「空間」について
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国立 筑波大学 2013年 第3問$xyz$空間において，点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$を通る平面上にあり，正三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円板を$D$とする．円板$D$の中心を$\mathrm{P}$，円板$D$と辺$\mathrm{AB}$の接点を$\mathrm{Q}$とする．
(1)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)円板$D$が平面$z=t$と共有点をもつ$t$の範囲を求めよ．
(3)円板$D$と平面$z=t$の共通部分が線分であるとき，その線分の長さを$t$を用いて表せ．
(4)円板$D$を$z$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
（図は省略）
(1)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)円板$D$が平面$z=t$と共有点をもつ$t$の範囲を求めよ．
(3)円板$D$と平面$z=t$の共通部分が線分であるとき，その線分の長さを$t$を用いて表せ．
(4)円板$D$を$z$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
（図は省略）
国立 東京農工大学 2013年 第2問$xyz$空間に点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ 5)$がある．次の問いに答えよ．
(1)球面$x^2+y^2+(z-2)^2=9$と平面$\displaystyle x=\frac{1}{2}$が交わってできる円を$C$とする．$C$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)$C$上に点$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{1}{2},\ s,\ t \right)$をとったとき，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線と$xy$平面との交点を$\mathrm{R}(X,\ Y,\ 0)$とする．$X,\ Y$それぞれを$s,\ t$の式で表せ．
(3)$\mathrm{Q}$が$C$上のすべての点を動くとき，$\mathrm{R}$が描く曲線を$C^\prime$とする．$C^\prime$の長さ$L$を求めよ．
(1)球面$x^2+y^2+(z-2)^2=9$と平面$\displaystyle x=\frac{1}{2}$が交わってできる円を$C$とする．$C$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)$C$上に点$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{1}{2},\ s,\ t \right)$をとったとき，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線と$xy$平面との交点を$\mathrm{R}(X,\ Y,\ 0)$とする．$X,\ Y$それぞれを$s,\ t$の式で表せ．
(3)$\mathrm{Q}$が$C$上のすべての点を動くとき，$\mathrm{R}$が描く曲線を$C^\prime$とする．$C^\prime$の長さ$L$を求めよ．
国立 宮城教育大学 2013年 第3問空間内に$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$と点$\mathrm{O}$があり，
\[ |\overrightarrow{\mathrm{AO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{CO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{DO}}| \]
を満たしている．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)空間内の点$\mathrm{P}$について，$l,\ m,\ n$を実数とし，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=l \overrightarrow{b}+m \overrightarrow{c}+n \overrightarrow{d} \]
とする．このとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2$をそれぞれ$l,\ m,\ n$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2$であるための必要十分条件を$l,\ m,\ n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})$であることを示せ．
(3)線分$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を通る平面と直線$\mathrm{EO}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．
\[ |\overrightarrow{\mathrm{AO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{CO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{DO}}| \]
を満たしている．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)空間内の点$\mathrm{P}$について，$l,\ m,\ n$を実数とし，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=l \overrightarrow{b}+m \overrightarrow{c}+n \overrightarrow{d} \]
とする．このとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2$をそれぞれ$l,\ m,\ n$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2$であるための必要十分条件を$l,\ m,\ n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})$であることを示せ．
(3)線分$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を通る平面と直線$\mathrm{EO}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．
国立 宮城教育大学 2013年 第3問空間内に$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$と点$\mathrm{O}$があり，
\[ |\overrightarrow{\mathrm{AO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{CO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{DO}}| \]
を満たしている．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)空間内の点$\mathrm{P}$について，$l,\ m,\ n$を実数とし，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=l \overrightarrow{b}+m \overrightarrow{c}+n \overrightarrow{d} \]
とする．このとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2$をそれぞれ$l,\ m,\ n$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2$であるための必要十分条件を$l,\ m,\ n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})$であることを示せ．
(3)線分$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を通る平面と直線$\mathrm{EO}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．
\[ |\overrightarrow{\mathrm{AO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{CO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{DO}}| \]
を満たしている．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)空間内の点$\mathrm{P}$について，$l,\ m,\ n$を実数とし，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=l \overrightarrow{b}+m \overrightarrow{c}+n \overrightarrow{d} \]
