$a$を$a>1$となる定数とするとき，定積分
\[ S=\int_0^2 |x^2-3ax+2a^2| \, dx \]
の値を求めると，
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\text{$1<a \leqq [エ]$のとき，$S=[オ]$であり，} \\
\text{$[エ]<a$のとき，$S=[カ]$である．} \phantom{\displaystyle\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \]

関数$\displaystyle f(x)=(\log_2 x)^2-\log_2 x^2-1 \left( \frac{1}{4} \leqq x \leqq 8 \right)$がある．

$x=[サ]$のとき，$f(x)$は最大値$[シ]$をとり，
$x=[ス]$のとき，$f(x)$は最小値$[セ]$をとる．

一直線上にない$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面$\alpha$があった．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(1,\ 2,\ 0)$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-1,\ 0,\ 2)$のとき，この$2$つのベクトルに垂直で大きさが$\sqrt{6}$であるベクトル$\overrightarrow{p}$をすべて求めると，$\overrightarrow{p}=[ソ]$である．平面$\alpha$が点$(0,\ 1,\ 2)$を通るとき，原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$におろした垂線$\mathrm{OH}$の長さを求めると，$\mathrm{OH}=[タ]$である．

$1$から$9$の整数が$1$つずつ書かれた$9$枚のカードから$1$枚ずつ$2$回カードを取り出す．最初に取り出したカードを元に戻してから次のカードを取り出す場合を「戻す場合」といい，最初のカードを戻さずに次のカードを取り出す場合を「戻さない場合」ということにする．最初に取り出したカードに書かれている数を$a$とし，次に取り出したカードに書かれている数を$b$とする．

(1)戻す場合，$8 \leqq a+b \leqq 12$となる確率は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$であり，戻さない場合，$8 \leqq a+b \leqq 12$となる確率は$\displaystyle \frac{[テ]}{[ト]}$である．
(2)戻す場合，$60 \leqq ab \leqq 70$となる確率は$\displaystyle \frac{[ナ]}{[ニ]}$であり，戻さない場合，$60 \leqq ab \leqq 70$となる確率は$\displaystyle \frac{[ヌ]}{[ネ]}$である．
(3)戻す場合，$60 \leqq ab+a+b \leqq 70$となる確率は$\displaystyle \frac{[ノ]}{[ハ]}$であり，戻さない場合，$60 \leqq ab+a+b \leqq 70$となる確率は$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]}$である．

$x>2$のとき$\sqrt{x^2-4x+4}-\sqrt{x^2+2x+1}$を簡単にすると$[チ]$であり，$-1<x<2$のとき$[ツ]$である．

$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$つの角$A,\ B,\ C$に対して，$\sin A:\sin B:\sin C=3:5:7$であるとき，$\tan A=[テ]$であり，角$C$の大きさをラジアンで求めると$C=[ト]$である．

箱の中に赤玉$6$個，青玉$4$個，黄玉$3$個が入っている．この箱の中から$3$個の玉を同時に取り出す．

(1)赤玉$2$個，青玉$1$個である確率を求めると$[ナ]$である．
(2)$3$個とも同じ色である確率を求めると$[ニ]$である．
(3)青玉が$2$個以上である確率を求めると$[ヌ]$である．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$5:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$7:2$に外分する点を$\mathrm{Q}$，直線$\mathrm{PQ}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{BR}:\mathrm{CR}=[ネ]:[ノ]$であり，$\triangle \mathrm{BPR}$の面積は$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の$[ハ]$倍である．

次の問について，答えを$[　]$内に記入せよ．

(1)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$\sqrt{2}$の円周上を動くとき，$\sqrt{3}x+y$の最小値は$[ア]$であり，$x^2+2xy+3y^2$の最大値は$[イ]$である．
(2)放物線$y=x^2$上に$3$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(-4,\ 16)$，$\mathrm{C}(2,\ 4)$がある．$a>0$かつ$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であるとき，$a=[ウ]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[エ]$である．

次の問について，答えを$[　]$内に記入せよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$2 \sin^2 x+\sin 2x$は$x=[ア]$で最大値$[イ]$をとる．
(2)$1$から$9$までの数を$1$つずつ書いた$9$枚の札の中から，同時に$3$枚を引く．その$3$枚の札の数の積が，偶数になる確率は$[ウ]$であり，$6$の倍数になる確率は$[エ]$である．