$1$個のさいころを投げて，$3$以上の目が出たときはその目を得点とし，$1$または$2$の目が出たときは，もう一度投げて$2$回目に出た目を得点とする．このとき，

(1)得点が$1$である確率は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ][チ]}$である．

(2)得点が$3$である確率は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]}$である．

(3)得点の期待値は$\displaystyle \frac{[ト][ナ]}{[ニ]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$\sqrt{3} \cos \theta+3 \sin \theta-\sqrt{6}>0 (0 \leqq \theta<2\pi)$の解は$\displaystyle \frac{\pi}{[ア][イ]}<\theta<\frac{[ウ]}{[エ][オ]} \pi$である．

(2)$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:2$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{AE}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{[ク]}{[ケ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[コ]}{[サ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[シ]}{[サ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
と表せる．

関数$\displaystyle f(x)=2(\log_2 \frac{x}{2})(\log_4 \frac{x}{8})+3 (1 \leqq x \leqq 8)$について，$t=\log_2x$とおく．

(1)$t$のとり得る値の範囲は$[ス] \leqq t \leqq [セ]$である．
(2)$f(x)=t^2-[ソ]t+[タ]$である．
(3)関数$f(x)$は$t=[チ]$，すなわち$x=[ツ]$のとき最大値$[テ]$をとり，$t=[ト]$，すなわち$x=[ナ]$のとき最小値$[ニ]$をとる．

数列$\{a_n\}$が
\[ a_1=1,\quad a_n=-a_{n-1}+(-1)^n 3n \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
で定義されている．

(1)$a_2=[ア]$，$a_3=-[イ][ウ]$である．
(2)$b_n=(-1)^na_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，
\[ b_n=b_{n-1}+[エ]n \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
である．
(3)$\displaystyle a_n=(-1)^nb_n=\frac{(-1)^n}{[オ]}([カ]n^2+[キ]n-[ク]) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．

関数$\displaystyle f(x)=2x^2+3x+1,\ g(x)=x^2+x+2$に対して，
\[ h(x)=2 \int_1^x f(t) \, dt-3 \int_1^x g(t) \, dt \]
とおく．

(1)$\displaystyle h(x)=\frac{1}{[ケ]}x^3+\frac{[コ]}{[サ]}x^2-4x+\frac{[シ][ス]}{[セ]}$である．

(2)$h(x)$は$x=[ソ][タ]$で極大値$\displaystyle \frac{[チ][ツ][テ]}{[ト]}$をとり，$x=[ナ]$で極小値$[ニ]$をとる．

方程式$2 \log_2 |x-4|+\log_2(x+8)=a$を考える．$a$は定数である．このとき，次の問に答えなさい．

(1)この方程式が解$x=0$をもつとき$a=[ア]$である．
(2)$a=3+\log_25$のとき，この方程式の解$x$は
\[ x=[イ],\quad [ウエ] \pm [オ] \sqrt{[カ]} \]
である．
(3)この方程式の解$x$の個数がちょうど$2$個となるとき$a$の値は$a=[キ]$である．また，このときの解$x$は$x=[クケ]$，$[コ]$である．また$a=5 \log_23$のとき，この方程式の解$x$の個数はちょうど$[サ]$個である．

さいころを$3$回投げて$1$回目の数を$a$，$2$回目の数を$b$，$3$回目の数を$c$とおく．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$a+b+c=6$となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウエ]}$である．

(2)$abc \geqq 125$となる確率は$\displaystyle \frac{[オカ]}{[キクケ]}$である．

(3)$\displaystyle \frac{b}{a}$の期待値は$\displaystyle \frac{[コサシ]}{[スセソ]}$である．

(4)$\displaystyle \frac{bc}{a}$が整数となる確率は$\displaystyle \frac{[タチ]}{[ツテ]}$である．

次の各設問に答えよ．

(1)連立方程式

$\log_5 |x-7|+\log_5(20-y)=2$
$\log_{\frac{1}{3}}(5x+y-32)=-1$

を満たす実数$x,\ y$は，$x=[ア]$，$y=[イウ]$である．
(2)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の初項から第$n$項までの和が$37n^2+15n$のとき一般項は
\[ a_n=[エオ](n-1)+[カキ] \]
であり，$a_n$が$2000$より大きくなるのは第$[クケ]$項からである．

$2$点$\mathrm{A}(2,\ 6)$，$\mathrm{B}(6,\ 2)$を結ぶ直線$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{P}$と原点$\mathrm{O}$を通る直線$\mathrm{OP}$がある．

(1)点$\mathrm{P}$の座標は$([ア],\ [イ])$であり，直線$\mathrm{OP}$の傾きは$[ウ]$である．
(2)$x$の$2$次関数のグラフで定める$2$つの放物線$C_1$と$C_2$が，点$\mathrm{P}$で共通接線$\mathrm{OP}$をもち，さらに$C_1$は点$\mathrm{A}$，$C_2$は点$\mathrm{B}$を通るとすると

$C_1$は$y=x^2+[エオ]x+[カキ]$
$C_2$は$y=[ク]x^2+[ケ]x+[コサシ]$

となる．

関数$\displaystyle f(x)=2 \cos^3 x-8 \sin x \cos x-2 \sin^3 x+6 \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$について，次の設問に答えよ．

(1)$\cos x-\sin x$の最小値は$[アイ]$であり，最大値は$[ウ]$である．
(2)$f(x)$を$t=\cos x-\sin x$で表した関数を$g(t)$とおくと
\[ g(t)=[エ]t^3+[オ]t^2+[カ]t+[キ] \]
である．
(3)$f(x)$の最大値は$[ク]$，最小値は$\displaystyle \frac{[ケコ]}{[サシ]}$である．