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私立 山口東京理科大学 2016年 第4問空間において，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{B}(-1,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ -1,\ -1)$を定める．点$\mathrm{P}$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線上の点であれば，実数$t$を用いて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{CP}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{CA}}+t \overrightarrow{\mathrm{CB}} \]
と表される．このとき，点$\mathrm{P}$が$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$の長さを最小にするとき，$t$の値，点$\mathrm{P}$の座標について，
\[ t=[ニ],\quad \mathrm{P}(-[ヌ],\ -[ネ],\ [ノ]) \]
である．
\[ \overrightarrow{\mathrm{CP}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{CA}}+t \overrightarrow{\mathrm{CB}} \]
と表される．このとき，点$\mathrm{P}$が$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$の長さを最小にするとき，$t$の値，点$\mathrm{P}$の座標について，
\[ t=[ニ],\quad \mathrm{P}(-[ヌ],\ -[ネ],\ [ノ]) \]
である．
私立 山口東京理科大学 2016年 第5問次の$2$つの放物線
\[ y=x^2+2x-4,\quad y=-x^2+2x+2 \]
を考える．
(1)$2$つの放物線の交点における$x$座標は，$\pm \sqrt{[ハ]}$である．
(2)$2$つの放物線で囲まれた図形の面積は，$[ヒ] \sqrt{[フ]}$である．
\[ y=x^2+2x-4,\quad y=-x^2+2x+2 \]
を考える．
(1)$2$つの放物線の交点における$x$座標は，$\pm \sqrt{[ハ]}$である．
(2)$2$つの放物線で囲まれた図形の面積は，$[ヒ] \sqrt{[フ]}$である．
私立 慶應義塾大学 2016年 第2問$2$つの関数$f(x)=x^3-x^2-x+c$，$g(x)=4x+1$がある．$x$は$0 \leqq x \leqq a$を満たす．ただし，$a$は整数，$c$は実数とする．
$xy$平面上の曲線$y=f(x)$上の異なる$2$点$(0,\ f(0))$，$(a,\ f(a))$を結ぶ直線は，$\displaystyle x=\frac{a}{3}$における$y=f(x)$の接線と直交する．このとき，
(1)$a=[$24$]$である．
(2)$c=0$のとき，関数$f(x)$の最大値は$[$25$]$である．
(3)方程式$f(x)=g(x)$が$2$つの異なる実数解を持つような$c$の値の範囲は
\[ [$26$] \leqq c<\frac{[$27$][$28$][$29$]}{[$30$][$31$]} \]
である．
$xy$平面上の曲線$y=f(x)$上の異なる$2$点$(0,\ f(0))$，$(a,\ f(a))$を結ぶ直線は，$\displaystyle x=\frac{a}{3}$における$y=f(x)$の接線と直交する．このとき，
(1)$a=[$24$]$である．
(2)$c=0$のとき，関数$f(x)$の最大値は$[$25$]$である．
(3)方程式$f(x)=g(x)$が$2$つの異なる実数解を持つような$c$の値の範囲は
\[ [$26$] \leqq c<\frac{[$27$][$28$][$29$]}{[$30$][$31$]} \]
である．
私立 慶應義塾大学 2016年 第3問数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$はそれぞれ公比を$r_a,\ r_b$とする等比数列である．$a_2-a_1=2+\sqrt{5}$であり，$a_3-a_1$は$a_2+a_1$の$\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}$倍である．$\{b_n\}$は，$\displaystyle b_n=\left( \frac{7-3 \sqrt{5}}{2} \right)^n a_n$とする．また，数列$\{c_n\}$は，$\displaystyle c_n=\frac{1}{r_a-r_b}(a_n-b_n)$とする．ただし，$n$は自然数とする．このとき，
(1)$\displaystyle r_a=\frac{[$32$]+\sqrt{[$33$]}}{[$34$]}$である．
(2)$c_4=[$35$][$36$]$である．
(3)$\displaystyle \frac{c_{16}}{c_8}=\kakkofour{$37$}{$38$}{$39$}{$40$}$である．
(1)$\displaystyle r_a=\frac{[$32$]+\sqrt{[$33$]}}{[$34$]}$である．
(2)$c_4=[$35$][$36$]$である．
(3)$\displaystyle \frac{c_{16}}{c_8}=\kakkofour{$37$}{$38$}{$39$}{$40$}$である．
私立 慶應義塾大学 2016年 第1問中心の座標が$(1,\ 1)$，半径が$2 \sqrt{2}$である座標平面上の円を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対して$t=x+y$とおく．
(1)$\mathrm{P}(x,\ y)$が$C$上を動くとき$t$が取り得る値の範囲は$[$1$][$2$] \leqq t \leqq [$3$][$4$]$である．特に$t=0$のとき，$x^2+y^2=[$5$]$が成り立つ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$が$C$上を動くとき，$xy$の値は$t=[$6$]$のとき最小値$\displaystyle \frac{[$7$][$8$]}{[$9$]}$をとる．
(3)$\mathrm{P}(x,\ y)$が$C$上を動くとき，$x^3+y^3$の値は$t=[$10$]+\sqrt{[$11$][$12$]}$のとき最大になる．
