$a$を正の実数とし，関数$f(x)=\sin x+a \sin 3x$を考える．

(1)$a=2$のとき，
\[ f(x)=[オ] \sin x+[カ] \sin^n x,\quad \text{ただし}n=[キ] \]
である．
(2)$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で$f(x)$が最大値をとるときの$a$の範囲は$\displaystyle 0<a \leqq \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(3)$\displaystyle a>\frac{[ク]}{[ケ]}$の範囲で，$f(x)$の最大値がもっとも小さくなるのは$\displaystyle a=\frac{[コ]}{[サ]}$のときである．
このとき$f(x)$の最大値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[シ]}}{[ス]}$であり，最大値を与える$x$に対して，$\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{[セ]}}{[ソ]}$である．

実数からなる集合$A,\ B,\ C$を以下のように定義する．

$\displaystyle A=\left\{ x \ \biggl| \ \sin \frac{\pi}{2}x>-\frac{1}{7}x \right\}$

$B=\{x \ | \ 0<x<b\}$
$C=\{x \ | \ x \geqq c\}$

ただし，$b,\ c$は正の実数とする．

(1)$-1 [え] A$である．また，$5 [お] A$である．
\begin{screen}
$[え]$，$[お]$の選択肢：
\[ \mathrm{(a)} \ \in \quad \mathrm{(b)} \ \notin \quad \mathrm{(c)} \ \ni \quad \mathrm{(d)} \ \notni \quad \mathrm{(e)} \ = \quad \mathrm{(f)} \ \subset \quad \mathrm{(g)} \ \supset \]
\end{screen}
(2)$B \cap C$が空集合であるための必要十分条件は$[か]$である．
\begin{screen}
$[か]$の選択肢：

\begin{tabular}{llll}
$\mathrm{(a)} \ b=c$ \phantom{AA} & $\mathrm{(b)} \ b<c$ \phantom{AA} & $\mathrm{(c)} \ b \leqq c$ \phantom{AA} & $\mathrm{(d)} \ b>c$ \phantom{AA} \\
$\mathrm{(e)} \ b \geqq c$ & $\mathrm{(f)} \ b \leqq 1$ & $\mathrm{(g)} \ b \leqq 1 \text{かつ} c \geqq 1$ &
\end{tabular}

\end{screen}
(3)$A \supset B$となる$b$のうち，整数で最大のものは$[タ]$である．また，$A \supset C$となる$c$のうち，整数で最小のものは$[チ]$である．
(4)$S$は実数からなる集合とする．「集合$S$が連結である」とは，「$S$のどの$2$つの要素$x,\ y$に対しても，

条件：実数$z$が$x<z<y$を満たすならば$z \in S$

が成り立つ」ことである．
$A \cap B$が連結であるような$b$のうち，整数で最大のものは$[ツ]$である．また，$A \cap C$が連結であるような$c$のうち，整数で最小のものは$[テ]$である．

$xyz$空間において，$xy$平面上に$4$点
\[ \mathrm{A}_1(1,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{B}_1(0,\ 1,\ 0),\quad \mathrm{C}_1(-1,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{D}_1(0,\ -1,\ 0) \]
を頂点とする正方形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$がある．$0<\theta<\pi$とし，この正方形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$を$xy$平面上で原点を中心に角$\theta$だけ回転させた後で$z$軸の正の方向に$2$だけ平行移動した正方形を$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$とする．

動点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$が，それぞれ点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$から同時に出発し，正方形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$，$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$の周上を，同じ速さで同じ向きに一周する．このとき，線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$が動いてできる曲面と正方形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$，$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$とで囲まれる立体を$V$とする．

(1)線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の長さの最大値は$\sqrt{[ト]+[ナ] [き]}$であり，線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の長さの最小値は$\sqrt{[ニ]+[ヌ] [く]}$である．
(2)$0<h<2$とするとき，平面$z=h$による立体$V$の断面は，一辺の長さが
\[ \sqrt{[ネ]+\left( [ノ]h^2+[ハ]h \right) \left( 1-[け] \right)} \]
の正方形であり，その一辺の長さは$h=[ヒ]$のとき最小である．

(3)立体$V$の体積は$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}+\frac{[ホ]}{[マ]} [こ]$である．

(4)$\theta$が$\pi$に限りなく近づくとき，立体$V$の体積は$\displaystyle \frac{[ミ]}{[ム]}$に収束する．
\begin{screen}
$[き]$～$[こ]$の選択肢：

$\mathrm{(a)} \ \sin \theta \quad \mathrm{(b)} \ \cos \theta \quad \mathrm{(c)} \ \tan \theta \quad \mathrm{(d)} \ \sin^2 \theta \quad \mathrm{(e)} \ \cos \theta \sin \theta$
$\displaystyle \mathrm{(f)} \ \frac{1}{\sin \theta} \quad \mathrm{(g)} \ \frac{1}{\cos \theta} \quad \mathrm{(h)} \ \frac{1}{\tan \theta}$

\end{screen}
（図は省略）

$4$人の女子と$4$人の男子の計$8$人を$1$列に並べるとき，順列の総数は$[ア]$であり，少なくとも一端が男子である順列の総数は$[イ]$であり，どの男子も隣り合わない順列の総数は$[ウ]$である．また，この$8$人の女子と男子を男女交互に円形に並べるとき，その並べ方の総数は$[エ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和$S_n$が$3S_n=a_n+2n-1$を満たすならば，
\[ a_n=\frac{[ア]}{[イ]} \left( \frac{[ウ]}{[エ]} \right)^n+\frac{[オ]}{[カ]} \]
である．
(2)$t$を実数とする．座標空間において，点$(2t,\ 1,\ -t)$を通りベクトル$(-1,\ 2,\ 1)$と平行な直線を$\ell$とする．点$\mathrm{P}$の座標を$(0,\ 2,\ 0)$とする．

