$a$を$0$以上$9$以下の整数，$b$を$1$以上$99$以下の整数，$c$を$512$の倍数として次の問に答えよ．

(1)$80a+b$の最大値は$[$1$][$2$][$3$]$である．
(2)$80a+b-c+12$が$512$の倍数であるとき，$80a+b=[$4$][$5$][$6$]$であり，$a=[$7$]$，$b=[$8$][$9$]$である．

平面上に$2$点$\mathrm{A}(2,\ 0)$，$\mathrm{B}(6,\ 0)$があり，$c>0$として点$\mathrm{C}(0,\ c)$をとる．$\angle \mathrm{ACB}=\theta$として次の問に答えよ．

(1)$c=1$のとき，$\displaystyle \tan \theta=\frac{[$22$]}{[$23$][$24$]}$であり，$\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{\sqrt{[$25$][$26$][$27$]}}{[$28$]}$である．
(2)$\theta$が最大になるとき，$\displaystyle \tan \theta=\frac{\sqrt{[$29$]}}{[$30$]}$であり，$\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\sqrt{[$31$]}$である．

次の問に答えよ．

(1)不等式$\displaystyle \frac{1}{{125}^{x^2}}>5^{20-17x}$を満たす$x$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[$32$]}{[$33$]}<x<[$34$]$である．また，$x$がこの値の範囲内で方程式$\displaystyle \frac{x^{16}}{256}=x^{8 \log_2 x}$を満たすとき，$x$の値は$x=[$35$]$となる．
(2)$k$を定数として，$x$の方程式$2^{3x}-2^{2(x+1)}+2^{x+2}+2^x-3=k$の解が$1$つの実数解のみであるとき，$k$がとりえる値の範囲は
\[ -[$36$]<k<-\frac{[$37$][$38$]}{[$39$][$40$]},\quad -[$41$]<k \]
である．

$2$つの放物線$C_1:y=x^2-3$，$C_2:y=x^2-6x+9$と，$C_1$，$C_2$の両方に接する直線$\ell$について次の問に答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$との交点の座標は$([$42$],\ [$43$])$である．
(2)$C_1$と$\ell$との接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[$44$]}{[$45$]},\ -\frac{[$46$][$47$]}{[$48$]} \right)$であり，$C_2$と$\ell$との接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[$49$]}{[$50$]},\ \frac{[$51$]}{[$52$]} \right)$である．
(3)$C_1$と$C_2$および$\ell$とで囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$53$]}{[$54$]}$である．

空間内の$2$点$(-1,\ 3,\ -2)$，$(-3,\ 2,\ -1)$を通る直線$\ell$がある．$x$軸上の点$\mathrm{P}$と$\ell$上の点$\mathrm{Q}$との距離が最小になるときの$\mathrm{P}$の座標は$(-[$55$],\ 0,\ 0)$，$\mathrm{Q}$の座標は$\displaystyle \left(-[$56$],\ \frac{[$57$]}{[$58$]},\ \frac{[$59$]}{[$60$]} \right)$であり，その距離の最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[$61$]}}{[$62$]}$である．

次の各問に答えよ．

(1)$2^x=5^y=160$であるとき，$xy-x-5y+5=[ア]$である．
(2)整式$P(x)$を$(x-2)(x-3)$で割ると余りは$4x$であり，$(x-3)(x-1)$で割ると余りは$3x+3$である．このとき，$P(x)$を$(x-1)(x-2)$で割ると余りは$[イ]x+[ウ]$である．
(3)$a=9+4 \sqrt{5}$，$b=5-2 \sqrt{6}$とすると

$\displaystyle \frac{1}{a}=[エ]-[オ] \sqrt{[カ]}$，

$\displaystyle \frac{1}{b}=[キ]+[ク] \sqrt{[ケ]}$，

$\displaystyle ab+\frac{1}{ab}=[コ][サ]-[シ][ス] \sqrt{[セ][ソ]}$

である．

$\displaystyle x=\sin \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3} \right)$とする．次の各問に答えよ．

(1)$[ア] \leqq x \leqq \frac{\sqrt{[イ]}}{[ウ]}$である．

(2)$\sin \theta \cos 2\theta$を$x$で表すと，$x([エ]-[オ]x^2)$となる．

(3)$\sin \theta \cos 2\theta$は$\displaystyle \sin \theta=\frac{[カ]}{\sqrt{[キ]}}$のとき，最大値$\displaystyle \frac{\sqrt{[ク]}}{[ケ]}$をとる．

