$\displaystyle x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}$のとき，以下の式を完成させよ．

(1)$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[ア]$

(2)$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}=[イ] \sqrt{[ウ]}$

(3)$\displaystyle x^5+\frac{1}{x^5}=[エ] \sqrt{[オ]}$

正五角形$\mathrm{ABCDE}$がある．点$\mathrm{P}$は最初，頂点$\mathrm{A}$にあり，さいころを投げるたびに出た目の数だけ正五角形の頂点を反時計まわりに移動する．このとき，

(1)さいころを$1$回投げたあと，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$にある確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．

(2)さいころを$3$回投げたあと，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$にある確率は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コサシ]}$である．

(3)さいころを$3$回投げたあと，点$\mathrm{P}$が初めて頂点$\mathrm{A}$に止まる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セソ]}$である．

$x$座標，$y$座標がともに整数である点（格子点）に対し，座標$(1,\ 0)$を番号$1$，座標$(2,\ 0)$を番号$2$，座標$(2,\ 1)$を番号$3$として，$x$座標が大きくなるにしたがい，図のように点を積み重ねていき，番号$4,\ 5,\ \cdots$と付けていく．このとき，以下の問に答えよ．
（図は省略）

(1)座標$(30,\ 29)$の番号は$[タチツ]$である．

(2)座標$(n,\ 0)$の番号は$\displaystyle \frac{n^2+[テト]n+[ナ]}{2}$である．

(3)番号が$98$となる座標は$([ニヌ],\ [ネ])$である．

次の空欄$[ア]$～$[ス]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$x^2-y^2-z^2+2yz$を因数分解すると，$[ア]$となる．
(2)$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin \theta \cos \theta$の値は$[イ]$である．
(3)$3$次方程式$4x^3-23x+39=0$の解は，$x=[ウ]$，$[エ]$，$[オ]$である．
(4)関数$f(x)=4^x+4^{-x}-3(2^x+2^{-x})+2$の最小値は$[カ]$である．
(5)数列$1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15,\ 21,\ \cdots$の第$n$項を$n$の式で表すと$[キ]$である．
(6)$\displaystyle \frac{1}{2} \log_5 27,\ \log_{125}9,\ \log_5 \sqrt[4]{27}$のうち最大のものは$[ク]$であり，最小のものは$[ケ]$である．
(7)$2$次方程式$x^2+px+q=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$\alpha-\beta=-4$，$\alpha^3-\beta^3=-28$であるとき，$p=[コ]$または$[サ]$，$q=[シ]$である．
(8)$1$個のさいころを$2$回続けて投げるとき，$1$回目に出た目より大きい目が$2$回目に出る確率は$[ス]$である．

次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)${1.6}^n>10000$を満たす最小の整数$n$の値は$[ア]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(2)関数$f(x)$が等式$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=x^2-6x-2a+16$を満たすとき，定数$a$の値は$[イ]$である．
(3)$4$つのさいころを同時に投げたとき，すべてのさいころの目の数が異なる確率は$[ウ]$である．
(4)${(\sqrt{3})}^x=243 \times 3^{-2x}$を満たすとき，$x$の値は$[エ]$である．
(5)$2$つの直線$x+2y+3=0$と$3x+y-2=0$のなす角$\theta$は$[オ]$である．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(6)$1+\sqrt{3}i$が$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解となるとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$である．ただし，$a,\ b$は実数であり，$i$は虚数単位とする．
(7)$2$次関数$y=-3x^2$のグラフを$x$軸方向に$1$，$y$軸方向に$2$だけ平行移動した放物線の方程式が$y=-3x^2+px+q$になる．このとき，$p=[ク]$，$q=[ケ]$である．
(8)$\mathrm{R},\ \mathrm{I},\ \mathrm{K},\ \mathrm{K},\ \mathrm{Y},\ \mathrm{O}$の$6$個の文字すべてを横一列に並べるとき，$\mathrm{R}$が$\mathrm{I}$より左側にあり，かつ$\mathrm{I}$が$\mathrm{Y}$より左側にあるような並べ方は$[コ]$通りである．

