次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=\sqrt{[アイ]}$，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ]$である．

(2)$|\abs{x-1|-2}=3$の解は$x=[エオ],\ [カ]$である．
(3)$2$つの$2$次関数$y=6x^2+2kx+k$，$y=-x^2+(k-6)x-1$のグラフが両方とも$x$軸と共有点をもたないような定数$k$の値の範囲は$[キ]<k<[ク]$である．
(4)$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$で$\displaystyle \tan \theta=-\frac{4}{3}$のとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[ケコ]}{[サ]}$であり，$\displaystyle \sin (180^\circ-\theta)=\frac{[シ]}{[ス]}$である．
(5)不等式$\displaystyle \frac{2x-5}{4}<\frac{x+4}{3} \leqq \frac{3x+1}{6}$の解は$\displaystyle [セ] \leqq x<\frac{[ソタ]}{[チ]}$である．
(6)$1$から$100$までの整数のうち，$4$の倍数かつ$6$の倍数である整数は$[ツ]$個あり，$4$の倍数または$6$の倍数である整数は$[テト]$個ある．
(7)$1$個のさいころを投げて，偶数の目が出たときはその目の数の$2$倍を得点とし，奇数の目が出たときはその目の数の$3$倍を得点とするゲームを行う．このとき，このゲームの得点の期待値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$である．
(8)図のように，直線$\ell$は中心を$\mathrm{O}$とする円と点$\mathrm{A}$において接している．また，$\ell$上の点$\mathrm{P}$と$\mathrm{O}$を通る直線と円との交点を図のように$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とし，$\angle \mathrm{PAB}=115^\circ$であるとする．このとき，
\[ \angle \mathrm{ABC}=[エオ]^\circ,\quad \angle \mathrm{APC}=[カキ]^\circ \]
である．
（図は省略）

以下の問に答えよ．

(1)$a$を$0$以上$7$以下の整数，$b$を$88$以下の正の整数，$c$を$1024$の倍数とする．このとき，$89a+b$のとり得る値の最大値は
[ア][イ][$1$]である．$89a+b-c+669$が$1024$の倍数のとき，$89a+b=[ウ][エ][$5$]$となって，$a=[オ]$，$b=[カ][$8$]$となる．
(2)数列
\[ \{a_n\} : \frac{1}{1},\ \frac{1}{2},\ \frac{3}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{3}{3},\ \frac{5}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{5}{4},\ \frac{7}{4},\ \frac{1}{5},\ \cdots \]
について次の問いに答えよ．

(i) $\displaystyle \frac{35}{49}$は数列$\{a_n\}$の第$\kakkofour{キ}{ク}{ケ}{4}$項である．
(ii) 数列$\{a_n\}$の第$2008$項は
\[ a_{2008}=\frac{[コ][サ][9]}{[シ][3]} \]
である．
(iii) 数列$\{a_n\}$の初項から第$1005$項までの和は
\[ [ス][セ][5] \]
である．

$2$平面$\pi_1$，$\pi_2$がある．$\pi_1$は$3$点$(1,\ 1,\ 7)$，$(2,\ 1,\ 5)$，$(1,\ 2,\ 5)$を通り，$\pi_2$は$3$点$(2,\ 1,\ 5)$，$(2,\ 3,\ 4)$，$(6,\ 0,\ 5)$を通る．

(1)平面$\pi_2$上の点$(x,\ y,\ z)$は関係式$x+[ソ]y+[タ]z-[$4$][チ]=0$を満たす．
(2)$2$平面$\pi_1$，$\pi_2$の交線は点$\mathrm{A}(-2,\ [ツ],\ [テ])$を通る．
(3)$2$平面の交線に垂直で平面$\pi_1$に平行なベクトル$\overrightarrow{a}$は$([ト],\ [ナ],\ -2)$で，$2$平面の交線に垂直で平面$\pi_2$に平行なベクトル$\overrightarrow{b}$は$([$1$][ニ],\ 10,\ -[ヌ])$である．
(4)$\mathrm{O}$を原点とすると，$2$平面$\pi_1$，$\pi_2$に接する半径$15$の球面の中心$\mathrm{P}$が
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} = \overrightarrow{\mathrm{OA}} + s\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b} \quad (s>0,\ t>0) \]
を満たすとき，$\mathrm{P}$の座標は$([$2$][ネ],\ [$1$][ノ],\ -22)$である．

次の各問題の$[　]$に適する答えを記入せよ．

(1)$x^3+ax^2+bx+1$を$x-1$で割ると余りは$4$であり，$2x-1$で割ると余りは$\displaystyle \frac{3}{2}$である．このとき$(a,\ b)=[ア]$である．
(2)$1$の数字が書かれたカード$1$枚，$2$の数字が書かれたカード$2$枚，$3$の数字が書かれたカード$2$枚の計$5$枚のカードを並べてできる$5$けたの数字の中で，$23000$より大きいものは$[イ]$個ある．
(3)関数$\displaystyle y=\sqrt{2} \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)-\sin 2x$の最大値は$[ウ]$である．

$-1 \leqq a \leqq 1$の範囲の実数$a$に対して
\[ f(a)=\int_{-1}^1 x |x-a| \, dx \]
とおく．$k$を実数とし，区間$-1 \leqq x \leqq 1$を定義域とする関数
\[ g(x)=12f(x)+kx \]
を考える．

