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私立 早稲田大学 2010年 第4問$k$は実数の定数とする．実数$x,\ y$に対して，次の条件$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を考える．\\
\quad $\mathrm{P}:x \geqq 0$\quad かつ \quad $y \geqq 0$\\
\quad $\mathrm{Q}:-kx+y \geqq 0$\quad かつ \quad $14x-(k-5)y \geqq 0$\\
このとき，$\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}$の十分条件となるための$k$の範囲は，$k \leqq [コ]$である．また，$\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}$の必要条件となるための$k$の範囲は$[サ] \leqq k \leqq [シ]$である．
\quad $\mathrm{P}:x \geqq 0$\quad かつ \quad $y \geqq 0$\\
\quad $\mathrm{Q}:-kx+y \geqq 0$\quad かつ \quad $14x-(k-5)y \geqq 0$\\
このとき，$\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}$の十分条件となるための$k$の範囲は，$k \leqq [コ]$である．また，$\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}$の必要条件となるための$k$の範囲は$[サ] \leqq k \leqq [シ]$である．
私立 早稲田大学 2010年 第6問放物線$y=3x^2-12x (m \leqq x \leqq m+2)$と$3$直線$y=0$，$x=m$，$x=m+2$で囲まれた$2$つの部分の面積の和を$S$とする．ただし，$m$は定数で$2<m<4$とする．このとき，$S$は$m=[テ]+\sqrt{[ト]}$で最小値$[ナ]+[ニ]\sqrt{[ヌ]}$をとる．ただし，$[ヌ]$はできる限り小さい自然数で答えること．
私立 早稲田大学 2010年 第7問$\alpha=72^\circ$のとき，$\cos 3\alpha - \cos 2\alpha = [ネ]$であり，$\displaystyle \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{[ノ]+\sqrt{[ハ]}}{8}$である．
私立 早稲田大学 2010年 第5問四面体$\mathrm{OABC}$において，線分$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{OB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{BC}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．この四面体を$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面で切り，この平面が線分$\mathrm{AC}$と交わる点を$\mathrm{S}$とするとき，線分の長さの比$\mathrm{AS}:\mathrm{SC}$を求めることを考えよう．\\
点$\mathrm{S}$は$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面上にあるから，定数$s,\ t,\ u$を用いて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OS}} = s \, \overrightarrow{\mathrm{OP}} + t \, \overrightarrow{\mathrm{OQ}} +u \, \overrightarrow{\mathrm{OR}} \quad (s+t+u=1) \]
と書くことができる．ここで，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{[ス]\overrightarrow{\mathrm{OB}}+[セ]\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{[ソ]}$であるから，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$それぞれの定数倍の和として表すことができる．そこで，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の係数をそれぞれ定数$s^{\prime},\ t^{\prime},\ u^{\prime}$とおくことにより
\[ \overrightarrow{\mathrm{OS}} = s^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OA}} + t^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OB}} +u^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OC}} \quad (18s^{\prime}+16t^{\prime}+11u^{\prime}=[タ]) \]
と書くことができる．ところが，点$\mathrm{S}$は線分$\mathrm{AC}$上にあることから，$s^{\prime},\ t^{\prime}\ u^{\prime}$を求めることができ，$\mathrm{AS}:\mathrm{SC}=[チ]:[ツ]$であることがわかる．
ただし，$[ソ]$，$[チ]$，$[ツ]$はできる限り小さい自然数で答えること．
点$\mathrm{S}$は$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面上にあるから，定数$s,\ t,\ u$を用いて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OS}} = s \, \overrightarrow{\mathrm{OP}} + t \, \overrightarrow{\mathrm{OQ}} +u \, \overrightarrow{\mathrm{OR}} \quad (s+t+u=1) \]
と書くことができる．ここで，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{[ス]\overrightarrow{\mathrm{OB}}+[セ]\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{[ソ]}$であるから，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$それぞれの定数倍の和として表すことができる．そこで，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の係数をそれぞれ定数$s^{\prime},\ t^{\prime},\ u^{\prime}$とおくことにより
