以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}$を変形すると，$\displaystyle \frac{\sqrt{6}+[ア] \sqrt{3}-[イ] \sqrt{2}-[ウ]}{4}$となる．
(2)$2$次方程式$x^2+3x+4=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^3,\ \beta^3$を$2$つの解とする$2$次方程式を求めると，$x^2-[エ]x+[オカ]=0$となる．
(3)$x>8$のとき$\displaystyle \frac{4x^2-4x-223}{2x-16}$の最小値は，$[キク]$である．

点$(x,\ y)$が，$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(5,\ 0)$，$\mathrm{C}(2,\ 4)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の内部および周上を動くとき，以下の問に答えよ．

(1)$3x+y$の最大値は$[ケコ]$となる．
(2)$x^2-2x+y^2+2y+2$の最小値は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセ]}$となり，そのときの$x$の値は$\displaystyle \frac{[ソタ]}{[チツ]}$となる．

数列$a_{n+1}=(-1)^{n+1}a_n+1 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$について，以下の問に答えよ．

(1)$a_1=0$のとき，$a_4=[テ]$であり，$\displaystyle \sum_{k=1}^{80}a_k=[トナ]$である．
(2)$a_1=1$のとき，$a_{99}=[ニヌ]$であり，$\displaystyle \sum_{k=1}^{89}a_k-\sum_{k=1}^{80}a_k=[ネ]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)実数$a$に対して，$2$つの関数
\[ f(x)=x^2+4ax+8,\quad g(x)=-x^2+(2a-2)x-10 \]
を考える．このとき，$g(x) \geqq f(x)$となる$x$が存在するような$a$の値の範囲は$[ア]$である．また，$f(x)$の最小値が$g(x)$の最大値より大きくなるような$a$の値の範囲は$[イ]$である．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，$x=\sin \theta+\cos \theta$のとりうる値の範囲は$[ウ]$であり，$y=\sin 2\theta+2(\sin \theta+\cos \theta)$のとりうる値の範囲は$[エ]$である．
(3)以下の$4$つの数のうち，$1$番大きな数は$[オ]$であり，$1$番小さな数は$[カ]$である．
\[ 7^{777},\quad 10^{7 \log_{10}7},\quad 7^{(7^7)},\quad 7777777 \]
(4)$r$を正の実数とする．円$x^2+(y-1)^2=r^2$と曲線$y=x^2$が$x>0$の範囲に異なる$2$つの交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をもつような$r$の値の範囲は$[キ]$である．さらに，この$r$の範囲で$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{\sqrt{5}}{2}$が成り立つ$r$の値は$r=[ク]$である．

空間内に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-2,\ 3,\ -2)$，$\mathrm{C}(2,\ -3,\ 3)$がある．以下の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角を$\theta$とすると，
\[ \cos \theta=-\frac{[ノ] \sqrt{[ハ]}}{[ヒフ]} \]
である．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$が平行四辺形となるとき，
\[ \mathrm{D}([ヘ],\ [ホマ],\ [ミ]) \]
である．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$と$\mathrm{P}(1,\ 2,\ z)$が同一平面上にあるとき，
\[ z=-\frac{[ム]}{[メ]} \]
である．

$2$次方程式$kx^2+8kx+3k-9=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとき，以下の問に答えよ．

(1)$|\alpha-\beta|=8$のとき，$k=[コ]$となる．

(2)$8<|\alpha-\beta|<10$のとき，$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}<k<[ス]$となる．
(3)$8<|\alpha-\beta|<10$を満たし，$|\alpha|+|\beta|$が整数になるとき，$\displaystyle k=\frac{[セソ]}{[タチ]}$となる．

赤い玉が$4$個，白い玉が$2$個，青い玉が$1$個ある．このとき，以下の問に答えよ．

(1)これらの中から$3$個の玉を取り出して円形に並べる方法は$[ツ]$通りある．
(2)$7$個全ての玉を円形に並べる方法は$[テト]$通りある．
(3)$7$個全ての玉にひもを通し，首飾りを作るとき，$[ナ]$通りの首飾りができる．ただし，裏返して一致する首飾りは同じものとみなす．

三角形$\mathrm{ABC}$について$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=3 \sqrt{2}$である．また，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．このとき，以下の内積を求めよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[ニヌ]$
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=[ネノハ]$
(3)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{[ヒフ]}{[ヘ]}$

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1},\ y=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$のとき，$x^2+y^2=[ア]$，$x^3+y^3=[イ]$である．
(2)放物線$y=x^2-2x+3$を$x$軸方向に$[ウ]$，$y$軸方向に$[エ]$だけ平行移動すると，放物線$y=x^2+4x+3$が得られる．
(3)$xy$平面上に，$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0)$を端点とする線分$\mathrm{OA}$と点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$が$\mathrm{OP}:\mathrm{AP}=1:1$を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の描く軌跡は直線であり，その方程式は$[オ]$である．また，$\mathrm{P}$が$\mathrm{OP}:\mathrm{AP}=1:2$を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の描く軌跡は円であり，その方程式は$[カ]$である．
(4)放物線$C_1:y=x^2+2x$と放物線$C_2:y=-2x^2-10x$との$2$つの交点のうち，原点ではない交点の$x$座標を$x_0$とすると，$x_0=[キ]$である．$C_1$と$C_2$によって囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C_1$，$C_2$および直線$\ell:x=-5$によって囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1+S_2=[ク]$である．

$x$軸上を動く点$\mathrm{P}$があり，最初は原点にあるとする．$1$個のさいころを投げて，$1$か$2$の目が出たら点$\mathrm{P}$を正の方向に$2$だけ進め，その他の目が出たら負の方向に$1$だけ進めるものとする．以下の問に答えよ．

(1)さいころを$6$回投げたとき，$6$回目に点$\mathrm{P}$が原点に戻っている確率は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コサシ]}$である．

(2)さいころを$6$回投げたとき，$6$回目に点$\mathrm{P}$が原点に初めて戻っている確率は$\displaystyle \frac{[スセ]}{[コサシ]}$である．ただし，原点を通過した場合は，戻ったとはみなさない．
(3)さいころを$6$回投げたときに，点$\mathrm{P}$が原点に戻っているのが$2$度目である確率は$\displaystyle \frac{[ソタ]}{[チツ]}$である．ただし，原点を通過した場合は，戻ったとはみなさない．