(1)$\mathrm{P}(x,\ y)$が$C$上を動くとき$t$が取り得る値の範囲は$[$1$][$2$] \leqq t \leqq [$3$][$4$]$である．特に$t=0$のとき，$x^2+y^2=[$5$]$が成り立つ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$が$C$上を動くとき，$xy$の値は$t=[$6$]$のとき最小値$\displaystyle \frac{[$7$][$8$]}{[$9$]}$をとる．
(3)$\mathrm{P}(x,\ y)$が$C$上を動くとき，$x^3+y^3$の値は$t=[$10$]+\sqrt{[$11$][$12$]}$のとき最大になる．
私立 早稲田大学 2016年 第1問$x,\ y$を正の整数とする．
(1)$17x-36y=1$となる最小の$x$は$[ア]$である．
(2)$17x^3-36y=1$となる最小の$x$は$[イ]$である．
(1)$17x-36y=1$となる最小の$x$は$[ア]$である．
(2)$17x^3-36y=1$となる最小の$x$は$[イ]$である．
私立 早稲田大学 2016年 第2問点$\mathrm{F}(0,\ 1)$を通り，直線$y=-1$に接する円の中心が描く軌跡を曲線$C$とする．このとき，曲線$C$を表す方程式は
\[ y=\frac{1}{[ウ]}x^2 \]
となる．また，曲線$C$上に$x$座標が正である点$\mathrm{P}$をとる．線分$\mathrm{FP}$の長さが$4$となるとき，曲線$C$の点$\mathrm{P}$における接線と曲線$C$および$y$軸とで囲まれる図形の面積は$[エ] \sqrt{[オ]}$となる．
\[ y=\frac{1}{[ウ]}x^2 \]
となる．また，曲線$C$上に$x$座標が正である点$\mathrm{P}$をとる．線分$\mathrm{FP}$の長さが$4$となるとき，曲線$C$の点$\mathrm{P}$における接線と曲線$C$および$y$軸とで囲まれる図形の面積は$[エ] \sqrt{[オ]}$となる．
私立 早稲田大学 2016年 第3問$2$つの箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，いずれの箱にも赤球が$1$個，白球が$3$個入っている．ここで，「それぞれの箱から$1$個の球を無作為に取り出しそれらを交換する」という試行を$n$回繰り返す．その結果，$2$つの箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がともに元の状態に戻っている確率を$p_n$とする．このとき，正の整数$k$に対して，
\[ p_{k+1}=\frac{[カ]}{[キ]}p_k+\frac{[ク]}{[ケ]}(1-p_k) \]
となる．よって，
\[ p_n=\frac{[コ]}{7} \left( \frac{1}{[サ]} \right)^n+\frac{[シ]}{7} \quad (n \geqq 1) \]
となる．
\[ p_{k+1}=\frac{[カ]}{[キ]}p_k+\frac{[ク]}{[ケ]}(1-p_k) \]
となる．よって，
\[ p_n=\frac{[コ]}{7} \left( \frac{1}{[サ]} \right)^n+\frac{[シ]}{7} \quad (n \geqq 1) \]
となる．
私立 早稲田大学 2016年 第3問次の不等式
\[ 1+\log_{\sqrt{x}} (n^2)<\log_n \sqrt{x}<\frac{1}{2}(1+\log_{\sqrt{n}} 3) \quad \cdots \quad (*) \]
を満たす自然数$n$と実数$x$について，以下の問に答えよ．
(1)次の空欄にあてはまる数を記入せよ．
$t=\log_n x$とおく．このとき，$\displaystyle 1+\log_{\sqrt{x}} (n^2)=1+\frac{[ア]}{t}$，$\log_n \sqrt{x}=[イ] \times t$である．したがって，不等式$1+\log_{\sqrt{x}}(n^2)<\log_n \sqrt{x}$が満たされることは，
$[ウ]<t<[エ]$または$t>[オ]$であることと同値である．
(2)$x$も自然数であるとき，不等式$(*)$を満たす組$(n,\ x)$をすべて求めよ．
\[ 1+\log_{\sqrt{x}} (n^2)<\log_n \sqrt{x}<\frac{1}{2}(1+\log_{\sqrt{n}} 3) \quad \cdots \quad (*) \]
を満たす自然数$n$と実数$x$について，以下の問に答えよ．
(1)次の空欄にあてはまる数を記入せよ．
$t=\log_n x$とおく．このとき，$\displaystyle 1+\log_{\sqrt{x}} (n^2)=1+\frac{[ア]}{t}$，$\log_n \sqrt{x}=[イ] \times t$である．したがって，不等式$1+\log_{\sqrt{x}}(n^2)<\log_n \sqrt{x}$が満たされることは，
$[ウ]<t<[エ]$または$t>[オ]$であることと同値である．
(2)$x$も自然数であるとき，不等式$(*)$を満たす組$(n,\ x)$をすべて求めよ．
私立 早稲田大学 2016年 第1問$[ア]$～$[エ]$にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)$2^{100}$を$2016$で割った余りは$[ア]$である．
(2)$a,\ b$を正の整数とする．方程式
\[ 2x^3-ax^2+bx+3=0 \]
が，$1$以上の有理数の解を持つような$a$の最小値は$[イ]$である．
(3)正$2016$角形$P$がある．頂点がすべて$P$の頂点であるような正多角形は全部で$[ウ]$個ある．ただし，頂点の異なる正多角形は異なるものとする．
(4)$\displaystyle \left( \sum_{k=1}^{2016} k \sin \frac{(2k-1) \pi}{2016} \right) \sin \frac{\pi}{2016}=[エ]$
(1)$2^{100}$を$2016$で割った余りは$[ア]$である．
(2)$a,\ b$を正の整数とする．方程式
\[ 2x^3-ax^2+bx+3=0 \]
が，$1$以上の有理数の解を持つような$a$の最小値は$[イ]$である．
(3)正$2016$角形$P$がある．頂点がすべて$P$の頂点であるような正多角形は全部で$[ウ]$個ある．ただし，頂点の異なる正多角形は異なるものとする．
(4)$\displaystyle \left( \sum_{k=1}^{2016} k \sin \frac{(2k-1) \pi}{2016} \right) \sin \frac{\pi}{2016}=[エ]$