四面体の$4$つの頂点を$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_4$とし，空間のある点$\mathrm{P}$に関するそれぞれの位置ベクトルを$\overrightarrow{a_1}$，$\overrightarrow{a_2}$，$\overrightarrow{a_3}$，$\overrightarrow{a_4}$とする．いま$\triangle \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4$，$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4$，$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_4$，$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$を順に$\mathrm{T}_1$，$\mathrm{T}_2$，$\mathrm{T}_3$，$\mathrm{T}_4$で表しその重心をそれぞれ$\mathrm{G}_1$，$\mathrm{G}_2$，$\mathrm{G}_3$，$\mathrm{G}_4$とする．

(1)点$\mathrm{H}$を$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PH}}=\frac{\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}+\overrightarrow{a_4}}{4}$を満たす点とすると，$4$つの直線$\mathrm{A}_i \mathrm{G}_i (i=1,\ 2,\ 3,\ 4)$は$\mathrm{H}$で交わることを示せ．
(2)「直線$\mathrm{A}_i \mathrm{H}$は$\mathrm{T}_i$を含む平面に直交する（$i=1,\ 2,\ 3,\ 4$）」という条件が成り立つと仮定する．このとき$\mathrm{P}$として$\mathrm{H}$を選べば，$\overrightarrow{a_j}$と$\overrightarrow{a_k}$の内積$\overrightarrow{a_j} \cdot \overrightarrow{a_k} (j,\ k=1,\ 2,\ 3,\ 4)$の値は$j \neq k$を満たすどの$j,\ k$に対しても同じであることを示せ．
(3)(2)の条件が成り立てば，四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4$は正四面体であることを示せ．

$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内に$5$点$\mathrm{A}(-1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{D}(0,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{E}(0,\ 0,\ 4)$をとる．中心が$\mathrm{D}$，半径が$2$の球面を$S$とし，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする．$S$が$\alpha$と交わってできる図形を$F$とする．$\mathrm{D}$から$\alpha$に垂線$\mathrm{DH}$を下ろす．以下の問いに答えよ．

(1)$\alpha$に垂直な単位ベクトルをすべて求めよ．
(2)$F$は$\mathrm{H}$を中心とする円であることを示せ．
(3)$F$の半径と中心の座標を求めよ．
(4)点$\mathrm{P}$は$F$上を動く点とし，直線$\mathrm{EP}$と$xy$平面との交点を$\mathrm{Q}(s,\ t,\ 0)$とする．このとき，$s,\ t$が満たす方程式を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする$xyz$空間内に$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OPQR}$がある．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通り$z$軸に平行な$3$直線と$xy$平面との交点をそれぞれ$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$，$\mathrm{R}^\prime$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{PQR}$，$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の面積をそれぞれ$S$，$S_1$とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の$3$点を通る平面と$xy$平面のなす角を$\theta$とするとき，$S_1=S |\cos \theta|$を示せ．
(2)$\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の周上を含む内部にあるとき，$z$軸と$\triangle \mathrm{PQR}$の交点を$\mathrm{A}$とする．このとき正四面体$\mathrm{OPQR}$の体積$V$は$\displaystyle V=\frac{1}{3} \mathrm{OA} \cdot S_1$となることを示し，$S_1$の最小値を求めよ．
(3)$\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の外部にあり，線分$\mathrm{OP}^\prime$と線分$\mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$が交点$\mathrm{B}$をもつとき，点$\mathrm{B}$を通り$z$軸に平行な直線と，直線$\mathrm{OP}$および直線$\mathrm{QR}$との交点をそれぞれ$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．このとき四角形$\mathrm{OQ}^\prime \mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime$の面積を$S_2$とすると$\displaystyle V=\frac{1}{3} \mathrm{CD} \cdot S_2$となることを示し，$S_2$の最大値を求めよ．

空間内に$5$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 3)$，$\mathrm{D}(2,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{E}(3,\ 3,\ 2)$がある．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{DC}}$であることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}}$のいずれにも垂直な単位ベクトルを求めよ．
(4)五面体$\mathrm{ABCDE}$の体積を求めよ．

