領域を$Q$とし，正の実数$r$に対して$x^2+y^2+z^2 \leqq r^2$の表す領域を$S$とする．また，$Q$と$S$のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を$R$とし，$R$の体積を$V(r)$とする．さらに

$x \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$
$y \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$
$z \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$

とし，

$S_x \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_1$
$S_x \cap S_y \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_2$
$S_x \cap S_y \cap S_z \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_3$

とする．ただし，$\phi$は空集合を表す．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{10}}{3}$のとき，$R$の$xy$平面による断面を図示せよ．
(2)$r_1,\ r_2,\ r_3$および$V(r_1)$，$V_(r_3)$を求めよ．
(3)$r \geqq r_1$のとき，$S_x$の体積を$r$を用いて表せ．
(4)$0<r \leqq r_2$において，$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ．

$xyz$空間において連立不等式
\[ |x| \leqq 1,\quad |y| \leqq 1,\quad |z| \leqq 1 \]
の表す領域を$Q$とし，正の実数$r$に対して$x^2+y^2+z^2 \leqq r^2$の表す領域を$S$とする．また，$Q$と$S$のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を$R$とし，$R$の体積を$V(r)$とする．さらに

$x \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$
$y \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$
$z \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$

とし，

$S_x \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_1$
$S_x \cap S_y \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_2$
$S_x \cap S_y \cap S_z \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_3$

とする．ただし，$\phi$は空集合を表す．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{10}}{3}$のとき，$R$の$xy$平面による断面を図示せよ．
(2)$r_1,\ r_2,\ r_3$および$V(r_1)$，$V_(r_3)$を求めよ．
(3)$r \geqq r_1$のとき，$S_x$の体積を$r$を用いて表せ．
(4)$0<r \leqq r_2$において，$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ．

大小$2$つのサイコロを投げて出る目の値をそれぞれ$p,\ q$とし，$6$以下の自然数$n$のうち条件
\[ (n-p)(n-q)<0 \]
をみたすものすべてをホワイトボードに書くものとする．以下の問いに答えなさい．

(1)ホワイトボードに$2$だけが書かれる確率を求めなさい．
(2)ホワイトボードに何も書かれない確率を求めなさい．
(3)ホワイトボードに書かれる自然数全体の集合を$A$とする．ただし，何も書かれないとき$A$は空集合とする．$6$以下の素数全体の集合を$B$とするとき，$A$が$B$の部分集合となる確率を求めなさい．

$\alpha,\ \beta$を正の無理数とする．$2$つの集合$A,\ B$を
\[ A=\{ \, [n \alpha] \;|\; n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \, \},\quad B=\{ \, [n \beta] \;|\; n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \, \} \]
で定める．集合$C$を$A$と$B$の共通部分とする．集合$D$を$A$と$B$の和集合とする．$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1$のとき以下の問いに答えよ．ただし，実数$x$に対して，$x$を超えない最大の整数を$[x]$と表す．

(1)$C$は空集合となることを示せ．
(2)$E=\{ \, n \;|\; n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 99 \, \}$のとき，$E$は$D$の部分集合となることを示せ．

$1$から$9$までの自然数のそれぞれに赤か青の色を付ける操作を考える．

(1)$X$をこれら$1$から$9$までの自然数のうちの相異なる$3$つの数からなる集合とする．$1$から$9$のそれぞれに確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で赤か青の色を付けるとき，$X$に属するすべての数がすべて同じ色である確率を求めよ．
(2)一般に，ある試行における$3$つの事象$A,\ B,\ C$について，
\[ P(A \cup B \cup C) \leqq P(A)+P(B)+P(C) \]
が成り立つことを示せ．ここで$P(A)$は事象$A$が起こる確率である．
(3)$1$から$9$までの自然数のうちの相異なる$3$つの数からなる集合が$3$つある．それを$X,\ Y,\ Z$とする．$1$から$9$のそれぞれに確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で赤か青の色を付ける操作をしたとき，$X,\ Y,\ Z$のどれにも両方の色の数が含まれる確率が$0$ではないことを示せ．ただし，$X \cap Y$，$Y \cap Z$，$Z \cap X$は空集合とは限らない．

実数からなる集合$A,\ B,\ C$を以下のように定義する．

$\displaystyle A=\left\{ x \ \biggl| \ \sin \frac{\pi}{2}x>-\frac{1}{7}x \right\}$

