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私立 北里大学 2015年 第1問直線$4x-3y=0$と直線$x+2y-11=0$の交点$\mathrm{P}$の座標は$[ア]$である．また，$\mathrm{P}$を通り，直線$2x+5y-11=0$に垂直な直線の方程式は$y=[イ]$である．
私立 北里大学 2015年 第2問不等式$\cos 2\theta<\sin \theta (0 \leqq \theta<2\pi)$の解は$[ウ]$である．
私立 北里大学 2015年 第3問直線$y=-2x+b$と曲線$y=|x(x-4)|$が$x$軸上にない共有点をちょうど$3$個もつとき，定数$b$の値は$[エ]$であり，$3$個の共有点の座標は$[オ]$，$[カ]$および$[キ]$である．さらにこのとき，この曲線と直線で囲まれた図形の面積は$[ク]$である．
私立 北里大学 2015年 第4問自然数$2520$の正の約数の個数は$[ケ]$である．次に，自然数$2520$について，$2520=ABC$となる$3$つの自然数$A,\ B,\ C$の選び方を考える．$3$つの自然数がすべて偶数であるような選び方は$[コ]$通りある．また，$3$つの自然数がすべて$20$以下であるような選び方は$[サ]$通りある．
私立 上智大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)不定方程式$41x+355y=1$について，$x$が$0<x<100$を満たす整数解は，$x=[ス]$，$y=[セ]$である．
(2)$25 \, \mathrm{g}$までの普通郵便と，簡易書留をそれぞれ何通かずつ出したところ，料金の合計はちょうど$5000$円となった．なお，$1$通あたりの郵便料金は，普通郵便が$82$円，簡易書留が$710$円である．このとき，普通郵便は$[ソ]$通，簡易書留は$[タ]$通である．
(3)$82$円および$205$円の$2$種類の切手を組み合わせて支払える$6100$円以上$6110$円未満の金額の一の位の数は，$[チ]$であり，そのような組合せは$[ツ]$通りある．
この組合せのうち，$2$種類の切手の合計枚数が最小になるのは$82$円切手が$[テ]$枚，$205$円切手が$[ト]$枚のときである．また，$2$種類の切手の枚数の差が最小になるのは$82$円切手が$[ナ]$枚，$205$円切手が$[ニ]$枚のときである．
(1)不定方程式$41x+355y=1$について，$x$が$0<x<100$を満たす整数解は，$x=[ス]$，$y=[セ]$である．
(2)$25 \, \mathrm{g}$までの普通郵便と，簡易書留をそれぞれ何通かずつ出したところ，料金の合計はちょうど$5000$円となった．なお，$1$通あたりの郵便料金は，普通郵便が$82$円，簡易書留が$710$円である．このとき，普通郵便は$[ソ]$通，簡易書留は$[タ]$通である．
(3)$82$円および$205$円の$2$種類の切手を組み合わせて支払える$6100$円以上$6110$円未満の金額の一の位の数は，$[チ]$であり，そのような組合せは$[ツ]$通りある．
この組合せのうち，$2$種類の切手の合計枚数が最小になるのは$82$円切手が$[テ]$枚，$205$円切手が$[ト]$枚のときである．また，$2$種類の切手の枚数の差が最小になるのは$82$円切手が$[ナ]$枚，$205$円切手が$[ニ]$枚のときである．
私立 上智大学 2015年 第3問ある工場では製品$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$を生産している．それらを生産するには，原料$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が必要である．$\mathrm{X}$を$1 \, \mathrm{kg}$生産するためには，$\mathrm{A}$が$1 \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{B}$が$4 \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{C}$が$1 \, \mathrm{kg}$必要である．$\mathrm{Y}$を$1 \, \mathrm{kg}$生産するためには，$\mathrm{A}$が$3 \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{B}$が$3 \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{C}$が$2 \, \mathrm{kg}$必要である．原料の在庫はそれぞれ，$\mathrm{A}$が$23 \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{B}$が$47 \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{C}$が$c \, \mathrm{kg}$である．また，$\mathrm{X}$を生産すると$1 \, \mathrm{kg}$あたり$p$万円，$\mathrm{Y}$を生産すると$1 \, \mathrm{kg}$あたり$q$万円の利益がある．ただし，$c>0$，$p>0$，$q>0$とする．以下，在庫にある原料のみを用いて生産を行うものとする．
(1)$c=17$，$p=2$，$q=5$のとき，$\mathrm{X}$を$[ヌ] \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{Y}$を$[ネ] \, \mathrm{kg}$生産すれば，最大の利益を得る．
