次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}},\ b=\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$のとき，$a+b=[$*$ア] \sqrt{[イ]}$，$a^2+b^2=[ウエ]$である．
(2)$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$が$|\overrightarrow{p|}=2$，$|\overrightarrow{q|}=3$を満たし，$\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}$，$6 \overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}$が垂直のとき，$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$とのなす角$\theta$は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]} \pi$である．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．

(3)$1.44^n$の整数部分が$4$桁となるような整数$n$の範囲は$[キク] \leqq n \leqq [ケコ]$である．必要ならば$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$を用いよ．
(4)$x,\ y$が$2^x=3^y$を満たす正の実数であるとする．$2x$と$3y$の小さい方の値が$1$であるとき，$\displaystyle x+y=\frac{[サ]}{[シ]}$である．ただし，$\displaystyle \log_{10}2=\frac{3}{10}$，$\displaystyle \log_{10}3=\frac{1}{2}$として計算せよ．

次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)座標平面上に$(0,\ 0)$，$(1,\ 0)$，$(1,\ 1)$，$(0,\ 1)$を頂点とする正方形$\mathrm{A}$と，その内部を通過する放物線$C_1:y=x^2$，$C_2:y=x^2+a$，$C_3:y=bx^2$がある．

(i) $C_1$上の点$(x,\ y)$と頂点$(0,\ 1)$との距離が最小になるのは$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[ス]}}{[セ]}$のときであり，その最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．
(ii) $C_2$が$\mathrm{A}$の面積を$2$等分するとき，$\displaystyle a=1-\left( \displaystyle\frac{[チ]}{[ツ]} \right)^{\frac{2}{3}}$である．

(iii) $C_3$が$\mathrm{A}$の面積を$2$等分するとき，$\displaystyle b=\frac{[テト]}{[ナ]}$である．

(2)$p$を負でない実数とする．$2$次方程式
\[ x^2-(p^2+3)x+1+2p=0 \]
の異なる$2$つの解を$\displaystyle \tan \alpha,\ \tan \beta \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．$p=0$のとき，$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \pi$であり，

$p>0$のとき，$\tan (\alpha+\beta)$のとり得る値の最大値は$[$*$ネ] \sqrt{[ノ]}$であるから，$\alpha+\beta$の最大値は$\displaystyle \frac{[ハ]}{[ヒ]} \pi$である．

次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

方程式$x^2+y^2=1$を満たしながら動く正の実数$x,\ y$がある．

(1)$\sqrt{3}x+y$のとり得る値の最大値は$[フ]$であり，そのとき，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[ヘ]}}{[ホ]}$，$\displaystyle y=\frac{[マ]}{[ミ]}$である．
(2)$\log_2 x+\log_2 y$のとり得る値の最大値は$[$*$ム]$であり，そのとき，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[メ]}}{[モ]}$，$\displaystyle y=\frac{\sqrt{[ヤ]}}{[ユ]}$である．
(3)$\displaystyle \log_3 x+\log_{\frac{1}{9}} \frac{1}{y}$のとり得る値の最大値は$\displaystyle \frac{[ヨ]}{[ラ]} \left( \log_3 [リ]+\frac{[$*$ル]}{[レ]} \right)$であり，そのとき，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[ロ]}}{[ワ]}$，$\displaystyle y=\frac{\sqrt{[ヲ]}}{[ン]}$である．

次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

$y=x^3-2x$の表す曲線$C$がある．

(1)$\alpha \neq 0$のとき，$C$上の点$\mathrm{P}(\alpha,\ \alpha^3-2 \alpha)$における接線$\ell$の方程式は
\[ y=([$*$あ] \alpha^2+[$*$い])x+[$*$う] \alpha^3 \]
である．
(2)$\ell$が再び$C$と交わる点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[$*$え] \alpha$であり，線分$\mathrm{PQ}$と$C$とで囲まれる図形の面積は$\displaystyle \frac{[おか]}{[き]} \alpha^4$である．
(3)$\alpha>0$，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$L$とするとき，$\displaystyle \frac{L^2}{\alpha^2}$が最小になるのは$\displaystyle \alpha=\frac{\sqrt{[く]}}{[け]}$のときである．
(4)原点を除く直線$y=[$*$こ]x$上の点からは，$C$への接線がちょうど$2$本引ける．

原点を中心とした半径$1$の円に内接する正三角形$T_1$がある．$T_1$の頂点の$1$つが$\mathrm{A}(0,\ 1)$であり，$T_1$の残りの頂点のうち，$x$座標が負の値である方を$\mathrm{B}$とする．また，$T_1$を原点に関して対称移動したものを$T_2$とする．

(1)直線$\mathrm{AB}$の方程式は，$[$1$]$である．
(2)直線$\mathrm{AB}$と$T_2$の辺との交点のうち，$x$座標の値が大きい方の座標は$(x,\ y)=[$2$]$である．
(3)$T_1$と$T_2$が重なる部分の面積は$[$3$]$である．

曲線$y=x^3-2x \cdots\cdots①$と直線$y=x+k \cdots\cdots②$がある．

(1)$k$の範囲が$[$4$]$のとき，曲線$①$と直線$②$は異なる$3$点を共有する．
(2)$k>0$とする．曲線$①$と直線$②$が異なる$2$点を共有するとき，$1$つは接点で，もう$1$つの共有点の$x$座標は$[$5$]$である．

$n$を$3$以上の整数とする．$(x-1)^2P(x)+ax+b=x^n+x^{n-1}+\cdots +x+1$が成り立っているとする．ただし$P(x)$は$x$の整式とし，$a,\ b$は定数であるとする．この等式の左辺を微分すると$[$6$]$である．このとき$(a,\ b)=[$7$]$である．

原点を中心とする半径$5$の円周上に，$2$点$\mathrm{A}(0,\ -5)$，$\mathrm{B}(4,\ -3)$がある．

(1)円周上に，$\triangle \mathrm{ABC}$が直角三角形になるようにとった点$\mathrm{C}$の座標は$[$1$]$である．
(2)円周上に，$\triangle \mathrm{ABC}$が二等辺三角形になるようにとった点$\mathrm{C}$の座標は$[$2$]$である．
(3)円に内接し，線分$\mathrm{AB}$にも接する円のうち，直径が最大の円の方程式は$[$3$]$である．

$x=\sin t$，$y=\sin 2t$で表される曲線がある．ただし$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$とする．

(1)$y$を$x$で表すと$y=[$4$]$となる．
(2)曲線と$x$軸とで囲まれた部分の面積は$[$5$]$である．

数列$\{a_n\}$が，$a_n=7n-5$と定められている．ここで，$n$は自然数とする．

(1)$3$桁の値になる$a_n$は$[$6$]$個ある．また，その和は$[$7$]$である．
(2)$3$桁の$a_n$のうち，$4$で割って$3$余る$a_n$は$[$8$]$個ある．また，その和は$[$9$]$である．