$B=\{x \ | \ 0<x<b\}$
$C=\{x \ | \ x \geqq c\}$

ただし，$b,\ c$は正の実数とする．

(1)$-1 [え] A$である．また，$5 [お] A$である．
\begin{screen}
$[え]$，$[お]$の選択肢：
\[ \mathrm{(a)} \ \in \quad \mathrm{(b)} \ \notin \quad \mathrm{(c)} \ \ni \quad \mathrm{(d)} \ \notni \quad \mathrm{(e)} \ = \quad \mathrm{(f)} \ \subset \quad \mathrm{(g)} \ \supset \]
\end{screen}
(2)$B \cap C$が空集合であるための必要十分条件は$[か]$である．
\begin{screen}
$[か]$の選択肢：

\begin{tabular}{llll}
$\mathrm{(a)} \ b=c$ \phantom{AA} & $\mathrm{(b)} \ b<c$ \phantom{AA} & $\mathrm{(c)} \ b \leqq c$ \phantom{AA} & $\mathrm{(d)} \ b>c$ \phantom{AA} \\
$\mathrm{(e)} \ b \geqq c$ & $\mathrm{(f)} \ b \leqq 1$ & $\mathrm{(g)} \ b \leqq 1 \text{かつ} c \geqq 1$ &
\end{tabular}

\end{screen}
(3)$A \supset B$となる$b$のうち，整数で最大のものは$[タ]$である．また，$A \supset C$となる$c$のうち，整数で最小のものは$[チ]$である．
(4)$S$は実数からなる集合とする．「集合$S$が連結である」とは，「$S$のどの$2$つの要素$x,\ y$に対しても，

条件：実数$z$が$x<z<y$を満たすならば$z \in S$

が成り立つ」ことである．
$A \cap B$が連結であるような$b$のうち，整数で最大のものは$[ツ]$である．また，$A \cap C$が連結であるような$c$のうち，整数で最小のものは$[テ]$である．

$a$を実数とし，$f(x)=(x-a)(x^2-2x-11)$とおく．集合
\[ A=\{x \;\bigl|\; f(x)<0,\ x \text{は実数} \} \]
を考える．また，$n$を整数とし，集合

$I_n=\{x \;\bigl|\; x>n,\ x \text{は実数} \}$
$J_n=\{x \;\bigl|\; x<n,\ x \text{は実数} \}$

を考える．

(1)$a=-4$のとき，$J_n \supset A$となる$n$の最小値は$[ヘ]$であり，$J_n \subset A$となる$n$の最大値は$[ホ]$である．
(2)$a=-4$，$n=-3$のとき，$I_n \cap A$に含まれる整数の個数は$[マ]$個である．
(3)$a=1$のとき，$I_n \cap A$が空集合でない$n$の最大値は$[ミ]$であり，$J_n \subset A$となる$n$の最大値は$[ム]$である．
(4)$a=1$のとき，
\[ x<x^\prime \quad \text{かつ} \quad f(x)>m>f(x^\prime) \]
を満たす実数$x,\ x^\prime$が存在するような整数$m$の最小値は$[メ]$，最大値は$[モ]$である．
(5)$a=7$のとき，$J_n \supset A$となる$n$の最小値は$[ヤ]$であり，$J_n \subset A$となる$n$の最大値は$[ユ]$である．

$[シ]$の解答は解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．

$n$を$100$以下の自然数とし，$n$の約数の個数を$f(n)$，空集合を$\phi$とする．

(1)$f(48)=[アイ]$であり，$f(n)=9$を満たす最小の自然数は$n=[ウエ]$である．$f(n)=5$を満たす$n$の個数は$[オ]$個であり，$f(n)=6$を満たす$n$の個数は$[カキ]$個である．
(2)$f(n)$の最大値は$[クケ]$である．したがって，$f(f(n))>4$を満たす最小の自然数は$n=[コサ]$となる．
(3)$f(n)=2$を満たす$100$以下の自然数$n$の集合を$A$，$100$以下の素数の集合を$B$とすると，$[シ]$が成り立つ．

$[シ]$の解答群
\mon[$①$] $A \in B$
\mon[$②$] $B \in A$
\mon[$③$] $A=B$
\mon[$④$] $A \subset B$かつ$A \neq B$
\mon[$⑤$] $B \subset A$かつ$A \neq B$
\mon[$⑥$] $A \cap B=\phi$
\mon[$④chi$] $A \cap B \neq \phi$かつ$A \neq A \cup B \neq B$

全体集合$U$を$1$以上の正の整数の集合とし，集合$A$を$2$で割り切れる正の整数の集合，集合$B$を$3$で割り切れる正の整数の集合とする．$A \circ B=(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$とおくとき，以下の問に答えよ．ただし$\overline{X}$は集合$X$の補集合，$\phi$は空集合とする．

(1)以下の集合の要素を小さいものから順に$3$つずつ記せ．
$① A \cap \overline{B}$ \qquad $② \overline{A} \cap B$ \qquad $③ A \circ B$
$④ (A \cap \overline{\phi}) \cup (\overline{A} \cap \phi)$ \qquad $⑤ (A \cap \overline{U}) \cup (\overline{A} \cap U)$
(2)$(A \cap \overline{X}) \cup (\overline{A} \cap X)=B$を満たす集合$X$の要素を小さいものから順に$3$つ記せ．