平面上に異なる$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，それらは一直線上にないとする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．線分$\mathrm{OA}$を$5:3$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{OB}$を$3:1$に外分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[ア]}{[イ]} \overrightarrow{a}$，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{[ウ]}{[エ]} \overrightarrow{b}$である．

(2)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{[オ]}{[カキ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ク]}{[ケコ]} \overrightarrow{b}$である．

(3)点$\mathrm{R}$は線分$\mathrm{AB}$を$[サ]:[シ]$に内分する．

座標平面において，極方程式$r=2 \cos \theta$で表される曲線を$C$とし，$C$上において極座標が$\displaystyle \left(\sqrt{2},\ \frac{\pi}{4} \right)$，$(2,\ 0)$である点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．また，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$とし，$\mathrm{A}$を中心とし，線分$\mathrm{AB}$を半径にもつ円を$D$とする．

(1)曲線$C$は直交座標において点$([ア],\ [イ])$を中心とし，半径が$[ウ]$の円を表す．
(2)直線$\ell$の極方程式は$\displaystyle r \cos \left( \theta-\displaystyle\frac{\pi}{[エ]} \right)=\sqrt{[オ]}$である．
(3)円$D$の極方程式は$\displaystyle r=[カ] \sqrt{[キ]} \cos \left( \theta-\frac{\pi}{[ク]} \right)$である．

次の条件によって定められる関数$f_n(x) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を考える．
\[ f_1(x)=(3x+5)e^{2x},\quad f_{n+1}(x)={f_n}^{\prime}(x) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$f_2(x)=([ア]x+[イウ])e^{2x}$である．
(2)$f_n(x)=(a_nx+b_n)e^{2x}$（$a_n,\ b_n$は定数）とおくと，
\[ a_1=[エ],\quad b_1=[オ],\quad \left\{ \begin{array}{l}
a_{n+1}=[カ]a_n \\
b_{n+1}=a_n+[キ]b_n
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
である．
(3)$a_n=[ク] \cdot {[ケ]}^{n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．
(4)$\displaystyle c_n=\frac{b_n}{2^n}$とおくと，$\displaystyle c_{n+1}=c_n+\frac{[コ]}{[サ]} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．よって，$\displaystyle c_n=\frac{[シ]n+[ス]}{[セ]}$，つまり$b_n={[ソ]}^{n-2}([タ]n+[チ]) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．ゆえに
\[ f_n(x)={[ツ]}^{n-2}([テ]x+[ト]n+[ナ])e^{2x} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
である．

\begin{mawarikomi}{55mm}{
（図は省略）
}
座標平面において媒介変数表示された曲線
\[ x=\sin t,\quad y=\sin 2t \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
を考え，この曲線で囲まれた図形を$D$とする．右図はこの曲線の概形を表す．

(1)この曲線上の点$(x,\ y)$の$y$座標が最大になるのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ア]}$のときで，その点の直交座標は$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{[イ]}}{[ウ]},\ [エ] \right)$であり，$y$座標が最小になるのは$\displaystyle t=\frac{[オ]}{[カ]} \pi$のときで，その点の直交座標は$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ [ケコ] \right)$である．また，この曲線が原点以外の点で$x$軸と交わるのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[サ]}$のときで，その交点の$x$座標は$[シ]$である．

(2)$\displaystyle \lim_{t \to +0} \frac{dy}{dx}=[ス]$であり，$\displaystyle \lim_{t \to \pi-0} \frac{dy}{dx}=[セソ]$である．

(3)図形$D$の面積は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チ]}$である．
(4)図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テト]} \pi$である．

\end{mawarikomi}

$xy$平面上の点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$から次の規則に従って動くとする．表，裏がでる確率が等しい硬貨を$2$枚投げて，表が$2$枚でたら右に$1$移動し，裏が$2$枚でたら上に$1$移動し，表$1$枚裏$1$枚でたら右に$1$移動し，さらに上に$1$移動する．以下，この試行を繰り返す．従って，最初表$1$枚裏$1$枚でたら点$\mathrm{P}$の座標は$(1,\ 1)$で，次に表$2$枚でたら点$\mathrm{P}$の座標は$(2,\ 1)$である．このとき，次の問に答えなさい．

