$(1)$～$(5)$の空欄にあてはまる言葉を，次の$1$～$4$から選べ．

\mon[$1$] 必要条件であるが，十分条件ではない．
\mon[$2$] 十分条件であるが，必要条件ではない．
\mon[$3$] 必要十分条件である．
\mon[$4$] 必要条件でも十分条件でもない．


(1)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{PQR}$の面積が等しいことは，$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{PQR}$が相似であるための$[ア]$
(2)整数$a,\ b$がともに奇数であることは，$ab$が奇数であるための$[イ]$
(3)$A \cap B \neq \phi$である集合$A,\ B$について，$x \in \overline{\overline{A} \cap \overline{B}}$であることは，$x \in A \cap B$であるための$[ウ]$
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}>0$であることは，$\triangle \mathrm{ABC}$が鋭角三角形であるための$[エ]$
(5)$|x|+|y| \leqq 1$は，$|x+y| \leqq 1$であるための$[オ]$

$a$は定数とする．
\[ y=-(x^2+2x)^2+2a(x^2+2x)-a^2+4 \]
のとき以下の問いに答えなさい．

(1)$t=x^2+2x$とすると，$t$の取り得る値の範囲は$t \geqq [ア]$である．
(2)$a=1$の場合を考えると，$y$の最大値は$[イ]$で，そのときの$x$の値は$[ウ]$である．
(3)$y$の最大値は，$a \geqq -1$のとき$[エ]$であり，$a<-1$のとき$[オ]$である．

次を計算しなさい．

(1)$\displaystyle \left( \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^3=[ア]$である．

(2)$\displaystyle \log_3 \sqrt{6}-\frac{1}{2} \log_3 \frac{1}{5}-\frac{3}{2} \log_3 \sqrt[3]{30}=[イ]$である．

(3)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$，$\displaystyle y=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$のとき$x^4-y^4=[ウ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\log_3 x+\log_2 y=4$，$\log_3 x \cdot \log_2 y=3$のとき
\[ (x,\ y)=([ア],\ [イ]),\ ([ウエ],\ [オ]) \]
である．
(2)方程式$\log_2 (x-2)+\log_2 (x+1)=2$の解は$x=[カ]$である．
(3)方程式$\log_4 x^2-\log_2 x \sqrt{x}+\log_{16}x^3=1$の解は$x=[キク]$である．

$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$のとき


(1)$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=\frac{[アイ]}{[ウ]}$である．

(2)$\displaystyle \sin^3 \theta+\cos^3 \theta=\frac{[エ] \sqrt{[オ]}}{[カ]}$である．

(3)$\displaystyle \sin^4 \theta+\cos^4 \theta=\frac{[キ]}{[ク]}$である．

平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=4$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{ABC}=\frac{1}{16}$とする．
\[ \mathrm{AC}=[ア],\quad \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[イ][ウ][エ]}}{[オ][カ]} \]
であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円$\mathrm{O}$の半径を$R$，平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積を$S$とすると，
\[ R=\frac{[キ][ク] \sqrt{[ケ][コ][サ]}}{[シ][ス][セ]},\quad S=\frac{[ソ]}{[タ]} \sqrt{[チ][ツ][テ]} \]
である．また
\[ \cos \angle \mathrm{BAD}=\frac{[ト][ナ]}{[ニ][ヌ]},\quad \mathrm{BD}=\sqrt{[ネノ]} \]
である．

$t$の関数$f(t)$を
\[ f(t)=-\frac{1}{2}(\log_2 t)^3+21(\log_4 t)^2-9 \log_4 t^2+1 \]
とおく．このとき以下の問いに答えなさい．

(1)$x=\log_2 t$とおくとき，
\[ f(t)=-\frac{[ア]}{[イ]}x^3+\frac{[ウエ]}{[オ]}x^2-[カ]x+1 \]
である．
(2)変数$t$が$1 \leqq t \leqq 256$の範囲を動くとき，$f(t)$は$t=[キク]$のとき最大値$[ケコ]$をとり，$t=[サ]$のとき最小値$\displaystyle -\frac{[シス]}{[セ]}$をとる．

次の問いに答えよ．

(1)次の文章の$[　]$に適する答えを記入せよ．
次のように$1$から$5$までの数字が書かれたカードを用意する．
\[ \fbox{ $1$ } \quad \fbox{ $2$ } \quad \fbox{ $3$ } \quad \fbox{ $4$ } \quad \fbox{ $5$ } \]
それに次のように$4$の数字が書かれたカードを$1$枚加える．
\[ \fbox{ $1$ } \quad \fbox{ $2$ } \quad \fbox{ $3$ } \quad \fbox{ $4$ } \quad \fbox{ $5$ } \quad \fbox{ $4$ } \]
この$6$枚のカードを$1$列に並べて$6$桁の整数をつくる．このとき，つくられる相異なる整数の場合の数は$[$①$]$であり，その中で$5$の倍数となる相異なる整数の場合の数は$[$②$]$である．次に，この$6$枚のカードに$0$と書かれたカードを加えて$7$枚のカードにし，この$7$枚のカードを$1$列に並べる．左端に$0$以外のカードが来ることによって$7$桁の相異なる整数になる場合の数は$[$③$]$である．その中で，$1$のカードと$2$のカードが隣りあう相異なる整数の場合の数は$[$④$]$である．
(2)次の不定積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してよい．
\[ \int x \log (1+x) \, dx \]

次の空欄$[ア]$から$[キ]$にあてはまる数や式を書きなさい．

(1)次の式を因数分解すれば，
\[ 2x^2+3xy+y^2+x-y-6=([ア])([イ]) \]
となる．
(2)$\mathrm{MIYAGIDAI}$のすべての文字を並べてできる順列のうち，$5$個の母音が隣り合わない場合は$[ウ]$通りある．
(3)$i$を虚数単位とするとき，
$(1+i)^2=[エ]i$であり，$(1+i)^{10}=[オ]i$である．すると，
$(1+i)^{2014}+(1-i)^{2014}=[カ]$となる．
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^{99} \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=[キ]$である．

次の空欄$[ア]$から$[ク]$にあてはまる数や式を書きなさい．

初項$2$，公差$3$の等差数列$\{a_n\}$と，初項$1$，公差$4$の等差数列$\{b_n\}$がある．このとき，それぞれの一般項を$n$を用いて表せば，
\[ a_n=[ア],\quad b_n=[イ] \]
である．
また，数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$に共通に含まれる項を順に並べると，次のような数列$\{c_n\}$が得られる．
\[ c_1=5,\quad c_2=[ウ],\quad c_3=[エ],\quad \cdots \]
したがって，数列$\{c_n\}$の一般項を$n$を用いて表せば，
\[ c_n=[オ] \]
となる．
また，数列$\{c_n\}$の第$p$項を$c_p$とするとき，数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$はともに項$c_p$を含む．よってそれぞれの項番号を自然数$p$を用いて表せば，数列$\{a_n\}$の場合は，
\[ n=[カ] \]
であり，数列$\{b_n\}$の場合は，
\[ n=[キ] \]
となる．よって，これらの項番号の差の絶対値を自然数$p$を用いて表せば，$[ク]$となる．