(2)$c=17$のとき，最大の利益を得る$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の生産量の組がただ一つに定まるための必要十分条件を$\displaystyle \frac{p}{q}$の値を用いて表すと，
$\displaystyle 0<\frac{p}{q}<\frac{[ノ]}{[ハ]} \quad \text{または} \quad \frac{[ヒ]}{[フ]}<\frac{p}{q}<\frac{[ヘ]}{[ホ]}$
$\displaystyle \text{または} \quad \frac{[マ]}{[ミ]}<\frac{p}{q}<\frac{[ム]}{[メ]} \quad \text{または} \quad \frac{[モ]}{[ヤ]}<\frac{p}{q}$
である．ただし，$\displaystyle 0<\frac{[ヒ]}{[フ]}<\frac{[マ]}{[ミ]}<\frac{[モ]}{[ヤ]}$とする．
(3)$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の生産量にかかわらず原料$\mathrm{C}$が余るための必要十分条件を$c$の値を用いて表すと，$c>[ユ]$である．
(1)$c=17$，$p=2$，$q=5$のとき，$\mathrm{X}$を$[ヌ] \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{Y}$を$[ネ] \, \mathrm{kg}$生産すれば，最大の利益を得る．
(2)$c=17$のとき，最大の利益を得る$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の生産量の組がただ一つに定まるための必要十分条件を$\displaystyle \frac{p}{q}$の値を用いて表すと，
$\displaystyle 0<\frac{p}{q}<\frac{[ノ]}{[ハ]} \quad \text{または} \quad \frac{[ヒ]}{[フ]}<\frac{p}{q}<\frac{[ヘ]}{[ホ]}$
$\displaystyle \text{または} \quad \frac{[マ]}{[ミ]}<\frac{p}{q}<\frac{[ム]}{[メ]} \quad \text{または} \quad \frac{[モ]}{[ヤ]}<\frac{p}{q}$
である．ただし，$\displaystyle 0<\frac{[ヒ]}{[フ]}<\frac{[マ]}{[ミ]}<\frac{[モ]}{[ヤ]}$とする．
(3)$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の生産量にかかわらず原料$\mathrm{C}$が余るための必要十分条件を$c$の値を用いて表すと，$c>[ユ]$である．
私立 上智大学 2015年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$とする．
\[ x^2+[ア]x+[イ]=0 \]
である．また，$y=x^2$とするとき，
\[ y^2+[ウ]y+[エ]=0 \]
である．$x^3=ax+b$となる整数$a,\ b$は
\[ a=[オ],\quad b=[カ] \]
である．
(2)$\theta$を実数とするとき，
$\cos 3\theta=[キ] \cos^3 \theta+[ク] \cos \theta,$
$\cos 5\theta=[ケ] \cos^5 \theta+[コ] \cos^3 \theta+[サ] \cos \theta$
である．
(3)$a>1$とする．数列
$a,\ 1 \quad \biggl| \quad a^2,\ a,\ 1 \quad \biggl| \quad a^3,\ a^2,\ a,\ 1 \quad \biggl| \quad \cdots$
第$1$群 \qquad 第$2$群 \qquad\qquad 第$3$群
において，例えば，第$3$群第$1$項は$a^3$であり，これは最初から数えて第$6$項である．$a^{12}$が初めて現れるのは最初から数えて第$[シ]$項である．また最初から数えて第$645$項は第$[ス]$群$[セ]$項である．
(4)次の$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$のように，$2$つの試行を連続して行った結果それぞれ事象$A$と事象$B$が起こった．$2$つの試行が独立なものの組み合わせとして最もふさわしいものを一つ選べ．
\mon[$\mathrm{a.}$] 赤い玉が$4$個，白い玉が$4$個入った袋がある．
$A:$玉を$1$個取り出したところ白だった．
$B:$最初の試行で取り出した玉を戻した後，$1$個取り出したところ白だった．
\mon[$\mathrm{b.}$] $30$人のクラスがある．
$A:$無作為に選んだ$\mathrm{X}$さんの誕生日が$1$月$1$日である．
$B:$その次に無作為に選んだ$\mathrm{Y}$さんの誕生日が$1$月$1$日である．
\mon[$\mathrm{c.}$] $5$つの扉があり，それぞれの後ろに猫が一匹いる．猫は黒猫が$3$匹，白猫が$2$匹であり，その場から動かないものとする．
$A:1$つ目の扉を開けたところ，黒猫がいた．
$B:1$つ目の扉を閉じた後，別の扉を開けたところ，白猫がいた．
\begin{screen}
選択肢：
\begin{tabular}{lll}
$1.$ \ $\mathrm{a}$ & $2.$ \ $\mathrm{b}$ & $3.$ \ $\mathrm{c}$ \\
$4.$ \ $\mathrm{ab}$ & $5.$ \ $\mathrm{ac}$ & $6.$ \ $\mathrm{bc}$ \\
