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私立 埼玉工業大学 2014年 第3問曲線$\ell:y=\log x (1 \leqq x \leqq 2)$上の点$(t,\ \log t)$における$\ell$の接線の方程式は
\[ y=\frac{[ハ]}{t}x+\log t-[ヒ] \]
であり，この接線と直線$x=1$，$x=2$および$\ell$で囲まれた図形の面積$S$は，
\[ S=\frac{[フ]}{2t}+\log t-[ヘ] \log 2 \]
である．$\displaystyle t=\frac{[ホ]}{[マ]}$のとき，$S$は最小値$\displaystyle 1+\log \frac{[ミ]}{[ム]}$をとる．
\[ y=\frac{[ハ]}{t}x+\log t-[ヒ] \]
であり，この接線と直線$x=1$，$x=2$および$\ell$で囲まれた図形の面積$S$は，
\[ S=\frac{[フ]}{2t}+\log t-[ヘ] \log 2 \]
である．$\displaystyle t=\frac{[ホ]}{[マ]}$のとき，$S$は最小値$\displaystyle 1+\log \frac{[ミ]}{[ム]}$をとる．
私立 埼玉工業大学 2014年 第4問次の問いに答えよ．
(1)整式$P(x)=x^3-7x^2+14x-8$は$x-4$で割り切れる．$P(x)=x^3-7x^2+14x-8=0$の解は小さい順に$[メ]$，$[モ]$，$[ヤ]$である．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，$y=-8 \sin x \cos 2x-12 \sin^2 x+8 \sin x$は，$\displaystyle x=\frac{\pi}{[ユ]}$のとき，最大値$y=[ヨ]$をとり，$\displaystyle x=\frac{\pi}{[ラ]}$のとき，最小値$y=[リル]$をとる．
(3)$1$枚の硬貨を$5$回投げたとき，表が$1$回だけ出る確率は$\displaystyle \frac{[レ]}{[ロワ]}$である．
(1)整式$P(x)=x^3-7x^2+14x-8$は$x-4$で割り切れる．$P(x)=x^3-7x^2+14x-8=0$の解は小さい順に$[メ]$，$[モ]$，$[ヤ]$である．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，$y=-8 \sin x \cos 2x-12 \sin^2 x+8 \sin x$は，$\displaystyle x=\frac{\pi}{[ユ]}$のとき，最大値$y=[ヨ]$をとり，$\displaystyle x=\frac{\pi}{[ラ]}$のとき，最小値$y=[リル]$をとる．
(3)$1$枚の硬貨を$5$回投げたとき，表が$1$回だけ出る確率は$\displaystyle \frac{[レ]}{[ロワ]}$である．
私立 神戸薬科大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$4$次式$x^2+(x^2-1)^2$を複素数の範囲で因数分解すると$[ア]$である．
(2)不等式$x+2 \leqq |x^2-x-6|$を$x$について解くと$[イ]$である．
(3)関数$F(x)$が$F^\prime(x)=(3x+2)^2$，$F(0)=3$を満たすとき$F(x)=[ウ]$である．
(4)$2$次方程式$x^2-4x-2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$a_n=\alpha^n-\beta^n$（$n$は自然数）とおく．このとき，$\displaystyle \frac{a_{10}-2a_8}{a_9}$の値を求めると$[エ]$である．
(1)$4$次式$x^2+(x^2-1)^2$を複素数の範囲で因数分解すると$[ア]$である．
(2)不等式$x+2 \leqq |x^2-x-6|$を$x$について解くと$[イ]$である．
(3)関数$F(x)$が$F^\prime(x)=(3x+2)^2$，$F(0)=3$を満たすとき$F(x)=[ウ]$である．
(4)$2$次方程式$x^2-4x-2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$a_n=\alpha^n-\beta^n$（$n$は自然数）とおく．このとき，$\displaystyle \frac{a_{10}-2a_8}{a_9}$の値を求めると$[エ]$である．
私立 北海道薬科大学 2014年 第3問円$(x-2)^2+(y-3)^2=9$と放物線$y=x^2-4x+a+4$（$a$は定数）は，$2$つの点で接している．
(1)$a$の値は$\displaystyle \frac{[アイウ]}{[エ]}$である．
(2)接点の座標は$\displaystyle \left( [オ] \pm \frac{\sqrt{[カキ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right)$であり，$2$つの接線の方程式は$y=\pm \sqrt{[サシ]}(x-[ス])+[セソタ]$である（複号同順）．
(3)$(2)$で得られた$2$つの接線の交点の座標は$([チ],\ [ツテト])$である．
(1)$a$の値は$\displaystyle \frac{[アイウ]}{[エ]}$である．
(2)接点の座標は$\displaystyle \left( [オ] \pm \frac{\sqrt{[カキ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right)$であり，$2$つの接線の方程式は$y=\pm \sqrt{[サシ]}(x-[ス])+[セソタ]$である（複号同順）．
(3)$(2)$で得られた$2$つの接線の交点の座標は$([チ],\ [ツテト])$である．
私立 北海道薬科大学 2014年 第4問$3$次関数$f(x)=x^3-3x^2-3ax$（$a$は実数）が$x=\alpha$で極大値，$x=\beta$で極小値（$\alpha,\ \beta$は実数）をとるとき，次の設問に答えよ．
