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私立 西南学院大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$p$を実数の定数とする．$x$に関する次の$2$つの方程式
\[ \begin{array}{l}
x^2+px+3p+9=0 \\
x^2-7x-p^2-7p-12=0
\end{array} \]
が$1$つ以上の共通解をもつとき，その共通解は，$\displaystyle \frac{[ア] \pm \sqrt{[イウ]}}{2}$あるいは，$[エ]$である．
(2)$a,\ b$を正の定数（ただし，$a>b$）とし，$ab=7$とする．方程式$\displaystyle \frac{b}{2x-a}-\frac{a}{2x-b}=0$の解が$x=3$ならば，$a=[オ]+\sqrt{[カ]}$，$b=[キ]-\sqrt{[ク]}$である．
(1)$p$を実数の定数とする．$x$に関する次の$2$つの方程式
\[ \begin{array}{l}
x^2+px+3p+9=0 \\
x^2-7x-p^2-7p-12=0
\end{array} \]
が$1$つ以上の共通解をもつとき，その共通解は，$\displaystyle \frac{[ア] \pm \sqrt{[イウ]}}{2}$あるいは，$[エ]$である．
(2)$a,\ b$を正の定数（ただし，$a>b$）とし，$ab=7$とする．方程式$\displaystyle \frac{b}{2x-a}-\frac{a}{2x-b}=0$の解が$x=3$ならば，$a=[オ]+\sqrt{[カ]}$，$b=[キ]-\sqrt{[ク]}$である．
私立 西南学院大学 2010年 第2問$1$から$9$までの数字を$1$つずつ書いた$9$枚のカードが袋の中に入っている．この中から$3$枚のカードを同時に取り出したとき，
(1)$1$枚が$2$以下で，$2$枚が$7$以上となる確率は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コサ]}$である．
(2)最小の数が$2$以下で，最大の数が$7$以上となる確率は$\displaystyle \frac{[シス]}{[セソ]}$である．
(3)最大の数が$7$となる確率は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チツ]}$である．
(1)$1$枚が$2$以下で，$2$枚が$7$以上となる確率は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コサ]}$である．
(2)最小の数が$2$以下で，最大の数が$7$以上となる確率は$\displaystyle \frac{[シス]}{[セソ]}$である．
(3)最大の数が$7$となる確率は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チツ]}$である．
私立 西南学院大学 2010年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$のとき，
$4 \sin^2 \theta+2(1+\sqrt{3}) \cos \theta-(4+\sqrt{3})=0$を満たしている．このとき，$\theta=[テト]^\circ$，$[ナニ]^\circ$である．ただし，$[テト]^\circ<[ナニ]^\circ$とする．
(2)$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$のとき，
$\displaystyle \tan \theta \left( \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}-3 \right)+3=0$を満たしている．このとき，$\theta=[ヌネ]^\circ$，$[ノハ]^\circ$である．ただし，$[ヌネ]^\circ<[ノハ]^\circ$とする．
(1)$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$のとき，
$4 \sin^2 \theta+2(1+\sqrt{3}) \cos \theta-(4+\sqrt{3})=0$を満たしている．このとき，$\theta=[テト]^\circ$，$[ナニ]^\circ$である．ただし，$[テト]^\circ<[ナニ]^\circ$とする．
(2)$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$のとき，
$\displaystyle \tan \theta \left( \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}-3 \right)+3=0$を満たしている．このとき，$\theta=[ヌネ]^\circ$，$[ノハ]^\circ$である．ただし，$[ヌネ]^\circ<[ノハ]^\circ$とする．
私立 西南学院大学 2010年 第4問$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は，
\[ a_{n+1}=-a_n-15b_n,\quad b_{n+1}=a_n+7b_n,\quad a_1=-1,\quad b_1=1 \]
で定義される．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a_3=-[ヒフ]$，$b_3=[ヘホ]$である．
(2)$a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta (a_n+\alpha b_n)$を満たす定数$\alpha,\ \beta$を求めると，
\[ (\alpha,\ \beta)=([マ],\ [ミ]),\ ([ム],\ [メ]) \]
となる．ただし，$[マ]<[ム]$である．
(3)一般項を求めると，
\[ a_n=\frac{[モ] \cdot [ヤ]^n-[ユ] \cdot [ヨ]^n}{2},\quad b_n=\frac{[ラ]^n-[リ]^n}{2} \]
となる．
\[ a_{n+1}=-a_n-15b_n,\quad b_{n+1}=a_n+7b_n,\quad a_1=-1,\quad b_1=1 \]
で定義される．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a_3=-[ヒフ]$，$b_3=[ヘホ]$である．