$7.$ \ $\mathrm{abc}$ \phantom{AAAAA} & $8.$ \ なし \phantom{AAAAA} & \phantom{AAAAA} \\
\end{tabular}
\end{screen}
(1)$\displaystyle x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$とする．
\[ x^2+[ア]x+[イ]=0 \]
である．また，$y=x^2$とするとき，
\[ y^2+[ウ]y+[エ]=0 \]
である．$x^3=ax+b$となる整数$a,\ b$は
\[ a=[オ],\quad b=[カ] \]
である．
(2)$\theta$を実数とするとき，
$\cos 3\theta=[キ] \cos^3 \theta+[ク] \cos \theta,$
$\cos 5\theta=[ケ] \cos^5 \theta+[コ] \cos^3 \theta+[サ] \cos \theta$
である．
(3)$a>1$とする．数列
$a,\ 1 \quad \biggl| \quad a^2,\ a,\ 1 \quad \biggl| \quad a^3,\ a^2,\ a,\ 1 \quad \biggl| \quad \cdots$
第$1$群 \qquad 第$2$群 \qquad\qquad 第$3$群
において，例えば，第$3$群第$1$項は$a^3$であり，これは最初から数えて第$6$項である．$a^{12}$が初めて現れるのは最初から数えて第$[シ]$項である．また最初から数えて第$645$項は第$[ス]$群$[セ]$項である．
(4)次の$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$のように，$2$つの試行を連続して行った結果それぞれ事象$A$と事象$B$が起こった．$2$つの試行が独立なものの組み合わせとして最もふさわしいものを一つ選べ．
\mon[$\mathrm{a.}$] 赤い玉が$4$個，白い玉が$4$個入った袋がある．
$A:$玉を$1$個取り出したところ白だった．
$B:$最初の試行で取り出した玉を戻した後，$1$個取り出したところ白だった．
\mon[$\mathrm{b.}$] $30$人のクラスがある．
$A:$無作為に選んだ$\mathrm{X}$さんの誕生日が$1$月$1$日である．
$B:$その次に無作為に選んだ$\mathrm{Y}$さんの誕生日が$1$月$1$日である．
\mon[$\mathrm{c.}$] $5$つの扉があり，それぞれの後ろに猫が一匹いる．猫は黒猫が$3$匹，白猫が$2$匹であり，その場から動かないものとする．
$A:1$つ目の扉を開けたところ，黒猫がいた．
$B:1$つ目の扉を閉じた後，別の扉を開けたところ，白猫がいた．
\begin{screen}
選択肢：
\begin{tabular}{lll}
$1.$ \ $\mathrm{a}$ & $2.$ \ $\mathrm{b}$ & $3.$ \ $\mathrm{c}$ \\
$4.$ \ $\mathrm{ab}$ & $5.$ \ $\mathrm{ac}$ & $6.$ \ $\mathrm{bc}$ \\
$7.$ \ $\mathrm{abc}$ \phantom{AAAAA} & $8.$ \ なし \phantom{AAAAA} & \phantom{AAAAA} \\
\end{tabular}
\end{screen}
私立 北里大学 2015年 第5問$\{a_n\}$を数列とし，$l$を数直線とする．各自然数$n$に対して，座標が$a_n$であるような$l$上の点を$\mathrm{P}_n$とする．次の$2$条件が成り立っているとする．
(i) $a_1=0$，$a_2=1$である．
(ii) 点$\mathrm{P}_{n+2}$は$2$点$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{P}_{n+1}$を結ぶ線分の中点である（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．
以下の問に答えよ．
(1)$a_3$の値は$[シ]$，$a_4$の値は$[ス]$である．
(2)$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=[セ]$であり，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[ソ]$である．
(i) $a_1=0$，$a_2=1$である．
(ii) 点$\mathrm{P}_{n+2}$は$2$点$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{P}_{n+1}$を結ぶ線分の中点である（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．
以下の問に答えよ．
(1)$a_3$の値は$[シ]$，$a_4$の値は$[ス]$である．
(2)$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=[セ]$であり，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[ソ]$である．
私立 北里大学 2015年 第6問三角形$\mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．また，線分$\mathrm{OB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{C}$，線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{P}$とする．さらに直線$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{D}$とおく．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=[タ] \overrightarrow{a}+[チ] \overrightarrow{b}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=[ツ] \overrightarrow{a}+[テ] \overrightarrow{b}$である．