とする．このとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2$をそれぞれ$l,\ m,\ n$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2$であるための必要十分条件を$l,\ m,\ n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})$であることを示せ．
(3)線分$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を通る平面と直線$\mathrm{EO}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．
国立 秋田大学 2013年 第3問空間内の点$\mathrm{P}(1,\ -1,\ -2)$を出発して，$3$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$で向きを変えてもとの点$\mathrm{P}$に戻る折れ線$\mathrm{PQRSP}$を，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(-2,\ 4,\ 5)$，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}=(2,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{\mathrm{RS}}=(-3,\ -4,\ -2)$となるように定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)平面上の点$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$，$\mathrm{R}^\prime$，$\mathrm{S}^\prime$を，それぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$の$x,\ y$座標を取り出して得られる点とする．例えば，点$\mathrm{P}^\prime$の座標は$(1,\ -1)$となる．このとき，平面上の線分$\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime$と線分$\mathrm{R}^\prime \mathrm{S}^\prime$の交点$\mathrm{M}^\prime$を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$上の点$\mathrm{M}_1$と線分$\mathrm{RS}$上の点$\mathrm{M}_2$を，$\mathrm{M}_1$の$x,\ y$座標が$\mathrm{M}_2$の$x,\ y$座標とそれぞれ等しくなる点とする．$2$点$\mathrm{M}_1$，$\mathrm{M}_2$間の距離を求めよ．
(4)空間内の点$\mathrm{X}$が，点$\mathrm{Q}$を出発して点$\mathrm{P}$まで，$\mathrm{Q} \to \mathrm{R} \to \mathrm{S} \to \mathrm{P}$の順に折れ線上を動く．点$\mathrm{X}$から直線$\mathrm{PQ}$上に垂線を引き，その交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と同じ向きに動いた距離の総和と，逆の向きに動いた距離の総和を，それぞれ求めよ．
(1)点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)平面上の点$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$，$\mathrm{R}^\prime$，$\mathrm{S}^\prime$を，それぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$の$x,\ y$座標を取り出して得られる点とする．例えば，点$\mathrm{P}^\prime$の座標は$(1,\ -1)$となる．このとき，平面上の線分$\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime$と線分$\mathrm{R}^\prime \mathrm{S}^\prime$の交点$\mathrm{M}^\prime$を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$上の点$\mathrm{M}_1$と線分$\mathrm{RS}$上の点$\mathrm{M}_2$を，$\mathrm{M}_1$の$x,\ y$座標が$\mathrm{M}_2$の$x,\ y$座標とそれぞれ等しくなる点とする．$2$点$\mathrm{M}_1$，$\mathrm{M}_2$間の距離を求めよ．
(4)空間内の点$\mathrm{X}$が，点$\mathrm{Q}$を出発して点$\mathrm{P}$まで，$\mathrm{Q} \to \mathrm{R} \to \mathrm{S} \to \mathrm{P}$の順に折れ線上を動く．点$\mathrm{X}$から直線$\mathrm{PQ}$上に垂線を引き，その交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と同じ向きに動いた距離の総和と，逆の向きに動いた距離の総和を，それぞれ求めよ．
国立 群馬大学 2013年 第13問空間内に$4$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{B}(6,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(4,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{D}(5,\ 1,\ 7)$がある．
(1)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{D}$から$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$の交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{E}$を，$\mathrm{H}$が線分$\mathrm{DE}$の中点となるようにとるとき，$\mathrm{E}$の座標を求めよ．
(2)$0<t<1$とする．線分$\mathrm{AB}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{BC}$を$t^2:1-t^2$に内分する点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{R}$とするとき，四面体$\mathrm{BPQR}$の体積の最大値を求めよ．
(1)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{D}$から$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$の交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{E}$を，$\mathrm{H}$が線分$\mathrm{DE}$の中点となるようにとるとき，$\mathrm{E}$の座標を求めよ．
(2)$0<t<1$とする．線分$\mathrm{AB}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{BC}$を$t^2:1-t^2$に内分する点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{R}$とするとき，四面体$\mathrm{BPQR}$の体積の最大値を求めよ．
国立 岐阜大学 2013年 第7問$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$は空間のベクトルであり，次の条件を満たしている．
\[ \begin{array}{l}
\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \\
|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{d}|=1
\end{array} \]
以下の問に答えよ．ここで$2$つのベクトルのなす角$\theta$は$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$である．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角と$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{d}$のなす角が等しいことを示せ．
(2)内積$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$が$0$であることを示せ．
(3)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角と$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$のなす角が等しいとする．このとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$は，$\cos \theta \leqq 0$を満たすことを示せ．
\[ \begin{array}{l}
\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \\
|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{d}|=1
\end{array} \]
