下の図のような道があり，$\mathrm{A}_0$から$\mathrm{A}_n$（$n$は$4$以下の自然数）まで行く最短経路の総数を$a_n$とするとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イウ]$，$a_4=[エオ]$である．
（図は省略）

底面が直径$D \, \mathrm{mm}$の円であり，高さが$22 \, \mathrm{mm}$の直円柱の容器がある．ただし，底面および側面の厚さは$0 \, \mathrm{mm}$としてよい．この容器に水を満杯に入れ，その上に半径$R=18 \, \mathrm{mm} (2R>D)$の球体を載せたところ，容器の水が溢れだした．その後，球体を取り除くと容器の水位が$5 \, \mathrm{mm}$低くなった．このとき，溢れだした水の体積は$D$を用いて$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}D^2 \pi \, \mathrm{mm}^3$と表すことができ，容器の底面の直径は$D=[ウエ] \sqrt{[オ]} \, \mathrm{mm}$である．

次の$[　]$に適する数を入れよ．

(1)製品$\mathrm{A}$は$3$つの部品$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$から構成される．部品$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$は,製造する過程において各々$\displaystyle \frac{1}{8}$の確率で低品質のものが発生する．製品$\mathrm{A}$に$2$つ以上の低品質の部品が含まれるとき，製品$\mathrm{A}$は不良品となる．製品$\mathrm{A}$を$1$つ製造するとき，それが不良品となる確率は$\displaystyle \frac{[ア][イ]}{[ウ][エ][オ]}$である．

(2)$a$を実数，$k$を正の実数として
\[ F(a)=\int_a^k (x^2-a^2) \, dx \]
とおく．関数$F(a)$の極値の差が$72$となるような$k$の値は$[カ]$である．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$は，$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{OB}=5$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$をみたすとする．$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線を下ろし，この垂線と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{D}$とする．このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{[キ]}{[ク]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ケ]}{[コ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
である．辺$\mathrm{BC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{F}$とする．このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ソ]}{[タ][チ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
である．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の二人がそれぞれサイコロを投げ，出た目を$1$回毎に記録する．$\mathrm{A}$はそれまでに出た目の積が$3$の倍数になった時点で，$\mathrm{B}$はそれまでに出た目の和が$3$の倍数になった時点で試行を打ち切る．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の試行がちょうど$n$回目で打ち切られる確率をそれぞれ$a_n$，$b_n$とする．

(1)$\displaystyle a_1=\frac{[さ]}{[し]},\ b_1=\frac{[す]}{[せ]}$である．

(2)$\displaystyle a_n=\frac{[そ]}{[た]} \left( \frac{[ち]}{[つ]} \right)^{n-1}$である．

次の空欄に当てはまる数字を入れよ．

(1)$y=(x-1) |x-2|$のグラフと$y=k$のグラフが異なる$3$点で交わるような定数$k$の値の範囲は
\[ [ア]<k<\frac{[イ]}{[ウ]} \]
である．
(2)$y=(x-1) |x-2|$のグラフと$y=kx+k-1$のグラフが異なる$3$点で交わるような定数$k$の値の範囲は
\[ \frac{[エ]}{[オ]}<k<[カ]-[キ] \sqrt{[ク]} \]
または
\[ [カ]+[キ] \sqrt{[ク]}<k \]
である．
(3)$k>1$のとき，$y=(x-1) |x-k|$のグラフと$y=kx-k^2+1$のグラフが異なる$3$点で交わるような定数$k$の値の範囲は
\[ \frac{[ケ]}{[コ]}<k \]
である．これらの交点の$x$座標を小さいほうから$x_1,\ x_2,\ x_3$とする．
このとき，$x_3-x_2=k$となるような$k$の値は$[サ]$である．

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=k$，$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}={60}^\circ$，$\angle \mathrm{COA}={45}^\circ$の四面体$\mathrm{OABC}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，底面$\mathrm{ABC}$上に点$\mathrm{H}$をとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$は定数$l,\ m,\ n$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=l \overrightarrow{a}+m \overrightarrow{b}+n \overrightarrow{c} (l+m+n=1)$と表される．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$が垂直であるとき，$l-m-([ア]-\sqrt{[イ]})n=0$であり，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$が底面$\mathrm{ABC}$と垂直であるとき，$\displaystyle l=[ウ]-\frac{\sqrt{[エ]}}{2}$，$m=\sqrt{[オ]}-[カ]$であり，さらに線分$\mathrm{OH}$の長さが$2$であるとき，$k^2=[キ] \sqrt{2}$である．