(2)$a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta (a_n+\alpha b_n)$を満たす定数$\alpha,\ \beta$を求めると，
\[ (\alpha,\ \beta)=([マ],\ [ミ]),\ ([ム],\ [メ]) \]
となる．ただし，$[マ]<[ム]$である．
(3)一般項を求めると，
\[ a_n=\frac{[モ] \cdot [ヤ]^n-[ユ] \cdot [ヨ]^n}{2},\quad b_n=\frac{[ラ]^n-[リ]^n}{2} \]
となる．
私立 北海道薬科大学 2010年 第1問次の各設問に答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{4}{3+\sqrt{5}}+\frac{1}{2+\sqrt{5}}$を計算すると$[ ]$となる．
(2)$3^{2x}-2 \times 3^{x+2}=-81$を解くと，$x=[ ]$となる．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2,\ 3)$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=(-4,\ 5)$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=([ ],\ [ ])$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．
(4)$3$つの直線$ax+y=1$，$x+2y=3$，$x-ay=-3$が一点で交わるとき，定数$a$の値は
\[ [ ] \text{または} \frac{[ ]}{[ ]} \]
である．
(1)$\displaystyle \frac{4}{3+\sqrt{5}}+\frac{1}{2+\sqrt{5}}$を計算すると$[ ]$となる．
(2)$3^{2x}-2 \times 3^{x+2}=-81$を解くと，$x=[ ]$となる．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2,\ 3)$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=(-4,\ 5)$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=([ ],\ [ ])$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．
(4)$3$つの直線$ax+y=1$，$x+2y=3$，$x-ay=-3$が一点で交わるとき，定数$a$の値は
\[ [ ] \text{または} \frac{[ ]}{[ ]} \]
である．
私立 北海道薬科大学 2010年 第2問次の各設問に答えよ．
(1)方程式$3y-10x=48$と不等式$x^2<y<4x+15$を同時に満たす整数は$x=[ ]$，$y=[ ]$である．
(2)$n$本の当たりくじを含む$10$本のくじから，$2$本を同時にひく．少なくとも$1$本が当たりくじである確率が$\displaystyle \frac{8}{15}$であるとすると，$2$本ともはずれる確率は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$となるから，$n$について
\[ n^2-[ ] n+[ ]=0 \]
が成り立つ．したがって，条件を満たす$n$の値は$[ ]$である．
(1)方程式$3y-10x=48$と不等式$x^2<y<4x+15$を同時に満たす整数は$x=[ ]$，$y=[ ]$である．
(2)$n$本の当たりくじを含む$10$本のくじから，$2$本を同時にひく．少なくとも$1$本が当たりくじである確率が$\displaystyle \frac{8}{15}$であるとすると，$2$本ともはずれる確率は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$となるから，$n$について
\[ n^2-[ ] n+[ ]=0 \]
が成り立つ．したがって，条件を満たす$n$の値は$[ ]$である．
私立 藤田保健衛生大学 2010年 第1問$2$つの実数$a,\ b$のうち小さくない方を$\max \{a,\ b\}$と表すことにする．
(1)$\max\{ x,\ x^2-1\}=1$を満足する$x$をすべて求めると$x=[ ]$である．
(2)$x \cdot \max\{x,\ 4-x\}-6x+5=0$を満足する$x$のうち最小のものを$\alpha$，最大のものを$\beta$とするとき，$\alpha=[ ]$，$\beta=[ ]$である．
(1)$\max\{ x,\ x^2-1\}=1$を満足する$x$をすべて求めると$x=[ ]$である．
(2)$x \cdot \max\{x,\ 4-x\}-6x+5=0$を満足する$x$のうち最小のものを$\alpha$，最大のものを$\beta$とするとき，$\alpha=[ ]$，$\beta=[ ]$である．
私立 藤田保健衛生大学 2010年 第3問楕円$\displaystyle A:\frac{x^2}{4}+y^2=1$を原点を中心に反時計回りに$\displaystyle \frac{\pi}{3}$回転させて得た楕円を$B$とする．この回転により，点$\displaystyle \left( -\sqrt{3},\ \frac{1}{2} \right)$を接点とする$A$の接線$y=[ ]$は，$B$に対する接線$y=[ ]$に移される．
私立 藤田保健衛生大学 2010年 第4問半径$r$の球に内接する直円錐の体積は，その円錐の底面の半径が$[ ]$のときに最大値をとり，その値は球の体積の$[ ]$倍に等しい．
私立 藤田保健衛生大学 2010年 第5問関数$\displaystyle f(x)=\frac{1-\cos x}{x^2}$（ただし$x \neq 0$）において
(1)$\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)=[ア]$である．
(2)$f^\prime(x)=[イ]$である．
(3)$f(0)=[ア]$と定義したとき，$f(x)$の最大値は$[ウ]$であり，最小値は$x=[エ]$のとき$[オ]$である．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)=[ア]$である．
(2)$f^\prime(x)=[イ]$である．
(3)$f(0)=[ア]$と定義したとき，$f(x)$の最大値は$[ウ]$であり，最小値は$x=[エ]$のとき$[オ]$である．