次の計算をしなさい．
\[ \int_0^1 \log (\sqrt{x}+1) \, dx=[$19$],\quad \int_0^1 \left\{ \sqrt{2x-x^2}+\sin \left( x-\frac{1}{2} \right) \right\} \, dx=[$20$] \]

次の空欄$(\mathrm{a})$～$(\mathrm{g})$を適当に補え．

(1)$2$次方程式$x^2-2x+2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}$の値は$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でない$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は，なす角が${60}^\circ$で，$|\overrightarrow{a}|=2 |\overrightarrow{b}|$である．$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$2 \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$が垂直であるとき，$t$の値は$[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)$a^x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \frac{a^{3x}-a^{-3x}}{a^x-a^{-x}}$の値は$[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)円$x^2+y^2-2x-4y-4=0$上の点$\mathrm{A}$と，円$x^2+y^2-12x-14y+81=0$上の点$\mathrm{B}$について，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の距離の最小値は$[$(\mathrm{d])$}$である．
(5)$6$枚のコインを同時に投げるとき，ちょうど$3$枚のコインが表になる確率は$[$(\mathrm{e])$}$である．
(6)定数$a,\ b$に対して，$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{x^2-b}{x-a}=6$が成り立つとする．このとき，$a=[($\mathrm{f])$}$，$b=[$(\mathrm{g])$}$である．

以下の不等式$(ⅰ)$～$\tokeigo$をすべて満たす点$(x,\ y)$からなる領域を$S$とする．

$(ⅰ)$ $-x+2y \leqq 20$
$(ⅱ)$ $2x+3y \leqq 44$
$(ⅲ)$ $4x-y \leqq 32$
$\tokeishi$ $x \geqq 0$
$\tokeigo$ $y \geqq 0$

次の問いに答えよ．

(1)領域$S$において$x+3y$を最大にする点$\mathrm{A}(x,\ y)$の$x$座標は$[オ]$，$y$座標は$[カ]$である．このとき$x+3y$の最大値$M$は$[キ]$である．
(2)$a$を実数，$b$を正の実数とする．領域$S$において$ax+by$を最大にする点が，$(1)$で求めた点$\mathrm{A}(x,\ y)$のみの場合，$\displaystyle \frac{a}{b}$がとりうる値の範囲は
\[ [ク]<\frac{a}{b}<[ケ] \]
である．
(3)$a$を正の実数，$b$を正の実数とする．領域$S$において$ax+by$を最大にする点が複数あるとき，$\displaystyle \frac{a}{b}$がとりうる値は$[コ]$である．
(4)$c$を実数とし，上記の不等式$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$\tokeishi$，$\tokeigo$と不等式
\[ (ⅲ)^* 4x-y \leqq c \]
をすべて満たす点$(x,\ y)$からなる領域を$S^{*}$とする．領域$S^*$において$x+3y$の最大値が$(1)$で求めた$M$であるとすると，$c$がとりうる最小値は$[サ]$である．

次の空欄$[$1$]$から$[$6$]$にあてはまる数または数式を記入せよ．

(1)$3$次曲線$y=x^3-6x^2+11x-4$と直線$y=ax$が第$1$象限の相異なる$3$点で交わるような定数$a$の範囲は$[$1$]<a<[$2$]$である．
(2)硬貨を投げ，$3$回つづけて表が出たら終了する．$n$回以下で終了する場合の数を$f_n$とする．$f_{10}=[$3$]$である．
(3)不等式$\displaystyle \frac{a}{19}<\log_{10}7<\frac{b}{13}$を満たす最大の整数$a$と最小の整数$b$は$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．必要に応じて次の事実を用いてもよい．
\[ \begin{array}{lll}
7^1=7 & 7^2=49 & 7^3=343 \\
7^4=2401 & 7^5=16807 & 7^6=117649 \\
7^7=823543 & 7^8=5764801 & 7^9=40353607 \\
7^{10}=282475249 & 7^{11}=1977326743 & 7^{12}=13841287201 \\
7^{13}=96889010407 & 7^{14}=678223072849
\end{array} \]
(4)四面体$\mathrm{ABCD}$は，$4$つの面のどれも$3$辺の長さが$7,\ 8,\ 9$の三角形である．この四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[$6$]$である．

次の$[ア]$から$[ネ]$までの$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．

(1)$36+2 \sqrt{155}={(\sqrt{[ア][イ]}+\sqrt{[ウ]})}^2$であり，
\[ \frac{1}{\sqrt{36+2 \sqrt{155}}}+\frac{1}{\sqrt{36-2 \sqrt{155}}}=\frac{\sqrt{[エ][オ]}}{[カ][キ]} \]
である．
(2)放物線$y=4x^2-4kx+5k^2+19k-4$が$x$軸の負の部分および正の部分と交わるような$k$の範囲は$\displaystyle -[ク]<k<\frac{[ケ]}{[コ]}$である．この範囲で$k$が動くとき，放物線$y=4x^2-4kx+5k^2+19k-4$が切り取る$x$軸上の線分の長さの最大値は$\displaystyle \frac{[サ] \sqrt{[シ][ス]}}{[セ]}$である．
(3)$3$桁の整数で$3$の倍数は，全部で$[ソ][タ][チ]$個ある．$3$桁の整数で各位の数の和が$k$であるものの個数を$n(k)$とする（たとえば，$3$桁の整数で各位の数の和が$2$であるものは$101$，$110$，$200$の$3$個であるから，$n(2)=3$である）．このとき，$n(3)=[ツ]$，$n(27)=[テ]$，$n(24)=[ト][ナ]$であり，$n(6)+n(9)+n(12)+n(15)+n(18)+n(21)=[ニ][ヌ][ネ]$である．

