図において，余弦定理を用いると$\cos \alpha=[　]$である．また，$\sin \beta=[　]$である．
（図は省略）

半径$1$の円において，直径$\mathrm{AB}$と円周上の点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$で，四角形$\mathrm{ABCD}$を作る．$\angle \mathrm{A}=75^\circ$，$\angle \mathrm{B}=60^\circ$のとき，$\angle \mathrm{DAC}=[　]$である．また，$\mathrm{CD}$の長さは$[　]$である．
（図は省略）

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=4$，$A=120^\circ$であるとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[　]$である．また，この三角形$\mathrm{ABC}$の$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さは$[　]$である．
（図は省略）

$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解が$\displaystyle x=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$であるとき，$a=[　]$，$b=[　]$である．

$3$次方程式$x^3-4x^2+9x-10=0$の実数解は$x=[　]$，虚数解は$x=[　]$である．

直線$\ell:y-2x-4=0$と，直線$\ell$に垂直で原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を通る直線$m$との交点を$\mathrm{X}$とする．点$\mathrm{X}$の座標は$[　]$であり，線分$\mathrm{OX}$の長さは$[　]$である．

正の数$x,\ y$に対して
\[ \log_2x+\log_2y=4,\quad 2^x \times 2^y=1024 \]
であるとき，次の値を求めよ．

(1)$xy=[　]$
(2)$x+y=[　]$

$2$次関数
\[ f(x)=x^2+2x+9 \]
の最小値は$[　]$である．したがって，関数
\[ g(x)=\log_2 (x^2+2x+9) \]
の最小値は$[　]$である．

$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2},\ \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{8}$のとき，次の値を求めよ．

(1)$\sin \theta+\cos \theta=[　]$
(2)$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[　]$

関数$f(x)=x^3+ax+b$（$a,\ b$は定数）が$x=-1$で極大値$5$をとるとき，$a,\ b$の値は$[　]$であり，極小値は$[　]$である．