タグ「空間ベクトル」の検索結果

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長崎大学 国立 長崎大学 2015年 第2問
ひし形の紙がある(図$1$).点線で半分に折ると正三角形になった(図$2$).これを少し開いて机の上に立てると,三角錐の形になる(図$3$).その高さを次のようにして求めたい.
(図は省略)
(図は省略)
図$4$において,$2$つの正三角形$\mathrm{OAB}$と$\mathrm{OAC}$の$1$辺の長さを$1$とする.点$\mathrm{O}$と平面$\mathrm{ABC}$の距離が,三角錐$\mathrm{OABC}$の高さになる.空間ベクトルを利用してこの高さを求める.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\angle \mathrm{BOC}=\theta$とおき,線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする.以下の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を,$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ.また,$|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|^2$の値を$\cos \theta$を用いて表せ.
(3)実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OM}}$とおくと,点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にある.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$が成り立つことを示せ.さらに,$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$を満たす点であるとき,$t$の値を$\cos \theta$を用いて表せ.
(4)三角錐$\mathrm{OABC}$の高さを$h$とする.$h$を$\cos \theta$を用いて表せ.さらに,$\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$が成り立つとき,$\theta$と$h$の値を求めよ.
長崎大学 国立 長崎大学 2015年 第2問
ひし形の紙がある(図$1$).点線で半分に折ると正三角形になった(図$2$).これを少し開いて机の上に立てると,三角錐の形になる(図$3$).その高さを次のようにして求めたい.
(図は省略)
(図は省略)
図$4$において,$2$つの正三角形$\mathrm{OAB}$と$\mathrm{OAC}$の$1$辺の長さを$1$とする.点$\mathrm{O}$と平面$\mathrm{ABC}$の距離が,三角錐$\mathrm{OABC}$の高さになる.空間ベクトルを利用してこの高さを求める.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\angle \mathrm{BOC}=\theta$とおき,線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする.以下の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を,$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ.また,$|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|^2$の値を$\cos \theta$を用いて表せ.
(3)実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OM}}$とおくと,点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にある.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$が成り立つことを示せ.さらに,$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$を満たす点であるとき,$t$の値を$\cos \theta$を用いて表せ.
(4)三角錐$\mathrm{OABC}$の高さを$h$とする.$h$を$\cos \theta$を用いて表せ.さらに,$\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$が成り立つとき,$\theta$と$h$の値を求めよ.
長崎大学 国立 長崎大学 2015年 第2問
ひし形の紙がある(図$1$).点線で半分に折ると正三角形になった(図$2$).これを少し開いて机の上に立てると,三角錐の形になる(図$3$).その高さを次のようにして求めたい.
(図は省略)
(図は省略)
図$4$において,$2$つの正三角形$\mathrm{OAB}$と$\mathrm{OAC}$の$1$辺の長さを$1$とする.点$\mathrm{O}$と平面$\mathrm{ABC}$の距離が,三角錐$\mathrm{OABC}$の高さになる.空間ベクトルを利用してこの高さを求める.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\angle \mathrm{BOC}=\theta$とおき,線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする.以下の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を,$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ.また,$|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|^2$の値を$\cos \theta$を用いて表せ.
(3)実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OM}}$とおくと,点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にある.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$が成り立つことを示せ.さらに,$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$を満たす点であるとき,$t$の値を$\cos \theta$を用いて表せ.
(4)三角錐$\mathrm{OABC}$の高さを$h$とする.$h$を$\cos \theta$を用いて表せ.さらに,$\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$が成り立つとき,$\theta$と$h$の値を求めよ.
自治医科大学 私立 自治医科大学 2014年 第18問
$3$つの空間ベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ -2)$,$\overrightarrow{b}=(3,\ 4,\ 0)$,$\overrightarrow{c}=(x,\ y,\ z)$について考える.$\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に垂直であり,$|\overrightarrow{c}|=2 \sqrt{5}$となる.$|z|$の値を求めよ.
北海道大学 国立 北海道大学 2013年 第3問
空間ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 0,\ 0)$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{d}$を考える.$|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{d}|=1$で,$\overrightarrow{b}$は$xy$平面上にあり,その$y$成分は正とする.また,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=p$とおく.

(1)$|p|<1$であることを示せ.また,$p$を用いて$\overrightarrow{b}$の成分表示を書け.
(2)$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{d}$は相異であり,
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d}=p \]
をみたすとする.$\overrightarrow{c}$の$z$成分が正のとき,$p$を用いて$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{d}$の成分表示を書け.
(3)上の条件に加えて$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d}=p$であるとき$p$の値を求めよ.
高知大学 国立 高知大学 2011年 第1問
空間ベクトル$\overrightarrow{a}=(-1,\ 3,\ -2)$,$\overrightarrow{b}=(1,\ -1,\ 0)$,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$とするとき,次の問いに答えよ.ただし,$t$は任意の正の実数とする.

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ.
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$が垂直になるときの$t$の値を求めよ.
(3)$|\overrightarrow{c}|^2$を$t$で表せ.
(4)$|\overrightarrow{c}|$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ.
(5)$|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}|$となる$t$の値を求めよ.
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「空間ベクトル」とは・・・

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