次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$1$でない実数$a$に対し，$f(x)=x^3+ax^2+x+1$，$g(x)=x^3+x^2+x+a$とする．方程式$f(x)=0$と$g(x)=0$がただ$1$つの共通解をもつならば，$a=[ア]$であり，$f(x)=0$のすべての解は$[イ]$である．
(2)$x>0$のとき，$f(x)=e^{-\sqrt{3}x} \sin x$の最大値は$[ウ]$であり，最小値は$[エ]$である．
(3)$\displaystyle z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$とするとき，$z^{2014}=[オ]+[カ]i$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)$a,\ b$を$2$から$9$までの自然数とするとき，$a,\ b$の組$(a,\ b)$は$64$通りあるが，そのうち$\log_a b$が整数となるのは$[キ]$通りであり，整数でない有理数となるのは$[ク]$通りである．
(5)ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$は，$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$かつ$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{1}{3}$を満たす．このとき，ベクトル$\overrightarrow{c}=p \overrightarrow{a}+q \overrightarrow{b}$が$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\frac{5}{3}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=-3$を満たすならば，$p=[ケ]$，$q=[コ]$である．ただし，$p,\ q$は実数とする．

$x$を実数とするとき，以下の問に答えよ．

(1)$3^x+3^{-x}$のとりうる値の範囲は，$3^x+3^{-x} \geqq [ア]$である．
(2)$\displaystyle \frac{10}{3}(3^x+3^{-x})-(9^x+9^{-x})-\frac{4}{3}$の最大値は，$x=[イ]$のとき，$\displaystyle \frac{[ウエ]}{[オ]}$である．

$y=-x^2$で表される放物線を$G$とし，$y=-x+1$で表される直線を$\ell$とする．

$G$上の点と$\ell$上の点との距離が最小となるときの

$G$上の点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$となり，

$\ell$上の点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$となる．
また，そのときの$G$上の点と$\ell$上の点との距離は$\displaystyle \frac{[コ] \sqrt{[サ]}}{[シ]}$となる．

点$\mathrm{P}$の座標$(x,\ y)$が，$x^2+y^2=1$，$x \geqq 0$，$y \geqq 0$を満たすものとする．原点を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{OP}$と$x$軸のなす角を$\theta$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{[ス]}{[セ]} \pi$である．

(2)$x=\cos \theta,\ y=\sin \theta$とおくと，
\[ x^2-y^2+2 \sqrt{3} xy=[ソ] \sin \left( [タ] \theta+\frac{\pi}{[チ]} \right) \]
である．
(3)$x^2-y^2+2 \sqrt{3}xy$の最大値は，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]}$のとき$[ト]$である．

次の空欄$[ア]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$(\log_3 x)(\log_3 9x)-6 \log_9 x-6=0$を満たす$x$の値をすべて求めると，$[ア]$である．
(2)座標平面上に点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ 7)$，$\mathrm{C}(-1,\ 5)$がある．このとき，点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$と直交する直線の方程式は$y=[イ]$である．
(3)実数$x$が方程式$(1+i)x^2-(5+i)x+6-2i=0$を満たすとき，$x=[ウ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$\tan \theta=\sqrt{7}$のとき，$\sin \theta=[エ]$である．
(5)$3$つのさいころを同時に投げたとき，出た目の最小値が$5$となる確率は$[オ]$である．
(6)整式$P(x)=x^3+ax^2+bx+c$は$x^2-3x+2$で割ったときの余りが$-2x+7$であり，関数$y=P(x)$は$x=1$で極値をとる．このとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$，$c=[ク]$である．
(7)$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=3$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{5}$のとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ケ]$である．
(8)直線$y=2x+k$が円$x^2-2x+y^2=0$と共有点をもつとき，$[コ] \leqq k \leqq [サ]$である．