数列$\{a_n\}$は第$2$項が$7$，第$10$項が$23$の等差数列である．初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，$S_n=[　]$である．また，$\displaystyle b_n=\frac{1}{S_n+3}$とおくとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n b_k$の値は$[　]$である．

数列$3,\ 5,\ 8,\ 12,\ 17,\ 23,\ \cdots$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，$S_n=[　]$である．また，$T_n=1+3x^2+5x^4+\cdots +(2n-1)x^{2n-2}$とする．$n \geqq 2$のとき，$(1-x^2)^2 T_n$を求めると，$(1-x^2)^2 T_n=[　]$である．

$x$に関する方程式$3 \log_x 5+2 \log_5 x=7$を解くと$x=[　]$である．また，すべての実数$x$に対して，不等式$x^2 \log_23+2x \log_2a+\log_23 \geqq x^2+2x+1$が成立するとき，$a$のとりうる値の範囲は$[　]$である．

$f(x)=x^4+3x^3-2x^2+3x+1$とする．$f(x)$が$x^2+ax+1$で割り切れるような$a$の値を求めると$a=[　]$であり，$f(x)=0$の虚数解は$x=[　]$である．

第$2$項が$\displaystyle \frac{3}{4}$，第$5$項が$48$であるような等比数列の一般項を求めると$a_n=[　]$である．また，初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$16S_n+1 \geqq 10000$となる最小の整数$n$を求めると$n=[　]$である．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{BD}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=[　]$である．また，直線$\mathrm{AE}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき，比$\mathrm{BF}:\mathrm{FC}$を求めると$[　]$である．

数直線上を動く点$\mathrm{P}$が初め原点にある．サイコロを投げて，$1$の目が出たら負の向きに$2$動かし，$2$の目のときは負の向きに$1$，また，$3$と$4$の目のときは動かさず，$5$の目のときは正の向きに$1$，そして$6$の目のときは正の向きに$2$動かすものとする．サイコロを$2$回投げたとき，点$\mathrm{P}$の座標が$2$以上である確率は$[　]$であり，また，サイコロを$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点にある確率は$[　]$である．

以下の問に答えよ．

(1)不等式$x^2-2x-30<0$を満たす整数$x$は，全部で$[アイ]$個ある．
(2)有理数$m$と$n$について，$\displaystyle (2 \sqrt{2}+3)m+(5 \sqrt{2}-1)n=\frac{1}{3 \sqrt{2}-2}$が成立するとき，$\displaystyle m=\frac{[ウエ]}{[オカキ]}$，$\displaystyle n=\frac{[ク]}{[オカキ]}$である．
(3)$2$乗して$7+24i$となる複素数は，$\pm ([ケ]+[コ]i)$である．

三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=\sqrt{6}$，$\mathrm{AC}=2 \sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=3+\sqrt{3}$である．$\mathrm{A}$から$\mathrm{BC}$に垂線を下ろし，垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，
\[ \mathrm{AH}=\sqrt{[サ]},\quad \angle \mathrm{BAC}=[シスセ]^\circ \]
である．さらに，点$\mathrm{A}$が三角形$\mathrm{DBC}$の内接円の中心となるように点$\mathrm{D}$をとる．このとき，
\[ \mathrm{AD}^2=[ソタ]+[チツ] \sqrt{[テ]} \]
である．

以下の問に答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$を実数とする．$3$次方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$が$x=3$を解にもつとき，
\[ x^3+ax^2+bx+c=(x-3) \left\{ x^2+(a+[ア])x-\frac{[イ]}{[ウ]} c \right\} \]
である．
(2)$(a+3b):(b+3c):(c+3a)=1:2:3$であるとき，$a:b:c=[エオ]:[カ]:9$である．
(3)$3$次方程式$2x^3-6x^2+7x-6=0$の$3$つの解をそれぞれ$2$乗したものの和は，$[キ]$である．