$\cos 2,\ \cos 4,\ \cos 6$の値を大きい順に並べると，
\[ \cos [ナ]>\cos [ニ]>\cos [ヌ] \]
となる．

$a,\ b$が実数であるとする．次の$2$つの$2$次方程式
\[ x^2+ax+b=0,\quad ax^2+bx+1=0 \]
が，共通の虚数解をもつとき，その解は
\[ \frac{-[ネ] \pm \sqrt{[ノ]}i}{2} \]
となる．

ビーカー$\mathrm{A}$に濃度$10 \, \%$の食塩水$400 \, \mathrm{g}$が入っている．

\mon[操作] 「ビーカー$\mathrm{A}$の食塩水$100 \, \mathrm{g}$を取り除き，濃度$5 \, \%$の食塩水$100 \, \mathrm{g}$をビーカー$\mathrm{A}$に加えてよくかき混ぜる」を考える．
この操作を$n$回続けて行ったときのビーカー$\mathrm{A}$の食塩水の濃度を$a_n \, \%$とする．ただし，$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$とする．

(1)$a_1$を求めると，$a_1=[キ]$である．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表すと，$a_{n+1}=[ク]$である．
(3)$a_n$を$n$の式で表すと，$a_n=[ケ]$である．
(4)ビーカー$\mathrm{A}$の食塩水の濃度がはじめて$5.001 \, \%$以下となる$n$を求めると，$n=[コ]$である．

放物線$y=x^2-x$と$x$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[ハ]}{[ヒ]}$である．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{6} \int_0^3 x^2f(t) \, dt-\frac{1}{12} \int_{-3}^0 xf(t) \, dt-2$に対して，$2$つの曲線$C_1:y=x^2+1$，$C_2:y=f(x)$を考える．

(1)$f(x)=px^2+qx-2$とすると，$p=[ナ][ニ]$，$q=[ヌ]$である．
(2)点$(a,\ f(a))$（ただし，$a>1$とする）における曲線$C_2$の接線$\ell$と曲線$C_1$との異なる$2$つの交点を結ぶ線分の中点が$(-1,\ b)$のとき，$b=[ネ]$であり，$\ell$の方程式は$y=[ノ][ハ]x+[ヒ]$である．
(3)$(2)$で求めた接線$\ell$と曲線$C_2$および$y$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}$である．

$a=1+\sqrt{6}+\sqrt{7},\ b=1-\sqrt{6}+\sqrt{7}$のとき，次の値を求めよ．


(1)$ab=[　]$

(2)$\displaystyle \frac{1}{a}=[　]$

(3)$\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=[　]$

(4)$\displaystyle \frac{a}{b}-\frac{b}{a}=[　]$

下の図について，次の値を求めよ．
（図は省略）

(1)$\mathrm{AB}=[　],\ \mathrm{BC}=[　]$
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$=[　]$
(3)$\mathrm{CH}=[　]$
(4)$\sin {105}^\circ=[　],\ \cos {105}^\circ=[　]$

全体集合$U$の部分集合$A,\ B$について，$n(U)=70$，$n(A)=35$，$n(B)=20$，$n(A \cap B)=12$であるとき，次の集合の要素の個数を求めよ．


(1)$n(\overline{A})=[　]$

(2)$n(\overline{A \cap B})=[　]$

(3)$n(A \cup B)=[　]$

(4)$n(\overline{A} \cap \overline{B})=[　]$

次の空欄$(\mathrm{a})$～$(\mathrm{g})$を適当に補え．

(1)不等式$|3x-5|<2x+1$を満たす$x$の値の範囲は$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$t>0$とする．$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(t+3,\ t-1)$と$\overrightarrow{b}=(-1,\ t)$が垂直であるとき，$t=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)白い玉が$3$個，赤い玉が$2$個入っている袋がある．袋から玉を$1$つ取り出し色を確かめ袋に戻す操作を$3$回行う．このとき，$2$回以上白い玉が出る確率は$[$(\mathrm{c])$}$である．

(4)$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{e^{2h+2}-e^2}{h}=[$(\mathrm{d])$}$である．

(5)$8$つの数の集まり$\{-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}$を$2$組に分け，それぞれの組に属する数の和を考える．たとえば，
$\{-1,\ 0,\ 2,\ 4,\ 5\} \text{と} \{-2,\ 1,\ 3\}$
という組み分けについては，$10$と$2$である．このとき，
「どんな組み分けについても，少なくとも一方の和は$a$以上である」
という主張が成立するような数$a$のうち最大のものは$[$(\mathrm{e])$}$である．

(6)$\displaystyle \int_1^x \log t \, dt=[$(\mathrm{f])$}$であるので，$\displaystyle f(x)=\int_1^x (x-1) \log t \, dt$のとき，$f^\prime(x)=[$(\mathrm{g])$}$である．

三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=6$，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．三角形$\mathrm{ABD}$と三角形$\mathrm{ADC}$の面積比が$2:3$のとき，次の値を求めよ．

(1)$\mathrm{AC}$の長さ$=[　]$
(2)$\mathrm{BD}$の長さ$=[　]$