(i) 点$\mathrm{P}$から$\ell$に垂線$\mathrm{PH}$を下ろすとき，
\[ \mathrm{PH}^2=\frac{[キ]}{[ク]}t^2+[ケ]t+\frac{[コ]}{[サ]} \]
である．
(ii) 点$\mathrm{P}$を中心とする半径$2$の球面を$S$とする．$S$と$\ell$が異なる$2$点で交わるとき，その$2$点間の距離は$\displaystyle t=\frac{[シ]}{[ス]}$のとき最大値をとる．

$f(x)=x^3-3x^2-x+3$とし，座標平面上の曲線$y=f(x)$の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における接線を$\ell$とする．ただし，$p \neq 3$とする．放物線$C:y=ax^2+bx+c$は点$(3,\ 0)$を通り，直線$\ell$と$\mathrm{P}$で接する．

(1)$a,\ b,\ c$をそれぞれ$p$の式で表すと，
\[ a=[セ]p,\ b=[ソ]p^2+[タ]p+[チ],\ c=[ツ]p^2+[テ] \]
である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2}<p<3$とする．$C$およびその下側の部分で，$C$と直線$\displaystyle x=\frac{1}{2}$および$x$軸で囲まれる図形の面積を$S_1$とおき，$C$およびその上側の部分で，$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積を$S_2$とおく．このとき，
\[ S_1-S_2=\frac{25}{24}\left( [ト]p^2+[ナ]p+[ニ] \right) \]
であり，$S_1=S_2$となる$p$の値は
\[ p=\frac{[ヌ]}{[ネ]}+\frac{\sqrt{[ノ]}}{[ハ]} \]
である．
(3)$p=1$のとき，
\[ S_1+S_2=\frac{[ヒ]}{[フ]} \]
である．

$a$を実数とし，$f(x)=(x-a)(x^2-2x-11)$とおく．集合
\[ A=\{x \;\bigl|\; f(x)<0,\ x \text{は実数} \} \]
を考える．また，$n$を整数とし，集合

$I_n=\{x \;\bigl|\; x>n,\ x \text{は実数} \}$
$J_n=\{x \;\bigl|\; x<n,\ x \text{は実数} \}$

を考える．

(1)$a=-4$のとき，$J_n \supset A$となる$n$の最小値は$[ヘ]$であり，$J_n \subset A$となる$n$の最大値は$[ホ]$である．
(2)$a=-4$，$n=-3$のとき，$I_n \cap A$に含まれる整数の個数は$[マ]$個である．
(3)$a=1$のとき，$I_n \cap A$が空集合でない$n$の最大値は$[ミ]$であり，$J_n \subset A$となる$n$の最大値は$[ム]$である．
(4)$a=1$のとき，
\[ x<x^\prime \quad \text{かつ} \quad f(x)>m>f(x^\prime) \]
を満たす実数$x,\ x^\prime$が存在するような整数$m$の最小値は$[メ]$，最大値は$[モ]$である．
(5)$a=7$のとき，$J_n \supset A$となる$n$の最小値は$[ヤ]$であり，$J_n \subset A$となる$n$の最大値は$[ユ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x),\ g(x)$が次の$2$つの式を満たしている．ただし，$a$は定数とする．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\int_1^x f(t) \, dt=xg(x)-2ax+2 \phantom{\frac{[　]}{[　]}} \\
g(x)=x^2-x \int_0^1 f(t) \, dt-3 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
このとき，$a=[ア]$であり，
\[ f(x)=[イ]x^2+[ウ]x+[エ] \]
である．
(2)$\displaystyle c(n)=\frac{3n^2+174n+231}{n^2+3n+2}$とおく．$c(n)$が整数となるような自然数$n$は$[オ]$個存在する．また，これら$[オ]$個の自然数のうちで最も大きいものを$n^{*}$と表すと，$n^{*}=[カ]$，$c(n^{*})=[キ]$である．

座標平面上の点$(\alpha,\ 1) (\alpha>0)$を中心とする円$C$と放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$が共に点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \frac{1}{2}t^2 \right)$で直線$\ell$と接している．

(1)$\alpha$を$t$の式で表すと
\[ \alpha=\frac{[ク]}{[ケ]}t^3 \]
である．
以下では，$C$が$x$軸と接する場合を考える．$C$と$x$軸の接点を$\mathrm{H}$とする．

(2)$\displaystyle \alpha=\frac{[コ]}{[サ]} \sqrt{[シ]}$である．
(3)$\ell$の方程式は
\[ y=\sqrt{[ス]}x+\frac{[セ]}{[ソ]} \]
である．
(4)$C$の弧$\mathrm{PH}$のうちの短い方と放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$および$x$軸とで囲まれる図形の面積は
\[ \frac{[タ]}{[チ]} \sqrt{[ツ]}+\frac{[テ]}{[ト]}\pi \]
である．

正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，$\mathrm{DE}$の中点を$\mathrm{M}$，$\mathrm{AM}$の中点を$\mathrm{N}$，$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{P}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$で表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{AM}}=\frac{[チ]}{[ツ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[テ] \overrightarrow{\mathrm{AF}} \]
となる．また，$\overrightarrow{\mathrm{NP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$で表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{NP}}=\frac{[ト]}{[ナ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[ニヌ]}{[ネ]} \overrightarrow{\mathrm{AF}} \]
となる．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=1$のとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}=\frac{[ノハ]}{[ヒ]} \]
となる．