以下の問に答えよ．ここで$2$つのベクトルのなす角$\theta$は$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$である．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角と$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{d}$のなす角が等しいことを示せ．
(2)内積$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$が$0$であることを示せ．
(3)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角と$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$のなす角が等しいとする．このとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$は，$\cos \theta \leqq 0$を満たすことを示せ．
国立 島根大学 2013年 第4問空間における$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ -1)$，$\mathrm{B}(3,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{C}(-1,\ 3,\ 0)$を通る平面を$\alpha$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$は直角二等辺三角形であることを示せ．
(2)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線を下ろし，その交点を$\mathrm{H}$とするとき，点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$に外接する球の中心の座標を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$は直角二等辺三角形であることを示せ．
(2)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線を下ろし，その交点を$\mathrm{H}$とするとき，点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$に外接する球の中心の座標を求めよ．
国立 愛媛大学 2013年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$i$を虚数単位とする．等式$(1+i)^{14}=a+bi$を満たす実数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$x$の多項式$x^4-px+q$が$(x-1)^2$で割り切れるとき，定数$p,\ q$の値を求めよ．
(3)$\theta$が方程式$\displaystyle \cos 2\theta-2 \sin \theta=\frac{47}{50}$を満たすとき，$\sin \theta$の値を求めよ．
(4)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{x^2+x+4}-\sqrt{x^2+4}) \sin 2x}{x^2} \]
(5)空間内に$5$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$があり，次の等式を満たしている．
\[ \overrightarrow{\mathrm{EA}}+\overrightarrow{\mathrm{EB}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}}+\overrightarrow{\mathrm{ED}}=\overrightarrow{\mathrm{0}},\quad \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}} \]
$\overrightarrow{\mathrm{EB}}$を$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EC}}$を用いて表せ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$は零ベクトルである．
(1)$i$を虚数単位とする．等式$(1+i)^{14}=a+bi$を満たす実数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$x$の多項式$x^4-px+q$が$(x-1)^2$で割り切れるとき，定数$p,\ q$の値を求めよ．
(3)$\theta$が方程式$\displaystyle \cos 2\theta-2 \sin \theta=\frac{47}{50}$を満たすとき，$\sin \theta$の値を求めよ．
(4)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{x^2+x+4}-\sqrt{x^2+4}) \sin 2x}{x^2} \]
(5)空間内に$5$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$があり，次の等式を満たしている．
\[ \overrightarrow{\mathrm{EA}}+\overrightarrow{\mathrm{EB}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}}+\overrightarrow{\mathrm{ED}}=\overrightarrow{\mathrm{0}},\quad \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}} \]
$\overrightarrow{\mathrm{EB}}$を$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EC}}$を用いて表せ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$は零ベクトルである．
私立 昭和大学 2013年 第1問次の各問に答えよ．
(1)空間に点$\mathrm{P}(-4,\ -6,\ 3)$がある．いま，$2$点$\mathrm{A}(2,\ -3,\ 0)$，$\mathrm{B}(-4,\ 0,\ 12)$を結ぶ直線上に点$\mathrm{H}$をとり，直線$\mathrm{PH}$が直線$\mathrm{AB}$と垂直になるようにする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．
(i) $\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}=t$とおく．$\sin \theta$を$t$を用いて表せ．
(ii) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=-\frac{1}{5} (-\pi<\theta<\pi)$とする．$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}$の値を求めよ．
(3)$1$から$n$までの番号が$1$つずつ書かれた$n$枚の同じ形のカードがある．ただし，$n$は$2$以上の整数である．この$n$枚のカードから，元に戻さずに$1$枚ずつ$2$回無作為に抜き出すとする．$2$回目に抜き出したカードの番号が$1$回目の番号より大きければ，$2$回目のカードの番号を得点とする．そうでなければ得点は$0$とする．次の問に答えよ．
(i) $m$は$1 \leqq m \leqq n$を満たす整数とする．$2$回目のカードの番号が$m$となる確率を求めよ．
(ii) $m$は$(ⅰ)$と同じとする．得点が$m$となる確率を求めよ．
(iii) 得点が$0$となる確率を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] 得点の期待値を求めよ．
(1)空間に点$\mathrm{P}(-4,\ -6,\ 3)$がある．いま，$2$点$\mathrm{A}(2,\ -3,\ 0)$，$\mathrm{B}(-4,\ 0,\ 12)$を結ぶ直線上に点$\mathrm{H}$をとり，直線$\mathrm{PH}$が直線$\mathrm{AB}$と垂直になるようにする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．
(i) $\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}=t$とおく．$\sin \theta$を$t$を用いて表せ．
(ii) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=-\frac{1}{5} (-\pi<\theta<\pi)$とする．$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}$の値を求めよ．
(3)$1$から$n$までの番号が$1$つずつ書かれた$n$枚の同じ形のカードがある．ただし，$n$は$2$以上の整数である．この$n$枚のカードから，元に戻さずに$1$枚ずつ$2$回無作為に抜き出すとする．$2$回目に抜き出したカードの番号が$1$回目の番号より大きければ，$2$回目のカードの番号を得点とする．そうでなければ得点は$0$とする．次の問に答えよ．
(i) $m$は$1 \leqq m \leqq n$を満たす整数とする．$2$回目のカードの番号が$m$となる確率を求めよ．
(ii) $m$は$(ⅰ)$と同じとする．得点が$m$となる確率を求めよ．
(iii) 得点が$0$となる確率を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] 得点の期待値を求めよ．