空間内に$3$点$\mathrm{P}(t,\ 0,\ 2t \sqrt{1-t^2})$，$\mathrm{Q}(t,\ \sqrt{1-t^2},\ 0)$，$\mathrm{R}(t,\ -\sqrt{1-t^2},\ 0)$を考える．$t$が$0$から$1$まで動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$が通過してできる立体を$K$とする．

(1)三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$を$t$を用いて表せ．
(2)立体$K$の体積$V_1$を求めよ．
(3)立体$K$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_2$を求めよ．

$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{D}(1,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{G}(0,\ 0,\ \sqrt{2})$を$xyz$空間の点とする．正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし，$\mathrm{G}$を頂点とする四角すいの内部の点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$で，$x^2+y^2 \leqq 1$を満たす点を集めた図形を$V$とする．また，平面$z=a$で$V$を切断したときの切断面を$S_a$とする．ただし，$0<a<\sqrt{2}$である．以下の問いに答えよ．

(1)$S_a$が正方形となる$a$の最小値を$z_0$とする．$z_0$の値を求めよ．
(2)$(1)$の$z_0$について，$0<a<z_0$とする．$\displaystyle \cos \theta=1-\frac{a}{\sqrt{2}}$を満たす$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$を用いて$S_a$の面積を表せ．
(3)$V$の体積を求めよ．

$xyz$空間内の平面$z=2$上に点Pがあり，平面$z=1$上に点Qがある．直線PQと$xy$平面の交点をRとする．

(1)P$(0,\ 0,\ 2)$とする．点Qが平面$z=1$上で点$(0,\ 0,\ 1)$を中心とする半径1の円周上を動くとき，点Rの軌跡の方程式を求めよ．
(2)平面$z=1$上に4点A$(1,\ 1,\ 1)$，B$(1,\ -1,\ 1)$，C$(-1,\ -1,\ 1)$，D$(-1,\ 1,\ 1)$をとる．点Pが平面$z=2$上で点$(0,\ 0,\ 2)$を中心とする半径1の円周上を動き，点Qが正方形ABCDの周上を動くとき，点Rが動きうる領域を$xy$平面上に図示し，その面積を求めよ．

四面体ABCDがある．$\triangle$ABC，$\triangle$ABDの重心をそれぞれE，Fとおき，線分DEと線分CFの交点をGとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)線分DEと線分CFが交わる理由を述べよ．
(2)Oを空間内の定点とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$を用いて表せ．
(3)A$(0,\ 0,\ 4)$，B$(-1,\ 3,\ 0)$，C$(3,\ 0,\ 0)$，D$(-2,\ -3,\ 0)$のとき，$\angle \text{AGB}$，$\angle \text{BGC}$，$\angle \text{CGA}$の大小関係を不等号を用いて表せ．

四面体ABCDがある．$\triangle$ABC，$\triangle$ABDの重心をそれぞれE，Fとおき，線分DEと線分CFの交点をGとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)線分DEと線分CFが交わる理由を述べよ．
(2)Oを空間内の定点とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$を用いて表せ．
(3)A$(0,\ 0,\ 4)$，B$(-1,\ 3,\ 0)$，C$(3,\ 0,\ 0)$，D$(-2,\ -3,\ 0)$のとき，$\angle \text{AGB},\ \angle \text{BGC},\ \angle \text{CGA}$の大小関係を不等号を用いて表せ．

$xyz$空間に3点O$(0,\ 0,\ 0)$，A$(1,\ 0,\ 1)$，B$(0,\ \sqrt{3},\ 1)$がある．平面$z=0$に含まれ，中心がO，半径が1の円を$W$とする．点Pが線分OA上を，点Qが円$W$の周および内部を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をみたす点R全体がつくる立体を$V_A$とおく．同様に点Pが線分OB上を，点Qが円$W$の周および内部を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をみたす点R全体がつくる立体を$V_B$とおく．さらに$V_A$と$V_B$の重なり合う部分を$V$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)平面$\displaystyle z=\cos \theta \ (0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2})$による立体$V$の切り口の面積を$\theta$を用いて表せ．
(2)立体$V$の体積を求めよ．