次の空欄を適当に補え．

(1)$x$が$x^2+x+1=0$を満たすとする．このとき$2x^4-x^3-2x^2-4x+2$の値は$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)方程式$3^{2x+1}+2^3 \cdot 3^x-3=0$を解くと$x=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)$2$つの単位ベクトル$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$に対して，$2 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}$の大きさが$\sqrt{7}$のとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)$t>0$とする．$3$次関数$y=x^3-3x^2-9x+t$のグラフと$x$軸との共有点がただ$1$つのとき，定数$t$の値の範囲は$[$(\mathrm{d])$}$である．
(5)$\mathrm{A}$を含む男子$4$人と$\mathrm{B}$を含む女子$5$人が$1$列に並ぶ．このとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が隣り合う確率は$[$(\mathrm{e])$}$である．また，男子が隣り合わない確率は$[$(\mathrm{f])$}$である．
(6)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^2-3 \log (x+2)$の最小値は$[$(\mathrm{g])$}$である．

次の$[　]$にあてはまる答を求めよ．

(1)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=4$である三角形$\mathrm{ABC}$を考える．$\cos \angle \mathrm{BAC}$の値は$[　]$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[　]$である．また，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[　]$である．さらに，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{I}$とし，直線$\mathrm{AI}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AI}$の長さを線分$\mathrm{ID}$の長さで割った$\displaystyle \frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{ID}}$の値は$[　]$である．
(2)放物線$y=x^2-4x+3$を$C$とおく．点$(2,\ -5)$から$C$に引いた$2$本の接線の方程式は$y=[　]$と$y=[　]$である．これら$2$本の接線と$C$で囲まれた図形の面積は$[　]$である．

次の$[　]$を適当に補え．

(1)$\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=[　]$，$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \right)^2+\left( \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \right)^2=[　]$である．

(2)$10$本のくじの中に$2$本の当たりくじがある．このくじを$\mathrm{A}$君が$2$本引き，次に$\mathrm{B}$さんが$2$本引く．ただし，引いたくじはもとに戻さないとする．このとき，$\mathrm{A}$君が$1$本も当たらない確率は$[　]$である．また，$\mathrm{B}$さんが少なくとも$1$本当たる確率は$[　]$である．
(3)$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\mathrm{OQ}$の内積は$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[　]$である．また，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$[　]$である．
(4)複素数$z=x+yi$（$x,\ y$は実数，$i$は虚数単位）に対して，$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$とする．このとき，$|z|=1$と$|z-i|=1$を同時にみたす複素数$z$は$z=[　]$である．
(5)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$\displaystyle \frac{1}{\sin \theta}+\frac{1}{\cos \theta}=2 \sqrt{6}$のとき，$\sin \theta \cos \theta=[　]$であり，$\theta=[　]$である．
(6)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} x \sin 3x \, dx=[　]$

次の$[　]$にあてはまる答を記せ．ただし，$(5)$において，必要ならば$\log_{10}2=0.3010$を用いてよい．

(1)$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=1:3$である三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OM}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする．

(i) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$を表すと，$\overrightarrow{\mathrm{NA}}=[　] \overrightarrow{a}-[　] \overrightarrow{b}$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$が垂直であるとき，$\cos \theta$の値は$[　]$である．

(2)$(x+2y+3z)^6$の展開式における$x^4y^2$の係数は$[　]$であり，$x^3y^2z$の係数は$[　]$である．
(3)点$(x,\ y)$が不等式$x^2+y^2 \leqq 4$の表す領域を動くとする．このとき，$3x+y$は，$x=[　]$，$y=[　]$において最大値$[　]$をとり，$x=[　]$，$y=[　]$において最小値$[　]$をとる．
(4)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つの袋があり，$\mathrm{A}$には赤球$2$個と白球$2$個，$\mathrm{B}$には白球$1$個と青球$3$個，さらに，$\mathrm{C}$には赤球$2$個と白球$1$個と青球$1$個が入っている．いま，$\mathrm{A}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{B}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{C}$から$1$個の球を取り出す．

(i) 取り出した$3$個の球の色が$1$種類となる確率は$[　]$である．
(ii) 取り出した$3$個の球の色が$2$種類となる確率は$[　]$である．
(iii) 取り出した$3$個の球の色が$3$種類となる確率は$[　]$である．

(5)条件$a_1=5$，$a_{n+1}=2a_n-3$によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[　]$で与えられる．この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき，$S_8$の値は$[　]$であり，不等式$\displaystyle \frac{S_n}{3}>n+16666$を満たす正の整数$n$のうちで最小のものは$[　]$である．

次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．

(1)塔の高さを測るために，塔から水平に$380 \; \mathrm{m}$離れた地点で塔の先端の仰角を測ったところ，$59^\circ$であった．目の高さを$1.6 \; \mathrm{m}$とすると，塔の高さは$[　] \, \mathrm{m}$である．（小数第$3$位を四捨五入すること．また，$\sin 59^\circ=0.8572$，$\cos 59^\circ=0.5150$，$\tan 59^\circ=1.6643$とする．）
(2)連立不等式$8x-12<4(x+2)<6x$を解くと，$[　]$である．
(3)点$(0,\ a)$から円$x^2+y^2=1$に引いた$2$本の接線の傾きを$a$を用いて表すと，$[　]$と$[　]$である．（ただし，$|a|>1$とする．）
(4)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 2,\ 1)$とベクトル$\overrightarrow{b}=(2,\ 1,\ -1)$のなす角を$\theta_1 (0^\circ \leqq \theta_1 \leqq 180^\circ)$とし，ベクトル$\overrightarrow{c}=(1,\ -1,\ 2)$とベクトル$\overrightarrow{d}=(-4,\ 2,\ 3)$のなす角を$\theta_2 (0^\circ \leqq \theta_2 \leqq 180^\circ)$とする．このとき，$\theta_1$と$\theta_2$の大小関係は$[　]$である．
(5)次の和を求めよ．