(1)$-1 \leqq x \leqq 1$の範囲で
\[ 12f(x)=[ハ]x^3-[ヒ]x \]
が成り立つ．
(2)関数$g(x)$が$\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{2}$で最小値をとるとき，$k=[フ]$である．
(3)関数$g(x)$が最小値をとるような$x$の値が$2$つあるとき，$k=[ヘ]$である．このときの$g(x)$の最小値は$[ホ]$である．

数列$\{a_n\}$を初項$1$，公差$\displaystyle \frac{1}{2}$の等差数列，$\{b_n\}$を初項$2$，公比$\displaystyle \frac{1}{2}$の等比数列とし，$\{c_n\}$を$c_1=3$，$c_{n+1}-c_n=n+1$で定まる数列とする．また，$\mathrm{O}$を原点とする座標空間の点$(a_n,\ b_n,\ c_n)$を$\mathrm{P}_n$とする．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\left( \frac{[キ]}{[ク]} (n+[ケ]),\ 2^{[コ]-n},\ \frac{[サ]}{[シ]}(n^2+n+[ス]) \right)$である．

(2)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}=\left( \frac{[セ]}{[ソ]},\ -[タ]^{1-n},\ n+[チ] \right)$である．

(3)$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}|>100$となるような最小の自然数$n$は$[ツテ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)平面上の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 2)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 1)$に対し，線分$\mathrm{BC}$の垂直二等分線は$[ア]x+y+[イ]=0$となる．また，平面上で$\mathrm{PC} \leqq \mathrm{PO}$，$\mathrm{PC} \leqq \mathrm{PA}$，$\mathrm{PC} \leqq \mathrm{PB}$を満たす点$\mathrm{P}$の存在する範囲は$3$点$(0,\ 1)$，$(2,\ [ウ])$，$([エ],\ [オ])$を頂点とする三角形の内部および周であり，この三角形の面積は$[カ]$である．
(2)平面上に$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，点$\mathrm{O}$を定点として，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は次の条件を満たしながら動く．

$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$
$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2=8$

さらに，点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となるようにとるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|$の最大値は$\sqrt{[キ]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)自然数$n$が$n=p^2q$（$p,\ q$は素数，$p \neq q$）の形で表されるとき，$n$の正の約数は$6$個あり，それらの和は
\[ ([ク]+p+p^2)([ケ]+q) \]
と表すことができる．このような$n$で正の約数の和が$2n$となるような数を求める．正の約数の和が$2n$であるから，
\[ 2p^2q=([ク]+p+p^2)([ケ]+q) \]
が成り立つ．$[ク]+p+p^2$は奇数であり，$p$の倍数ではないから，$[ケ]+q$は$2p^2$の倍数となり，
\[ [ケ]+q=2p^2k \quad (k \text{は自然数}) \]
とおける．したがって，
\[ q=([ク]+p+p^2)k \]
となるが，$q$は素数であるから，$k=[コ]$である．よって
\[ p^2-p-[サ]=0 \]
これを解いて，$p=[シ]$である．ゆえに$n=[ス]$である．
(2)条件
\[ a_1=3,\quad a_{n+1}=\frac{3a_n+2}{a_n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定められる数列$\{a_n\}$に対して，$\displaystyle b_n=\frac{a_n-2}{a_n+1}$とおくと，数列$\{b_n\}$は等比数列となり，これより，数列$\{a_n\}$の一般項は
\[ a_n=\frac{[セ] \cdot [ソ]^n+[タ]}{[チ]^n-[ツ]} \]
となる．

$1$辺の長さが$1$（メートル）の正三角形の紙がある．この三角形の$3$頂点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{P}$と辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{Q}$を次のようにとる．

点$\mathrm{Q}$を通るある直線を折り目としてこの紙を折り曲げるときに点$\mathrm{A}$は点$\mathrm{P}$に重なる．

ここで，$\mathrm{BP}=x$（メートル），$\mathrm{PQ}=y$（メートル）とおくとき，
\[ x^2-([テ]-y)x+[ト]-[ナ]y=0 \]
が成り立つ．これを$x$についての方程式とみると，$0 \leqq x \leqq 1$であるから
\[ [ニ]+[ヌ] \sqrt{[ネ]} \leqq y \leqq 1 \]
となる．したがって，$\mathrm{AQ}$が最小となるのは，$y=[ニ]+[ヌ] \sqrt{[ネ]}$のときであり，このとき，$\angle \mathrm{BAP}=[ノ]^\circ$である．ただし，$[ネ]$はできる限り小さい自然数で答えること．

以下の空欄にあてはまる数を入れよ．

(1)$2$次方程式$x^2-2x+3=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2=[1]$，$\displaystyle \frac{\beta^2}{\alpha}+\frac{\alpha^2}{\beta}=[2]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺をそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．$a=3$，$b=4$，$\angle \mathrm{C}=30^\circ$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[3]$である．また，$a=3$，$b=4$，$\angle \mathrm{A}=30^\circ$のとき，$\angle \mathrm{C}>90^\circ$ならば，$c=[4]$である．
(3)不等式$\log_2 (\log_2 (\log_2 x)) \leqq 1$をみたす$x$の値の範囲は，$[5]<x \leqq [6]$である．
(4)関数$y=(x^2+4x+5)(x^2+4x+2)+2x^2+8x+1$は，$x=[7]$のとき最小値$[8]$をとる．
(5)つぼの中に赤玉$5$個，白玉$5$個，青玉$2$個がある．玉を一度に$4$個取り出すとき，その$4$個の玉が$1$種類の色の玉からなる確率は$[9]$であり，$3$種類の色の玉からなる確率は$[10]$である．