次の各問に答えよ．

(1)実数$x,\ y$が$(3+2i)x-(2+5i)y=6-7i$（ただし，$i^2=-1$）をみたすとき，$x=[ア]$，$y=[イ]$である．
(2)不等式$\displaystyle \frac{x-4}{3}<\frac{x-3}{2}<\frac{x-2}{6}$の解は$\displaystyle [ウ]<x<\frac{[エ]}{[オ]}$である．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$A={120}^\circ$，$B={45}^\circ$，$\mathrm{BC}=6 \sqrt{2}$のとき，$\mathrm{CA}=[カ] \sqrt{[キ]}$である．
(4)$3$個のサイコロを同時に投げるとき，出た目の和が$4$である確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケコ]}$，出た目の和が$16$である確率は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}$である．
(5)整式$2x^3+ax^2-bx-14$が$x^2-4$で割り切れるとき，定数$a,\ b$の値は$\displaystyle a=\frac{[セ]}{[ソ]}$，$b=[タ]$である．
(6)方程式$16^x-9 \cdot 4^x+8=0$の解は$\displaystyle x=[チ],\ \frac{[ツ]}{[テ]}$である．
(7)不等式$\displaystyle \log_2 (x-3)<\frac{1}{2} \log_2 (2x-3)$の解は$[ト]<x<[ナ]$である．
(8)関数$f(x)=x^3-ax^2+(a+3)x+4$が$x=3$で極値をとるとき，定数$a$の値は$[ニ]$であり，$f(x)$の極大値は$[ヌ]$である．

次の各問に答えよ．

(1)すべての実数$x$に対して
\[ x^2-3ax-a+7 \geqq 0 \cdots\cdots (*) \]
が成り立つような定数$a$の値の範囲は$\displaystyle [アイ] \leqq a \leqq \frac{[ウエ]}{[オ]}$である．

$x \leqq 1$であるすべての$x$に対して$(*)$が成り立つような$a$の値の範囲は

$[カキ] \leqq a \leqq [ク]$である．
(2)$\displaystyle F=\sin \left( \theta+\frac{\pi}{6} \right)+\cos \theta$は

$\displaystyle F=\frac{\sqrt{[ケ]}}{[コ]} \sin \theta+\frac{[サ]}{[シ]} \cos \theta$

$\phantom{F}=\sqrt{[ス]} \sin \left( \theta+\displaystyle\frac{[セ]}{[ソ]} \pi \right)$

と変形できる．ここで，$\displaystyle 0 \leqq \frac{[セ]}{[ソ]} \pi<2\pi$とする．$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，

$\displaystyle F \leqq -\frac{\sqrt{6}}{2}$をみたす$\theta$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[タチ]}{[ツテ]} \pi \leqq \theta \leqq \frac{[トナ]}{[ツテ]} \pi$である．

次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle f(x)=|\displaystyle\frac{7|{2}x-3}-x$とする．方程式$f(x)=0$の解は，小さい順に，$\displaystyle x=\frac{[ア]}{[イ]}$，$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．

折れ線$L:y=|f(x)|$と直線$y=k$（ただし，$k$は定数）がちょうど$3$点を共有するのは$\displaystyle k=\frac{[オ]}{[カ]}$のときであり，$L$と直線$y=mx-1$（ただし，$m$は定数）がちょうど$3$点を共有するのは$\displaystyle m=\frac{[キ]}{[ク]},\ \frac{[ケコ]}{[サ]}$のときである．

(2)三角形$\mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$に対して，等式$\overrightarrow{\mathrm{AP}}+5 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+4 \overrightarrow{\mathrm{CP}}=k \overrightarrow{\mathrm{AB}}$（ただし，$k$は実数）が成り立つ．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{k+[シ]}{[スセ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
である．直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$との交点$\mathrm{Q}$が$\mathrm{BC}$を$3:2$に内分するとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[チ]}{[ツ]} \overrightarrow{\mathrm{AQ}},\quad k=\frac{[テト]}{[ナ]} \]
である．

$xy$平面において，放物線$C:y=9x^2$を$x$軸方向に$t$（ただし，$t>0$），$y$軸方向に$8$だけ平行移動して得られる放物線を$D$とする．また，$C$上の点$(p,\ 9p^2)$における$C$の接線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$D$の方程式は$y=9x^2-[アイ]tx+[ウ]t^2+[エ]$である．
(2)$\ell$の方程式は$y=[オカ]px-[キ]p^2$である．
以下，$\ell$は$D$にも接しているとする．
(3)$p$を$t$を用いて表すと，$\displaystyle p=\frac{[ク]}{[ケ]t}$である．また，$\ell$と$D$の接点の$x$座標$X$を$t$を用いて表すと
\[ X=t+\frac{[コ]}{[サ]t} \]
である．
(4)$X$は$\displaystyle t=\frac{[シ]}{[ス]}$のとき，最小値$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}$をとる．このとき，$C$と$D$と$\ell$で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チ]}$である．