次の$[ノ]$から$[レ]$までの$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．

(1)$\mathrm{A}(-1,\ -2)$，$\mathrm{B}(3,\ 4)$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$が$\angle \mathrm{C}={90}^\circ$の直角三角形のとき，点$\mathrm{C}$は円$x^2+y^2-[ノ]x-[ハ]y-[ヒ][フ]=0$上にある．さらに$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が最大となる点$\mathrm{C}$の座標は$([ヘ],\ -[ホ])$または$(-[マ],\ [ミ])$である．
(2)$\sin x=t$とおくとき，$2 \sin 2x \cos x-(8+3 \cos 2x) \sin x-2=[ム] t^3-[メ] t-[モ]=(t-[ヤ])([ユ] t^2+[ヨ] t+[ラ])$である．
$2 \sin 2x \cos x-(8+3 \cos 2x) \sin x-2=0$のとき，$\displaystyle \sin x=\frac{-[リ]+\sqrt{[ル]}}{[レ]}$である．

次の$[ノ]$から$[リ]$までの$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．

(1)$1$つのさいころを$3$回続けて投げるとき，出た目が$3$回とも同じである確率は$\displaystyle \frac{[ノ]}{[ハ][ヒ]}$，$3$回とも異なる確率は$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}$であり，$3$回のうち$2$回は同じで$1$回だけ他と異なる確率は$\displaystyle \frac{[ホ]}{[マ][ミ]}$である．
(2)$a,\ b$を自然数とし，$x$を実数とするとき，以下の$[ム]$から$[リ]$の$[　]$に入る正しい記述を次の$①$～$④$の中から選び，その番号を記述せよ．

\mon[$①$] 必要十分条件である
\mon[$②$] 必要条件であるが十分条件でない
\mon[$③$] 十分条件であるが必要条件でない
\mon[$④$] 必要条件でも十分条件でもない

(i) $a$が$2$の倍数であることは，$a^2$が$2$の倍数であるための$[ム]$
(ii) $a$が$4$の倍数であることは，$a^2$が$4$の倍数であるための$[メ]$
(iii) $a$が$4$の倍数であることは，$a^2$が$8$の倍数であるための$[モ]$
\mon[$\tokeishi$] $a$が$2$の倍数または$b$が$2$の倍数であることは，$ab$が$6$の倍数であるための$[ヤ]$
\mon[$\tokeigo$] $a$が$2$の倍数または$b$が$3$の倍数であることは，$ab$が$6$の倍数であるための$[ユ]$
\mon[$\tokeiroku$] $x^2+x-2=0$は，$x=1$であるための$[ヨ]$
\mon[$\tokeishichi$] $x>2$は，$x^2+3x-4>0$であるための$[ラ]$
\mon[$\tokeihachi$] $x^2 \leqq x+6$は，$x<3$であるための$[リ]$

$a,\ b$は$1$と異なる正の実数で，$ab \neq 1$，$\displaystyle \frac{a}{b} \neq 1$を満たすものとする．
\[ \text{不等式} \quad \log_{ab}a<\log_{\frac{a}{b}} ab \quad \cdots\cdots① \]
について，以下の問いに答えなさい．

(1)$X=\log_a b$とおくとき，$①$を$X$についての不等式で表すと，
\[ \frac{[$1$]}{(1+X)(1-X)}<0 \]
となる．$[$1$]$にあてはまる適切な式を求めなさい．
(2)不等式$①$を満たす点$(a,\ b)$の存在する領域を，座標平面上に図示しなさい．

次の$[　]$にあてはまる答を求めよ．

(1)$0<x<1$とする．$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=6$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[ア]$，$x^3=[イ]$である．
(2)$a,\ b$は正の定数とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$2$次方程式$x^2+(a^2-4a)x+a-b=0$が$2$つの数$\alpha+3$，$\beta+3$を解とするとき，$a,\ b$の値は$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式$\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta \geqq 1$が成り立つ$\theta$の範囲は$[オ]$である．$[オ]$の範囲で$2 \cos 2\theta+3 \sin \theta$は最大値$[カ]$，最小値$[キ]$をとる．
(4)正十六角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_{16}$の$16$個の頂点のうちの$3$個を頂点とする三角形の総数は$[ク]$である．これらの三角形のうち，直角三角形の個数は$[ケ]$個であり，鈍角三角形の個数は$[コ]$個である．

$a$を実数の定数とする．$C:x^2+y^2+2ax-4ay+6a^2-1=0$について，以下の問に答えなさい．

(1)$C$が円を表すとき，$a$の取りうる値の範囲は，$[ノ]<a<[ハ]$である．
(2)$C$が半径最大の円となるとき，その中心の座標は，$([ヒ],\ [フ])$である．
(3)$C$が円を表すとき，その中心の軌跡は，
直線$y=[ヘ]x$の$[ホ]<x<[マ]$の部分である．