(3)三角形$\mathrm{OPC}$の面積を$M$，三角形$\mathrm{ADP}$の面積を$N$とおくとき，$\displaystyle \frac{M}{N}$の値は$[ト]$である．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=[タ] \overrightarrow{a}+[チ] \overrightarrow{b}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=[ツ] \overrightarrow{a}+[テ] \overrightarrow{b}$である．
(3)三角形$\mathrm{OPC}$の面積を$M$，三角形$\mathrm{ADP}$の面積を$N$とおくとき，$\displaystyle \frac{M}{N}$の値は$[ト]$である．
私立 上智大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{5}{6}<\log_{10}7<\frac{6}{7}$であることを用いると，$7^{42}$は$[ア]$桁の整数であることがわかる．さらに，$7^2<50$であることと$\displaystyle \log_{10}2>\frac{3}{10}$であることを用いると，$\displaystyle \log_{10}7<\frac{[イ]}{[ウ]}$であることがわかり，これより，$7^{41}$は$[エ]$桁の整数であることがわかる．
(2)$\log_{10}15$に最も近い値は$[あ]$であり，
$\log_{10}17$に最も近い値は$[い]$であり，
$\log_{10}19$に最も近い値は$[う]$である．
ただし，近似値として，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$を用いてよい．
\begin{screen}
$[あ]$，$[い]$，$[う]$の選択肢：
\begin{tabular}{llll}
$\mathrm{(a)} \ 1.13$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(b)} \ 1.18$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(c)} \ 1.23$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(d)} \ 1.28$ \phantom{AAA} \\
$\mathrm{(e)} \ 1.33$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(f)} \ 1.38$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(g)} \ 1.43$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(h)} \ 1.48$ \phantom{AAA}
\end{tabular}
\end{screen}
(1)$\displaystyle \frac{5}{6}<\log_{10}7<\frac{6}{7}$であることを用いると，$7^{42}$は$[ア]$桁の整数であることがわかる．さらに，$7^2<50$であることと$\displaystyle \log_{10}2>\frac{3}{10}$であることを用いると，$\displaystyle \log_{10}7<\frac{[イ]}{[ウ]}$であることがわかり，これより，$7^{41}$は$[エ]$桁の整数であることがわかる．
(2)$\log_{10}15$に最も近い値は$[あ]$であり，
$\log_{10}17$に最も近い値は$[い]$であり，
$\log_{10}19$に最も近い値は$[う]$である．
ただし，近似値として，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$を用いてよい．
\begin{screen}
$[あ]$，$[い]$，$[う]$の選択肢：
\begin{tabular}{llll}
$\mathrm{(a)} \ 1.13$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(b)} \ 1.18$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(c)} \ 1.23$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(d)} \ 1.28$ \phantom{AAA} \\
$\mathrm{(e)} \ 1.33$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(f)} \ 1.38$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(g)} \ 1.43$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(h)} \ 1.48$ \phantom{AAA}
\end{tabular}
\end{screen}