(1)この試行を$3$回繰り返したとき，点$\mathrm{P}$の座標が$(3,\ 3)$である確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．
(2)この試行を$4$回繰り返したとき，点$\mathrm{P}$の座標が$(3,\ 3)$である確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エオ]}$である．
(3)この試行を$5$回繰り返したとき，点$\mathrm{P}$の座標が$(3,\ 3)$である確率は$\displaystyle \frac{[カキ]}{[クケコ]}$である．また，そのうち点$\mathrm{P}$が点$(1,\ 1)$を通って座標が$(3,\ 3)$である確率は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シスセ]}$である．
(4)この試行を$7$回繰り返したとき，点$\mathrm{P}$が$(3,\ 3)$を通るか，$(3,\ 3)$である確率は$\displaystyle \frac{[ソタチ]}{\fboxsep=0pt\fbox{\rule[-0.25em]{0pt}{1.1em}\makebox[15mm][c]{\small{ツテトナ}}}}$である．

$a$を$0$以上の実数とし，
\[ S(a)=\int_0^1 |x^2-ax| \, dx \]
とする．

(1)$S(2)=[ア]$である．

(2)$\displaystyle S \left( \frac{1}{2} \right)=[イ]$である．

(3)$a>1$のとき，$S(a)=[ウ]$である．
$0 \leqq a \leqq 1$のとき，$S(a)=[エ]$である．
(4)$S(a)$は$a=[オ]$のとき最小値$[カ]$をとる．

自然数からなる数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を，$a_n+b_n \sqrt{5}={(3+\sqrt{5})}^n$によって定める．

(1)$a_3=[ア][イ],\ b_3=[ウ][エ]$であり，また$a_4=[オ][カ][キ],\ b_4=[ク][ケ][コ]$である．
(2)$a_{n+1}=[サ]a_n+[シ]b_n$であり，また$b_{n+1}=a_n+[ス]b_n$である．ここで$c_n=a_n-b_n \sqrt{5}$とおくと，$c_n={([セ]-\sqrt{[ソ]})}^n$となる．
(3)$b_n$の値が初めて$10000$を超えるのは$n=[タ]$のときである．また，$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}$の値が初めて$\displaystyle \frac{1}{10000}$より小さくなるのは$n=[チ]$のときである．

自然数からなる数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を，$a_n+b_n \sqrt{5}={(3+\sqrt{5})}^n$によって定める．

(1)$a_3=[ア][イ],\ b_3=[ウ][エ]$であり，また$a_4=[オ][カ][キ],\ b_4=[ク][ケ][コ]$である．
(2)$a_{n+1}=[サ]a_n+[シ]b_n$であり，また$b_{n+1}=a_n+[ス]b_n$である．ここで$c_n=a_n-b_n \sqrt{5}$とおくと，$c_n={([セ]-\sqrt{[ソ]})}^n$となる．
(3)$b_n$の値が初めて$10000$を超えるのは$n=[タ]$のときである．また，$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}$の値が初めて$\displaystyle \frac{1}{10000}$より小さくなるのは$n=[チ]$のときである．

次の各問に答えよ．

(1)$2$次方程式$3x^2+x+a=0$（$a$は定数）の解が$\sin \theta,\ \cos \theta$のとき，
\[ \sin^3 \theta+\cos^3 \theta=-\frac{[アイ]}{[ウエ]} \]
である．
(2)$2^x=3$，$3^y=5$，$xyz=3$のとき，$5^z=[オ]$である．
(3)関数$f(x)=(x-2)(x-1)(x+1)(x+2)$は，$0 \leqq x \leqq 2$の範囲において，$x=[カ]$で最大値$[キ]$をとり，$\displaystyle x=\sqrt{\frac{[ク]}{[ケ]}}$で最小値$\displaystyle -\frac{[コ]}{[サ]}$をとる．
(4)直線$y=mx+4$（$m$は正の定数）が円$x^2+y^2=36$によって切りとられる弦の長さが$4 \sqrt{6}$のとき，$\displaystyle m=\frac{\sqrt{[シ]}}{[ス]}$である．
(5)$x^6$を$x^2-x-3$で割ったときの余りは$[セソ]x+[タチ]$である．

一般項が$\displaystyle a_n=\sin \frac{3n \pi}{7}$で定義される数列$\{a_n\}$の最初の$n$項の和を$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．次の各問に答えよ．

(1)$a_n>0$となるための必要十分条件は，$n$を$[アイ]$で割った余りが$1$，$2$，$[ウ]$，$[エ]$，$[オカ]$，$[キク]$のいずれかとなることである．ただし，$[ウ]<[エ]<[オカ]<[キク]$とする．
(2)任意の自然数$n$に対し，$a_{n+\mkakko{ケ}}=-a_n$が成り立つ．
(3)$a_n$が最大となるための必要十分条件は，$n$を$[コサ]$で割った余りが$[シ]$または$[ス]$となることである．ただし，$[シ]<[ス]$とする．
(4)$S_n$が最大となるための必要十分条件は，$n$を$[セソ]$で割った余りが$[タ]$または$[チツ]$となることである．