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国立 熊本大学 2015年 第2問$p,\ q,\ r$を実数とする．空間内の$3$点$\mathrm{A}(1,\ p,\ 0)$，$\mathrm{B}(q,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{C}(-1,\ -1,\ r)$が一直線上にあるとき，以下の問いに答えよ．ただし，$\mathrm{O}$を原点とする．
(1)$p$は$1$でも$-1$でもないことを示せ．
(2)$q,\ r$を$p$を用いて表せ．
(3)$p^\prime,\ q^\prime,\ r^\prime$を実数とし，空間内の$3$点を$\mathrm{A}^\prime(1,\ p^\prime,\ 0)$，$\mathrm{B}^\prime(q^\prime,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{C}^\prime(-1,\ -1,\ r^\prime)$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}^\prime}$がいずれもベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直であるとき，$p^\prime,\ q^\prime,\ r^\prime$を$p$を用いて表せ．
(4)$(3)$における$3$点$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$は一直線上にないことを示せ．
(1)$p$は$1$でも$-1$でもないことを示せ．
(2)$q,\ r$を$p$を用いて表せ．
(3)$p^\prime,\ q^\prime,\ r^\prime$を実数とし，空間内の$3$点を$\mathrm{A}^\prime(1,\ p^\prime,\ 0)$，$\mathrm{B}^\prime(q^\prime,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{C}^\prime(-1,\ -1,\ r^\prime)$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}^\prime}$がいずれもベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直であるとき，$p^\prime,\ q^\prime,\ r^\prime$を$p$を用いて表せ．
(4)$(3)$における$3$点$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$は一直線上にないことを示せ．
国立 山口大学 2015年 第3問$a,\ b$を定数とする．空間内に$4$点$\mathrm{A}(1,\ 5,\ 9)$，$\mathrm{B}(3,\ 4,\ 8)$，$\mathrm{C}(2,\ 6,\ 7)$，$\mathrm{D}(a,\ b,\ 12)$がある．$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\mathrm{AG} \perp \mathrm{DG}$，$\mathrm{BG} \perp \mathrm{DG}$であるとき，次の問いに答えなさい．
(1)点$\mathrm{G}$の座標と$a,\ b$の値を求めなさい．
(2)$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(4)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を頂点とする四面体の体積を求めなさい．
(1)点$\mathrm{G}$の座標と$a,\ b$の値を求めなさい．
(2)$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(4)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を頂点とする四面体の体積を求めなさい．
国立 熊本大学 2015年 第2問$p,\ q,\ r$を実数とする．空間内の$3$点$\mathrm{A}(1,\ p,\ 0)$，$\mathrm{B}(q,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{C}(-1,\ -1,\ r)$が一直線上にあるとき，以下の問いに答えよ．ただし，$\mathrm{O}$を原点とする．
(1)$p$は$1$でも$-1$でもないことを示せ．
(2)$q,\ r$を$p$を用いて表せ．
(3)$p^\prime,\ q^\prime,\ r^\prime$を実数とし，空間内の$3$点を$\mathrm{A}^\prime(1,\ p^\prime,\ 0)$，$\mathrm{B}^\prime(q^\prime,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{C}^\prime(-1,\ -1,\ r^\prime)$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}^\prime}$がいずれもベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直であるとき，$p^\prime,\ q^\prime,\ r^\prime$を$p$を用いて表せ．
(4)$(3)$における$3$点$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$は一直線上にないことを示せ．
(1)$p$は$1$でも$-1$でもないことを示せ．
(2)$q,\ r$を$p$を用いて表せ．
(3)$p^\prime,\ q^\prime,\ r^\prime$を実数とし，空間内の$3$点を$\mathrm{A}^\prime(1,\ p^\prime,\ 0)$，$\mathrm{B}^\prime(q^\prime,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{C}^\prime(-1,\ -1,\ r^\prime)$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}^\prime}$がいずれもベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直であるとき，$p^\prime,\ q^\prime,\ r^\prime$を$p$を用いて表せ．
(4)$(3)$における$3$点$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$は一直線上にないことを示せ．
国立 京都工芸繊維大学 2015年 第1問$xyz$空間の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ 4,\ -1)$を考える．直線$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{C}_1$，$C_2$はそれぞれ次の条件を満たす．
直線$\mathrm{AB}$上を点$\mathrm{C}$が動くとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|$は$\mathrm{C}$が$\mathrm{C}_1$に一致するとき最小となる．
直線$\mathrm{AB}$上を点$\mathrm{C}$が動くとき，$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|}$は$\mathrm{C}$が$\mathrm{C}_2$に一致するとき最大となる．
