$y=(\log_3 3x)^2+\log_3 (9x)^3+\log_3 x+2$とする．$\log_3 x=t$とおいて$y$を$t$の式で表すと$[　]$となる．$y$が最小となる$x$の値を求めると，$x=[　]$である．

$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$\displaystyle \cos \theta=\frac{5}{6}$ならば$\tan \theta=[　]$である．また，$\tan \theta=2$ならば，$\cos 2\theta+\cos \theta=[　]$である．

$1,\ 2,\ 3,\ 4$の$4$個の数字を使って，$3$桁の数を作る．このとき，各桁の数字が異なり，$3$の倍数となる数は$[　]$個ある．また，各桁の数字に重複を許すとき，$3$の倍数となる数は$[　]$個ある．

$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の$5$個の数字を使って，$4$桁の数を作る．このとき，各桁の数字が異なり，$3$の倍数となる数は$[　]$個ある．また，各桁の数字に重複を許すとき，$3$の倍数となる数は$[　]$個ある．

$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(\sqrt{2},\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ y,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ \sqrt{5})$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$において，$y>0$，$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{3}$とする．このとき$y$の値を求めると$y=[　]$である．また，原点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を成分で表すと$[　]$である．

数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$がある．初項から第$n$項までの和が$n^2+2n$であるとき，一般項$a_n=[　]$であり，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_na_{n+1}}=[　]$である．

ある整数の$2$乗で表される数を平方数という．$3$桁の平方数すべての和を求めると$[　]$である．また，$3$桁の平方数のうち，$3$で割ると$1$余る数すべての和を求めると$[　]$である．

次の$[　]$にあてはまる数を記入せよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に向かい合う辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さを，それぞれ$a,\ b,\ c$で表し，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさを，それぞれ$A,\ B,\ C$で表す．
$\displaystyle \cos A=\frac{24}{25}$，$\displaystyle \cos B=\frac{20}{29}$，$c=92$のとき，$\sin A=[ア]$であり，$\sin B=[イ]$である．したがって，$\sin C=[ウ]$，$\cos C=[エ]$となる．これより$a=[オ]$，$b=[カ]$である．

条件$(x-2)^2+(y-2)^2=4$を満たす実数$x,\ y$を考える．$t=x+y$とおく．

(1)$t$のとりうる値の範囲は
\[ [ア]-[イ] \sqrt{[ウ]} \leqq t \leqq [エ]+[オ] \sqrt{[カ]} \]
である．
(2)$z=x^3+y^3-6xy$を$t$で表すと
\[ z=-\frac{[キ]}{[ク]} t^3+[ケ]t^2+[コ]t-[サシ] \]
となり，$z$の最大値は$[ス]+[セソ] \sqrt{[タ]}$であり，$z$の最小値は$[チ]-[ツ] \sqrt{[テ]}$である．

次の各設問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{1715}{414}=[ア]+\frac{1}{[イ]+\displaystyle\frac{1}{[ウエ]}}$と表すことができる．

(2)$y=x^2+2x+5$を$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$q$だけ平行移動して得られる$2$次関数のグラフが点$(0,\ 16)$を通り，最小値が$7$となるとき，正の実数$p,\ q$の値は$p=[オ]$，$q=[カ]$である．
(3)不等式$\displaystyle -1<\log_4 x-\log_2 x<\frac{3}{2}$を満たす$x$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}<x<[ケ]$である．
(4)$10$本のくじがあって，そのうち$3$本が当たりくじであるとする．引いたくじを元にもどさないでくじを引くとき，$7$本目までに当たりくじを引く確率は$\displaystyle \frac{[コサシ]}{[スセソ]}$である．