$\displaystyle a=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2},\ b=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$とする．次の空欄を埋めなさい．

(1)$a+b=[　]$，$a \times b=[　]$である．
(2)$\displaystyle \frac{b}{a}+\frac{a}{b}=[　]$である．
(3)$a^2+b^2=[　]$である．
(4)$a^3+b^3=[　]$である．
(5)$a^4+b^4=[　]$である．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を入れよ．

(1)多項式$2x^3-3x^2+2x-8$を$2x^2-1$で割った余りは$[　]$である．
(2)不等式$\displaystyle \sqrt{2x-1}<\frac{1}{2}(x+1)$を満たす$x$の値の範囲は$[　]$である．
(3)$\displaystyle a_1=1,\ \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_n}+1 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$の一般項は$[　]$である．
(4)不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{2x}>\frac{1}{2} \left( \frac{1}{16} \right)^{x}$を満たす$x$の値の範囲は$[　]$である．

(5)$\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
4 & 2
\end{array} \right) \left( \begin{array}{rr}
a & 3 \\
-2 & b
\end{array} \right)=O$が成り立つとき，$a,\ b$の値は$(a,\ b)=[　]$である．ただし，$O$は$2$次の零行列である．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を入れよ．

(1)$2x^2+5xy-3y^2-3x+5y-2$を因数分解すると$[ア]$であり， \\
$a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)$を因数分解すると$[イ]$である．
(2)$1$から$100$までの整数のうち，$2$の倍数全体の集合を$A$，$3$の倍数全体の集合を$B$，$5$の倍数全体の集合を$C$とする．$A \cup B$の要素の個数は$[ウ]$であり，$(A \cup B) \cap C$の要素の個数は$[エ]$である．
(3)不等式$3^{2x+1}+2 \cdot 3^x>1$を満たす$x$の値の範囲は$[オ]$である．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$2:3$の比に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{CA}$を$4:5$の比に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{AB}$を$[カ]$の比に内分する点を$\mathrm{R}$とするとき，$3$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BQ}$，$\mathrm{CR}$は$1$点で交わる．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を入れよ．
\[ f(x)=\frac{1}{2} \sin^2 x+4 \sin x \cos x+\frac{1}{2} \cos^2 x+\sin x+\cos x \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
の最大値および最小値を次のようにして求める．

まず，$t=\sin x+\cos x$とおくと，$t$の値がとりうる範囲は$[ア]$である．次に，$\sin x \cos x$を$t$の式で表すと$[イ]$である．よって，$f(x)$を$t$の式で表した関数を$g(t)$とすると，$g(t)=[ウ]$となる．
$g(t)$は$[ア]$の範囲で$t=[エ]$のときに最大値$[オ]$をとり，$t=[カ]$のときに最小値$[キ]$をとる．したがって，$f(x)$の最大値は$[オ]$，最小値は$[キ]$である．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を入れよ．

$xy$平面を考える．大小$2$個のさいころを投げて，大のさいころの目の数を$x$座標，小のさいころの目の数を$y$座標とする点を$\mathrm{P}$とする．もう一度，大小$2$個のさいころを投げて，大のさいころの目の数を$x$座標，小のさいころの目の数を$y$座標とする点を$\mathrm{Q}$とする．
(1)点$\mathrm{P}$が直線$\ell:y=x$上にある確率は$[ア]$である．
(2)点$\mathrm{P}$が不等式$y>x$で表される領域にある確率は$[イ]$である．
(3)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が異なる確率は$[ウ]$である．
(4)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がどちらも直線$\ell:y=x$上になく，かつ線分$\mathrm{PQ}$が$\ell$と共有点をもつ確率は$[エ]$である．
(5)線分$\mathrm{PQ}$の長さが$1$である確率は$[オ]$である．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を入れよ．

$a$を正の実数とし，$xy$平面上に放物線$C:y=ax^2$とその上の点$\mathrm{P}(p,\ ap^2)$とが与えられている．ただし，$p>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とする．
(1)放物線$C$と$x$軸および直線$x=p$で囲まれた部分の面積を$S_1(p)$とすると，$S_1(p)=[ア]$である．
(2)放物線$C$の$\mathrm{P}$における接線$\ell_1$の方程式は$y=[イ]$である．
(3)$\mathrm{P}$を通り$\ell_1$に垂直な直線$\ell_2$の方程式は$y=[ウ]$であり，$\ell_2$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[エ]$である．
(4)点$\mathrm{R}(0,\ 1)$とする．$\mathrm{OQ}$，$\mathrm{OR}$を$2$辺とする長方形の面積を$S_2(p)$とし，$f(p)=S_1(p)-S_2(p) (p>0)$とおく．関数$f(p)$が極値をもつような$a$の値の範囲は$[オ]$である．
(5)$\displaystyle a=\frac{1}{10}$のとき，$f(p)$の極値を求めて，さらに$f(p)$のグラフを描け．

次の$[　]$にあてはまる適切な数値を記入せよ．

(1)数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点の位置にある．$2$個のさいころを同時に投げる試行を$\mathrm{T}$とし，試行$\mathrm{T}$の結果によって，$\mathrm{P}$は次の規則で動く．
（規則）$2$個のさいころの出た目の積が偶数ならば$+2$だけ移動し，奇数ならば$+1$だけ移動する．
試行$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行ったときの$\mathrm{P}$の座標を$x_n$とすると，$x_1=2$となる確率は$[ア]$であり，$x_3=3$かつ$x_4=5$となる確率は$[イ]$である．また，$\mathrm{P}$が座標$4$以上の点に初めて到達するまで試行$\mathrm{T}$を繰り返し行うとき，試行回数の期待値は$[ウ]$である．
(2)平面上に$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|2 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$をみたしている．このとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=[エ]$である．また，実数$s,\ t$が条件$1 \leqq s+3t \leqq 3$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$をみたしながら動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定められた点$\mathrm{P}$の存在する範囲の面積は$[オ]$である．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}(x-1)^2+\frac{3}{2} (1 \leqq x \leqq 3)$を考える．

(1)関数$f(x)$の逆関数$f^{-1}(x)$は
\[ f^{-1}(x)=[ア]+\sqrt{[イ]x-[ウ]} \quad \left( \frac{[エ]}{[オ]} \leqq x \leqq \frac{[カ]}{[キ]} \right) \]
である．
(2)不等式$x<f^{-1}(x)$を満たす$x$の値の範囲は
\[ [ク]-\sqrt{[ケ]}<x \leqq \frac{[コ]}{[サ]} \]
である．

座標平面において次の$2$つの$2$次曲線を考える．

(1)原点$\mathrm{O}$と直線$x=-2$からの距離が等しい点の軌跡の方程式は
\[ y^2=[ア](x+[イ]) \]
である．
(2)$2$直線$\displaystyle y=\frac{3}{4}x-\frac{9}{4}$，$\displaystyle y=-\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}$を漸近線にもち，$2$つの焦点の座標が$(-2,\ 0)$，$(8,\ 0)$である双曲線の方程式は
\[ \frac{(x-[ウ])^2}{[エ][オ]}-\frac{y^2}{[カ]}=1 \]
である．
(3)$(1)$と$(2)$の$2$つの曲線の共有点は$[キ]$個ある．

関数$f(x)=|x-1| \sqrt{x}$を考える．

(1)関数$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[ク]}{[ケ]}$で極大値$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]} \sqrt{[シ]}$をとり，$x=[ス]$で極小値$[セ]$をとる．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸によって囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ][チ]}$である．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸によって囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ][ト]}$である．