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OC}_1}|$の値および内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}_1} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}_1}$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{AC}_2}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OC}_2}|}$の値および内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}_2}$の値を求めよ．
(3)$2$つの三角形$\triangle \mathrm{AC}_1 \mathrm{O}$と$\triangle \mathrm{AOC}_2$は相似であることを示せ．
直線$\mathrm{AB}$上を点$\mathrm{C}$が動くとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|$は$\mathrm{C}$が$\mathrm{C}_1$に一致するとき最小となる．
直線$\mathrm{AB}$上を点$\mathrm{C}$が動くとき，$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|}$は$\mathrm{C}$が$\mathrm{C}_2$に一致するとき最大となる．
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OC}_1}|$の値および内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}_1} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}_1}$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{AC}_2}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OC}_2}|}$の値および内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}_2}$の値を求めよ．
(3)$2$つの三角形$\triangle \mathrm{AC}_1 \mathrm{O}$と$\triangle \mathrm{AOC}_2$は相似であることを示せ．
私立 星薬科大学 2015年 第6問$c_y \geqq 0$，$c_z \geqq 0$として，空間に点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ 2 \sqrt{3})$，$\mathrm{C}(0,\ c_y,\ c_z)$，$\mathrm{D}(-2,\ d_y,\ d_z)$を頂点とする正四面体がある．次の問に答えよ．
(1)この正四面体$\mathrm{ABCD}$の一辺の長さは$[$51$]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[$52$]$である．
(2)点$\mathrm{C}$の座標において
\[ c_y=\frac{[$53$] \sqrt{[$54$]}}{[$55$]},\quad c_z=\frac{[$56$] \sqrt{[$57$]}}{[$58$]}, \]
点$\mathrm{D}$の座標において$d_y=[$59$]$，$d_z=[$60$]$である．
(1)この正四面体$\mathrm{ABCD}$の一辺の長さは$[$51$]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[$52$]$である．
(2)点$\mathrm{C}$の座標において
\[ c_y=\frac{[$53$] \sqrt{[$54$]}}{[$55$]},\quad c_z=\frac{[$56$] \sqrt{[$57$]}}{[$58$]}, \]
点$\mathrm{D}$の座標において$d_y=[$59$]$，$d_z=[$60$]$である．
私立 名城大学 2015年 第2問空間内の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ -1)$，$\mathrm{C}(-2,\ 4,\ 3)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$について，次の各問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角$\theta$を求めよ．
(2)点$\mathrm{C}$から三角形$\mathrm{OAB}$に垂線を下ろす．この垂線と三角形$\mathrm{OAB}$との交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{OC}$上にとる．四面体$\mathrm{OABQ}$の体積が$\displaystyle \frac{9}{4}$となるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角$\theta$を求めよ．
(2)点$\mathrm{C}$から三角形$\mathrm{OAB}$に垂線を下ろす．この垂線と三角形$\mathrm{OAB}$との交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{OC}$上にとる．四面体$\mathrm{OABQ}$の体積が$\displaystyle \frac{9}{4}$となるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を求めよ．
私立 立教大学 2015年 第1問次の空欄$[ア]$～$[コ]$にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)空間内の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(2,\ 2,\ 0)$とする．実数$p,\ q$を用いて点$\mathrm{H}$を$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=p \overrightarrow{\mathrm{AB}}+q \overrightarrow{\mathrm{AC}}$で定める．原点を$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$として，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直であるとき，$p=[ア]$，$q=[イ]$である．
(2)不等式$x+3<5 |x-1|$を満たす実数$x$の範囲は，$x<[ウ]$または$x>[エ]$である．
(3)多項式$(x^5+1)^2$を$x^2+x+1$で割った余りを$Ax+B$とすると，定数$A$と$B$は$A=[オ]$，$B=[カ]$である．
(4)$0<a<1$のとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (a^{2n}+a^{3n})=[キ]$である．
(5)大中小の$3$つのサイコロをふって，出た目の和が$9$になる確率は$[ク]$である．
(6)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos (x-\theta) \, dx$の最大値は$[ケ]$であり，最小値は$[コ]$である．
(1)空間内の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(2,\ 2,\ 0)$とする．実数$p,\ q$を用いて点$\mathrm{H}$を$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=p \overrightarrow{\mathrm{AB}}+q \overrightarrow{\mathrm{AC}}$で定める．原点を$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$として，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直であるとき，$p=[ア]$，$q=[イ]$である．