(1)$a$の値の範囲は$a>[アイ]$である．
(2)$\alpha-\beta=[ウエ] \sqrt{a+[オ]}$である．
(3)$f(x)$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，$a$の値は$\displaystyle \frac{[カキ]}{[ク]}$である．
(1)$a$の値の範囲は$a>[アイ]$である．
(2)$\alpha-\beta=[ウエ] \sqrt{a+[オ]}$である．
(3)$f(x)$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，$a$の値は$\displaystyle \frac{[カキ]}{[ク]}$である．
私立 愛知学院大学 2014年 第1問実数$p,\ q$が$p+q=\sqrt{6}$，$p-q=\sqrt{5}$を満たすとき，
\[ p^2+q^2=[ア],\quad pq=[イ] \]
である．また$p$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とすると，
\[ a=[ウ],\quad \frac{1}{b+\displaystyle\frac{5}{2}}=[エ] \]
である．分母は必ず有理化すること．
\[ p^2+q^2=[ア],\quad pq=[イ] \]
である．また$p$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とすると，
\[ a=[ウ],\quad \frac{1}{b+\displaystyle\frac{5}{2}}=[エ] \]
である．分母は必ず有理化すること．
私立 神戸薬科大学 2014年 第2問次の問いに答えよ．
(1)円$(x-a)^2+(y-b)^2=A$（$a,\ b,\ A$は定数で$A>0$）と直線$y=x$が接するとき，$A$を$a$と$b$で表すと$A=[オ]$である．
(2)円$x^2+y^2=5$に接し，傾きが$-2$である直線の方程式は$[カ]$である．
(1)円$(x-a)^2+(y-b)^2=A$（$a,\ b,\ A$は定数で$A>0$）と直線$y=x$が接するとき，$A$を$a$と$b$で表すと$A=[オ]$である．
(2)円$x^2+y^2=5$に接し，傾きが$-2$である直線の方程式は$[カ]$である．
私立 神戸薬科大学 2014年 第3問次の問いに答えよ．
(1)関数$y=2^x$のグラフを$y$軸で対称移動させたのち，$x$軸方向に$-2$だけ平行移動させたグラフの方程式は$[キ]$である．また，$y=2^x$のグラフを$y=x$について対称に移したグラフの方程式を$y=f(x)$の形で表すと$[ク]$である．
(2)不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{7x^2-8x+6}<\left( \frac{1}{2} \right)^{-8x^2+14x-2}$を$x$について解くと$[ケ]$である．
(1)関数$y=2^x$のグラフを$y$軸で対称移動させたのち，$x$軸方向に$-2$だけ平行移動させたグラフの方程式は$[キ]$である．また，$y=2^x$のグラフを$y=x$について対称に移したグラフの方程式を$y=f(x)$の形で表すと$[ク]$である．
(2)不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{7x^2-8x+6}<\left( \frac{1}{2} \right)^{-8x^2+14x-2}$を$x$について解くと$[ケ]$である．
私立 神戸薬科大学 2014年 第4問次の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$\displaystyle S_n=\frac{n}{2n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で与えられている．一般項を求めると$a_n=[コ]$である．
(2)等比数列において，初項から第$n$項までの和が$27$，初項から第$2n$項までの和が$36$であった．第$2n+1$項から第$3n$項までの和は$[サ]$である．
(1)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$\displaystyle S_n=\frac{n}{2n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で与えられている．一般項を求めると$a_n=[コ]$である．
(2)等比数列において，初項から第$n$項までの和が$27$，初項から第$2n$項までの和が$36$であった．第$2n+1$項から第$3n$項までの和は$[サ]$である．
私立 神戸薬科大学 2014年 第5問次の問いに答えよ．
(1)軸が直線$x=2$で，$2$点$(4,\ 1)$，$(3,\ 7)$を通る放物線$C_1$の方程式を求めると$[シ]$である．また，点$(4,\ 1)$における放物線$C_1$の接線の方程式を求めると$[ス]$である．
(2)放物線$C_1$を原点に関して対称移動して得られる放物線$C_2$の方程式を求めると$[セ]$である．
(3)$2$つの放物線$C_1,\ C_2$で囲まれた部分の面積を求めると$[ソ]$である．
(4)放物線$C_2$を$y$軸方向に平行移動すると，放物線$C_1$と$1$点で接した．平行移動して得られた放物線の方程式は$[タ]$である．
(1)軸が直線$x=2$で，$2$点$(4,\ 1)$，$(3,\ 7)$を通る放物線$C_1$の方程式を求めると$[シ]$である．また，点$(4,\ 1)$における放物線$C_1$の接線の方程式を求めると$[ス]$である．
(2)放物線$C_1$を原点に関して対称移動して得られる放物線$C_2$の方程式を求めると$[セ]$である．
(3)$2$つの放物線$C_1,\ C_2$で囲まれた部分の面積を求めると$[ソ]$である．
(4)放物線$C_2$を$y$軸方向に平行移動すると，放物線$C_1$と$1$点で接した．平行移動して得られた放物線の方程式は$[タ]$である．