$e$を自然対数の底とする．関数$y=xe^{2x}$のグラフを曲線$C$とおき，点$(1,\ e^2)$における$C$の接線を$\ell$とする．次の各問に答えよ．

(1)$\ell$の方程式は$y=e^2([ア]x-[イ])$である．

(2)$\displaystyle \int_0^1 e^{2x} \, dx=\frac{e^2-[ウ]}{[エ]}$である．また，$\displaystyle \int_0^1 xe^{2x} \, dx=\frac{e^2+[オ]}{[カ]}$である．

(3)曲線$C$，接線$\ell$と$y$軸とで囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[キ]e^2+1}{[ク]}$である．

次の文中の$[ア]$～$[ヒ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．

(1)複素数$z=-1+i$を考える．ここで，$i$は虚数単位である．このとき，
\[ z+z^2+z^3+z^4=[ア]+[イ]i \]
である．また，
\[ \sum_{n=1}^{12} z^n=[ウ][エ]+[オ][カ] i \]
となる．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲における関数$\displaystyle f(\theta)=\frac{1}{3} \sin \theta+\frac{1}{2} \cos^2 \theta-\frac{2}{3}$の最小値は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$，最大値は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$である．

(3)循環小数$0. \dot{2}01 \dot{4}$を分数で表すと，
\[ 0. \dot{2}01 \dot{4}=\frac{\kakkofour{サ}{シ}{ス}{セ}}{\kakkofour{ソ}{タ}{チ}{ツ}} \]
となる．
(4)平面上に異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をとる．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とすると，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=2 |\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡は，
\[ \overrightarrow{\mathrm{MO}}=\frac{[テ]}{[ト]} \overrightarrow{\mathrm{MA}} \]
を満たす点$\mathrm{O}$を中心とする半径
\[ \frac{[ナ]}{[ニ]} |\overrightarrow{\mathrm{MA}}| \]
の円である．
(5)同じ大きさの赤玉と白玉が何個か袋に入っている．よくかきまぜた後，この袋の中から同時に$2$個の玉を取り出したとき，$2$個とも赤の確率を$p$，$2$個のうち$1$個が赤，$1$個が白の確率を$q$，$2$個とも白の確率を$r$と書くとすると，それらの比例関係は次のようになった．
\[ p:q:r=14:20:5 \]
この袋の中の赤玉の個数は$[ヌ]$，白玉の個数は$[ネ]$である．
(6)$a,\ b,\ c$は次の方程式を満たす整数とする．
\[ a \log_{10} \frac{5}{6}+b \log_{10} 15+c \log_{10} \frac{10}{9}=\log_{10} 5000 \]
このとき，$a=[ノ]$，$b=[ハ]$，$c=[ヒ]$である．

次の文中の$[ア]$～$[フ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．

(1)数列$\{a_n\}$は$a_1=1$，$a_{n+1}=3a_n-n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義される．ここで，$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくと，$b_1=[ア]$，$b_2=[イ]$であり，数列$\{b_n\}$の一般項は，
\[ b_n=\frac{[ウ]}{[エ]} \left\{ ([オ])^{n-1}+[カ] \right\} \]
となる．初項$b_1$から第$n$項$b_n$までの和$S_n$は，
\[ S_n=\frac{[キ]}{[ク]} \left\{ ([ケ])^n+[コ]n+[サ] \right\} \]
である．また，数列$\{a_n\}$の一般項は，
\[ a_n=\frac{[シ]}{[ス]} \left\{ ([セ])^{n-1}+[ソ]n+[タ] \right\} \]
と表される．
(2)奇数の列を
\[ 1 \;|\; 3,\ 5,\ 7 \;|\; 9,\ 11,\ 13,\ 15,\ 17 \;|\; 19,\ 21,\ 23,\ 25,\ 27,\ 29,\ 31 \;|\; \cdots \]
のような群にわける．つまり，第$1$群は$1$のみからなる．このとき，第$n$群に含まれる項の数は$[チ]n+[ツ]$であるので，第$1$群から第$n-1$群までの項の数は，
\[ [テ]n^2+[ト]n+[ナ] \]
である．したがって，第$n$群の最初の項の値は，
\[ [ニ]n^2+[ヌ]n+[ネ] \]
である．また，第$n$群に含まれる数の総和は，
\[ [ノ] n^3+[ハ]n^2+[ヒ]n+[フ] \]
である．