(2)不等式$x+3<5 |x-1|$を満たす実数$x$の範囲は，$x<[ウ]$または$x>[エ]$である．
(3)多項式$(x^5+1)^2$を$x^2+x+1$で割った余りを$Ax+B$とすると，定数$A$と$B$は$A=[オ]$，$B=[カ]$である．
(4)$0<a<1$のとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (a^{2n}+a^{3n})=[キ]$である．
(5)大中小の$3$つのサイコロをふって，出た目の和が$9$になる確率は$[ク]$である．
(6)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos (x-\theta) \, dx$の最大値は$[ケ]$であり，最小値は$[コ]$である．
私立 慶應義塾大学 2015年 第1問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数または式などを解答欄に記入しなさい．
(1)$2$次方程式$x^2+kx+k+8=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha$，$\beta$をもつとする．このとき，定数$k$の値の範囲は$k<[ア]$または$k>[イ]$である．さらに，このとき$\alpha^2+\beta^2=19$となるような定数$k$の値は$k=[ウ]$である．
(2)$xyz$空間の$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ \sqrt{3},\ 0)$を$3$頂点とする三角形を底面にもち，$z \geqq 0$の部分にある正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．頂点$\mathrm{D}$の座標は$[エ]$である．また$4$頂点において正四面体$\mathrm{ABCD}$に外接する球の中心$\mathrm{E}$の座標は$[オ]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EB}}$のなす角を$\theta ({0}^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$とすると$\cos \theta=[カ]$である．
(3)$n$を自然数とする．白玉$5$個と赤玉$n$個が入っている袋から同時に玉を$2$個取り出すとき，取り出した玉の色が異なる確率を$p_n$とする．このとき$p_n=[キ]$である．また$\displaystyle p_n \leqq \frac{1}{5}$となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$である．
(1)$2$次方程式$x^2+kx+k+8=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha$，$\beta$をもつとする．このとき，定数$k$の値の範囲は$k<[ア]$または$k>[イ]$である．さらに，このとき$\alpha^2+\beta^2=19$となるような定数$k$の値は$k=[ウ]$である．
(2)$xyz$空間の$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ \sqrt{3},\ 0)$を$3$頂点とする三角形を底面にもち，$z \geqq 0$の部分にある正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．頂点$\mathrm{D}$の座標は$[エ]$である．また$4$頂点において正四面体$\mathrm{ABCD}$に外接する球の中心$\mathrm{E}$の座標は$[オ]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EB}}$のなす角を$\theta ({0}^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$とすると$\cos \theta=[カ]$である．
(3)$n$を自然数とする．白玉$5$個と赤玉$n$個が入っている袋から同時に玉を$2$個取り出すとき，取り出した玉の色が異なる確率を$p_n$とする．このとき$p_n=[キ]$である．また$\displaystyle p_n \leqq \frac{1}{5}$となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$である．
私立 早稲田大学 2015年 第2問空間内に，一辺の長さ$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問に答えよ．
(1)辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$とし，また，辺$\mathrm{OC}$を$k:(1-k)$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．ただし，$0<k<1$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$を，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および$k$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{DE}}|$を$k$を用いて表せ．
(3)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}$を$k$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{EAB}$の面積$S$を$k$を用いて表せ．さらに，面積$S$を最小にする$k$の値とそのときの面積を求めよ．
(1)辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$とし，また，辺$\mathrm{OC}$を$k:(1-k)$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．ただし，$0<k<1$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$を，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および$k$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{DE}}|$を$k$を用いて表せ．
(3)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}$を$k$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{EAB}$の面積$S$を$k$を用いて表せ．さらに，面積$S$を最小にする$k$の値とそのときの面積を求めよ．
私立 東邦大学 2015年 第13問$\mathrm{O}$を原点とする空間において，$3$点$\mathrm{P}(1,\ -2,\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ -2,\ 2)$，$\mathrm{R}(2,\ 0,\ 2)$を通る平面を$\alpha$とする．また，平面$\alpha$上に，点$\mathrm{P}$を中心とし，線分$\mathrm{PR}$を半径とする円$C$がある．このとき，原点$\mathrm{O}$と平面$\alpha$との距離は$[サ]$であり，原点$\mathrm{O}$と円$C$の周上の点との距離の最大値は$[シ] \sqrt{[ス]}$である．