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私立 早稲田大学 2014年 第3問直線$4x+3y=48$，$3x-4y=0$と$y$軸のつくる三角形に内接する円の中心の座標は$\displaystyle \left( \frac{[キ]}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right)$である．
私立 早稲田大学 2014年 第4問$0<a<2$とする．いま
\[ I=\int_a^{a+2} \left( |x^2-4|+\frac{1}{6} \right) \, dx \]
とおくとき
\[ I=\frac{[サ]a^3+[シ]a^2+[ス]a+[セ]}{[ソ]} \]
である．さらに$I$は$a=[タ]+\sqrt{[チ]}$のとき，最小値$[ツ] \sqrt{[テ]}+[ト]$をとる．
\[ I=\int_a^{a+2} \left( |x^2-4|+\frac{1}{6} \right) \, dx \]
とおくとき
\[ I=\frac{[サ]a^3+[シ]a^2+[ス]a+[セ]}{[ソ]} \]
である．さらに$I$は$a=[タ]+\sqrt{[チ]}$のとき，最小値$[ツ] \sqrt{[テ]}+[ト]$をとる．
私立 早稲田大学 2014年 第5問角$A$が鈍角の三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$2 \sqrt{2}$である．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{AH}}=\frac{[ナ] \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[ニ] \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{[ヌ]} \]
である．
\[ \overrightarrow{\mathrm{AH}}=\frac{[ナ] \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[ニ] \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{[ヌ]} \]
である．
私立 早稲田大学 2014年 第2問実数$a,\ b,\ c$が
\[ a+b+c=8,\quad a^2+b^2+c^2=32 \]
を満たすとき，実数$c$の最大値は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]}$である．
\[ a+b+c=8,\quad a^2+b^2+c^2=32 \]
を満たすとき，実数$c$の最大値は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]}$である．
私立 早稲田大学 2014年 第3問直線$4x+3y=48$，$3x-4y=0$と$y$軸のつくる三角形に内接する円の中心の座標は$\displaystyle \left( \frac{[キ]}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right)$である．
私立 早稲田大学 2014年 第4問不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9} \geqq 1 \\
-3 \leqq x \leqq 3 \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
の表す領域を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]} \pi$である．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9} \geqq 1 \\
-3 \leqq x \leqq 3 \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
の表す領域を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]} \pi$である．
私立 早稲田大学 2014年 第5問行列$A=\left( \begin{array}{cc}
7 & 10 \\
-3 & -4
\end{array} \right)$について，次の問に答えよ．
(1)$P=\left( \begin{array}{cc}
-2 & 5 \\
1 & -3
\end{array} \right)$のとき，$P^{-1}AP=\left( \begin{array}{cc}
[ス] & 0 \\
0 & [セ]
\end{array} \right)$である．
(2)$A^n=\left( \begin{array}{cc}
[ソ] \cdot 2^n+[タ] & [チ] \cdot 2^n+[ツ] \\
[テ] \cdot 2^n+[ト] & [ナ] \cdot 2^n+[ニ]
\end{array} \right)$である．
7 & 10 \\
-3 & -4
\end{array} \right)$について，次の問に答えよ．
(1)$P=\left( \begin{array}{cc}
-2 & 5 \\
1 & -3
\end{array} \right)$のとき，$P^{-1}AP=\left( \begin{array}{cc}
[ス] & 0 \\
0 & [セ]
\end{array} \right)$である．
(2)$A^n=\left( \begin{array}{cc}
[ソ] \cdot 2^n+[タ] & [チ] \cdot 2^n+[ツ] \\
[テ] \cdot 2^n+[ト] & [ナ] \cdot 2^n+[ニ]
\end{array} \right)$である．
私立 早稲田大学 2014年 第1問$\displaystyle \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$の小数部分を$a$とするとき，$a$は$2$次方程式$x^2+[ア]x+[イ]=0$の解であり，$a^3+6a^2-21a+23$の値は$[ウ]+[エ] \sqrt{[オ]}$である．
私立 早稲田大学 2014年 第2問$1$辺の長さが$1$である正六角形の$6$つの頂点から$3$つの頂点を選び三角形を作る．
(1)この三角形が正三角形になる確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．
(2)このようにして作られるすべての三角形の面積の期待値は$\displaystyle \frac{[ク] \sqrt{[ケ]}}{[コ]}$である．
(1)この三角形が正三角形になる確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．
(2)このようにして作られるすべての三角形の面積の期待値は$\displaystyle \frac{[ク] \sqrt{[ケ]}}{[コ]}$である．
私立 早稲田大学 2014年 第4問原点を$\mathrm{O}$とする空間に点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，点$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 3)$，点$\mathrm{P}(4,\ 0,\ -1)$がある．線分$\mathrm{AB}$を直径とする円のうち，直線$\mathrm{OA}$と$2$点で交わるものを円$S$とし，点$\mathrm{A}$以外の交点を$\mathrm{C}$とする．
(1)点$\mathrm{C}$の座標は$([チ],\ [ツ],\ [テ])$である．
(2)円$S$を含む平面と，点$\mathrm{P}$からこの平面におろした垂線との交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ト]}{[ナ]},\ [ニ],\ -\frac{3}{2} \right)$である．
(1)点$\mathrm{C}$の座標は$([チ],\ [ツ],\ [テ])$である．
(2)円$S$を含む平面と，点$\mathrm{P}$からこの平面におろした垂線との交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ト]}{[ナ]},\ [ニ],\ -\frac{3}{2} \right)$である．