$3$次関数$f(x)$は$x=0$で極小，$x=a>0$で極大になるとする．また$x=b (\neq a)$で$f(a)=f(b)$が成り立つとする．$x=b$における$y=f(x)$の接線が$y$軸と交わる点を$(0,\ c)$とおく．もし$3$点$(a,\ f(a))$，$(b,\ f(b))$，$(0,\ c)$を$3$頂点とする三角形が二等辺三角形になるならば，接線の傾きは
\[ -2 \sqrt{[$27$][$28$]} \quad\text{または}\quad -\sqrt{[$29$][$30$]} \]
であり，それぞれに対応して，$c$の値は
\[ c-f(a)=-\sqrt{[$31$][$32$]}a \quad\text{または}\quad -\frac{\sqrt{[$33$]}}{[$34$]}a \]
をみたす．

次の問いに答えよ．

(1)座標平面上の放物線
\[ y={(x-29)}^2-3600 \]
と$x$軸の共有点の$x$座標は$[ア]$と$[イ]$である．ただし$[ア]<[イ]$とする．
(2)$x+y=1$かつ$0<x<1$を満たす実数$x,\ y$に対して
\[ A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y},\quad B=\left( 1+\frac{1}{x^2} \right) \left( 1+\frac{1}{y^2} \right) \]
とおく．

(i) $A$のとり得る値の最小値は$[ウ]$である．
(ii) すべての$x,\ y$に対して
\[ B=[エ]A^2+[オ]A+[カ] \]
が成り立つ．
(iii) $B$のとり得る値の最小値は$[キ]$である．

数列$\{a_n\}$を初項$5 \log_2 3$，公差$\displaystyle -\frac{1}{2} \log_2 3-\frac{1}{2}$の等差数列とする．このとき，

(1)$\displaystyle a_{10}=\frac{[ア]}{[イ]} \log_2 3-\frac{[ウ]}{[エ]},\quad a_{11}=-[オ]$
である．
(2)数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=2^{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定めると，これは初項$[カ][キ][ク]$，公比$\displaystyle \frac{\sqrt{[ケ]}}{[コ]}$の等比数列となる．
(3)数列$\{a_n\}$はある$n$より先は負となる．$a_n$が負となる最初の$n$は$[サ]$である．

原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内に$2$点$\mathrm{A}(3,\ -2,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 5)$を定め，$t$を実数として，$z$軸上を動く点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ t)$をとる．

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さは$[ア]$である．
(2)線分$\mathrm{AP}$の長さと線分$\mathrm{BP}$の長さが等しくなるのは$t=[イ]$のときである．
(3)$\angle \mathrm{APB}$が直角となるのは$t=[ウ] \pm \sqrt{[エ]}$のときである．

(4)$\triangle \mathrm{ABP}$の面積が最小となるのは$\displaystyle t=\frac{[オ][カ]}{[キ]}$のときである．

$a,\ b$を実数として，$3$次関数$f(x)=x^3-ax^2+3bx-10$は$x=1$で極値をとるとする．

(1)$\displaystyle a=\frac{[ア]}{[イ]}b+\frac{[ウ]}{[エ]}$であり，$b \neq [オ]$である．

(2)$3$次方程式$x^3-ax^2+3bx-10=0$が異なる$3$つの実数解をもつのは
\[ b<-[カ],\quad [キ]<b \]
のとき，すなわち
\[ a<-\frac{[ク]}{[ケ]},\quad [コ][サ]<a \]
のときである．

$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CD}=6$，$\mathrm{DA}=5$である四角形$\mathrm{ABCD}$があり，この四角形は円$\mathrm{O}$に内接している．

(1)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{B}=-\frac{[ア]}{[イ]}$であり，$\mathrm{AC}=\sqrt{[ウ][エ]}$である．

(2)円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ][キ]} \sqrt{[ク][ケ][コ]}$である．

(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[サ] \sqrt{[シ]}$である．

(4)四角形$\mathrm{ABCD}$は，ある円に外接している．この円の半径は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{[ソ]}$である．

放物線$C:y=ax^2-bx-c$は，点$\displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ -1 \right)$を通り，この点における$C$の接線の傾きは$-14$であり，その軸は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$であるという．このとき，
\[ a=[ア],\quad b=[イ],\quad c=\frac{[ウ][エ]}{[オ]} \]
である．$C$と$y$軸との交点における$C$の接線を$\ell$とすると，$\ell$の方程式は
\[ y=-[カ]x-\frac{[キ][ク]}{[ケ]} \]
となり，原点を通り$\ell$に平行な直線と$C$で囲まれる部分の面積は
\[ \frac{[コ][サ][シ]}{[ス][セ]} \sqrt{[ソ]} \]
となる．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{2^x-2^{-x}}{2}$について考える．

(1)$\displaystyle f \left( \log_{\frac{1}{2}} 5 \right)=\frac{[ア][イ]}{[ウ]}$
(2)$\displaystyle f(a)=\frac{4}{3}$をみたす$a$に対して，$2^a=[エ]$
(3)$\displaystyle f(b)=\frac{15}{8}$をみたす$b$に対して，$\displaystyle f(b+\log_2 3)=\frac{[オ][カ][キ]}{[ク][ケ]}$

次の問いに答えよ．

(1)$\alpha$を実数として，$\sin \alpha$が$8{(\sin \alpha)}^3-6 \sin \alpha-1=0$をみたすとき，
\[ \sin (3 \alpha)=-\frac{[ア]}{[イ]} \]
となる．
(2)$3$次方程式$8x^3-6x-1=0$の異なる$3$つの解は
\[ \sin \left( \frac{[ウ]}{[エ][オ]}\pi \right),\quad \sin \left( \frac{[カ][キ]}{[エ][オ]}\pi \right),\quad \sin \left( \frac{[ク][ケ]}{[エ][オ]}\pi \right) \]
である．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \frac{[ウ]}{[エ][オ]}<\frac{[カ][キ]}{[エ][オ]}<\frac{[ク][ケ]}{[エ][オ]} \leqq \frac{5}{3}$とする．

次の問いに答えよ．

(1)$x+y+z+w=18$，$x \geqq 8$，$y \geqq 4$，$z \geqq 2$，$w \geqq 0$を満たす整数$x,\ y,\ z,\ w$の組$(x,\ y,\ z,\ w)$の個数は$[ア]$個である．
(2)$4$個の白球と$6$個の赤球を無作為に並べて，輪をつくる．このとき，白球が隣り合わない確率は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$であり，$4$個の白球がすべて隣り合う確率は$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$である．