(i) $1 \cdot 1+2 \cdot 3+3 \cdot 5+\cdots +n \cdot (2n-1)=[　]$
(ii) $1 \cdot 1^2+2 \cdot 3^2+3 \cdot 5^2+\cdots +n \cdot (2n-1)^2=[　]$

(6)次の値を求めよ．
$(ⅰ) \sqrt[6]{64}=[　] \qquad (ⅱ) \sqrt[5]{0.00001}=[　]$
$(ⅲ) \sqrt[3]{216}=[　] \qquad \tokeishi \sqrt[3]{\sqrt{729}}=[　]$
(7)$2$次方程式$x^2+2kx+(2k+3)=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$0<\alpha<1$，$2<\beta<3$となるような定数$k$の値の範囲は，$[　]$である．
(8)赤色の球が$2$個，青色の球が$3$個，黄色の球が$4$個入った袋がある．この袋から同時に$3$個の球を取り出すとき，取り出した球に赤色の球が含まれない確率は$[　]$であり，取り出した球の色が$2$種類である確率は$[　]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq \theta<2\pi$とする．$2 \sin^2 \theta-3 \cos \theta-3 \geqq 0$を満足する$\theta$の範囲は$[　]$であり，この$\theta$に対する$\tan \theta$の最大値は$[　]$である．
(2)数字$1$のカード$1$枚，数字$3$のカード$2$枚，数字$a$（$a$は$1,\ 3,\ 6$以外の正の整数）のカード$2$枚，数字$6$のカード$b$枚の中から無作為に$1$枚のカードを取り出したとき，そのカードに記された数字の期待値が$\displaystyle \frac{9}{2}$になった．このとき$(a,\ b)$の組をすべて求めると$(a,\ b)=[　]$である．
(3)$f(x)=x^6-2x^4-x^2+2$とする．$f(x)$を整数の範囲で因数分解すると$[　]$となり，複素数の範囲で因数分解すると$[　]$となる．

次の問いに答えよ．

(1)$f(t)=be^{at}$（$a,\ b$：定数）を微分した答えを$f(t)$を用いて表すと，
\[ \frac{d}{dt}f(t)=[　] \qquad \cdots\cdots① \]
である．
(2)物体が水平面に対し垂直な方向に落下するものとする．デカルトは時刻$t$での物体の速度について，速度が落下距離に比例するものと考えた．これに従えば，時刻$t$での物体の落下距離を$f(t)$とし，$f(0)=x_0>0$，その比例定数を$c_0>0$とするとき，$①$を満たすような関数が$f(t)=be^{at}$の形で表わされることを用いると$f(t)=[　]$である．
(3)一方，ガリレオは速度が落下した時間に比例すると考えた．時刻$T$で落下しはじめた物体の，時刻$t (t \geqq T)$での高さを$g(t)$とし，$g(T)=x_1>0$，その比例定数を$c_1>0$とするとき，$g(t)=[　]$である．

$2$つの関数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$と$g(x)=|-x^2+6x-3|-2$がある．

(1)関数$f(x)$は，極大値$[ア]$，極小値$[イ]$をとる．
(2)関数$y=g(x)$のグラフと直線$x+y=k$が異なる$4$個の共有点をもつ．このとき，実数$k$のとり得る値の範囲は，$[ウ]<k<[エ]$である．
(3)方程式$f(x)=g(x)$の解のうち，最小のものは$x=[オ]$であり，最大のものは$x=[カ]$である．

$a,\ b$を$a<b$を満たす実数とし，$f(x)=x^2+3$とおく．$2$次関数$y=f(x)$のグラフ上の点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における接線を$\ell$，点$\mathrm{Q}(b,\ f(b))$における接線を$m$とするとき，直線$\ell$と$m$は原点で交わっているものとする．

(1)点$\mathrm{P}$で直線$\ell$と接し，点$\mathrm{Q}$で直線$m$と接する円の方程式は
\[ x^2+(y-[キ])^2=[ク] \]
である．
(2)点$\mathrm{P}$で直線$\ell$と垂直に交わる直線と点$\mathrm{Q}$で直線$m$と垂直に交わる直線の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，線分$\mathrm{PR}$と線分$\mathrm{QR}$および放物線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積は$[ケ]$である．

$7$個の数字$1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 5$の中から$5$個の数字を選んで$1$列に並べ，$5$桁の数を作る．

(1)$5$桁の数は全部で$[ソ]$通りできる．これらの$5$桁の数を小さい方から順に並べたとき，$23145$は$[タ]$番目の数である．
(2)同じ数字が隣り合わないような$5$桁の数は全部で$[チ]$通りできる．