\[ \overrightarrow{\mathrm{OS}} = s^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OA}} + t^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OB}} +u^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OC}} \quad (18s^{\prime}+16t^{\prime}+11u^{\prime}=[タ]) \]
と書くことができる．ところが，点$\mathrm{S}$は線分$\mathrm{AC}$上にあることから，$s^{\prime},\ t^{\prime}\ u^{\prime}$を求めることができ，$\mathrm{AS}:\mathrm{SC}=[チ]:[ツ]$であることがわかる．
ただし，$[ソ]$，$[チ]$，$[ツ]$はできる限り小さい自然数で答えること．
私立 早稲田大学 2010年 第1問次の[\phantom{ア]}にあてはまる数，数式または文字等を解答用紙の所定欄に記入せよ．
(1)極限
\[ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)} \]
の値は$[ア]$である．
(2)ある囲碁大会で，$5$つの地区から男女が各$1$人ずつ選抜されて，男性$5$人と女性$5$人のそれぞれが異性を相手とする対戦を$1$回行う．その対戦組み合わせを無作為な方法で決めるとき，同じ地区同士の対戦が含まれない組み合わせが起こる確率は$[イ]$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{BQ}$と直線$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表すと$[ウ]$である．
(4)関数
\[ y= \frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1} \]
の逆関数を表す式は$y= [エ]$で，その定義域は$[オ]$である．
(1)極限
\[ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)} \]
の値は$[ア]$である．
(2)ある囲碁大会で，$5$つの地区から男女が各$1$人ずつ選抜されて，男性$5$人と女性$5$人のそれぞれが異性を相手とする対戦を$1$回行う．その対戦組み合わせを無作為な方法で決めるとき，同じ地区同士の対戦が含まれない組み合わせが起こる確率は$[イ]$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{BQ}$と直線$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表すと$[ウ]$である．
(4)関数
\[ y= \frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1} \]
の逆関数を表す式は$y= [エ]$で，その定義域は$[オ]$である．
私立 金沢工業大学 2010年 第2問半径が$1 \; \mathrm{m}$の円形のブリキ板から，中心角が$90^\circ$の扇形の部分を切り落して残りの部分で下図のような円錐形の容器を作る．
（図は省略）
(1)この容器の底面の半径は$\displaystyle r=\frac{[ク]}{[ケ]} \; \mathrm{m}$，深さは$\displaystyle h=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]} \; \mathrm{m}$である．
(2)この容器に，その深さの$\displaystyle \frac{2}{3}$のところまで水を入れるとき，その水の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[シ]}}{[スセ]} \pi \; \mathrm{m}^3$である．
（図は省略）
(1)この容器の底面の半径は$\displaystyle r=\frac{[ク]}{[ケ]} \; \mathrm{m}$，深さは$\displaystyle h=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]} \; \mathrm{m}$である．
(2)この容器に，その深さの$\displaystyle \frac{2}{3}$のところまで水を入れるとき，その水の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[シ]}}{[スセ]} \pi \; \mathrm{m}^3$である．
私立 金沢工業大学 2010年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \log_{10} \frac{8}{\sqrt[3]{5.4 \times 10^{-8}}}=[ア]+\frac{[イ]}{[ウ]} \log_{10}2-\log_{10}3$である．
(2)$0 \leqq x<\pi$のとき，$\sin 2x-\sqrt{3} \cos 2x=1$を満たす$x$の値は
\[ x=\frac{\pi}{[エ]},\quad \frac{[オ]}{[カキ]} \pi \]
である．
(1)$\displaystyle \log_{10} \frac{8}{\sqrt[3]{5.4 \times 10^{-8}}}=[ア]+\frac{[イ]}{[ウ]} \log_{10}2-\log_{10}3$である．
(2)$0 \leqq x<\pi$のとき，$\sin 2x-\sqrt{3} \cos 2x=1$を満たす$x$の値は
\[ x=\frac{\pi}{[エ]},\quad \frac{[オ]}{[カキ]} \pi \]
である．
私立 金沢工業大学 2010年 第4問$\mathrm{O}$を原点とする座標平面に点$\mathrm{A}(4,\ 6)$，$\mathrm{B}(6,\ -4)$がある．直線$y=x$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{P}$，点$\mathrm{B}$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{Q}$とする．
(1)点$\mathrm{P}$の座標は$([ク],\ [ケ])$である．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標は$([コ],\ [サシス])$である．
(3)$\triangle \mathrm{PAB}$の面積は$[セ]$である．
(4)$\triangle \mathrm{PAQ}$の面積は$[ソタ]$である．
(1)点$\mathrm{P}$の座標は$([ク],\ [ケ])$である．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標は$([コ],\ [サシス])$である．
(3)$\triangle \mathrm{PAB}$の面積は$[セ]$である．
(4)$\triangle \mathrm{PAQ}$の面積は$[ソタ]$である．
私立 金沢工業大学 2010年 第5問放物線$y=x^2-5x$に直線$y=x+a$が接しているとする．ただし，$a$は定数とする．
(1)$a=[アイ]$であり，接点の座標は$([ウ],\ [エオ])$である．
(2)この放物線と直線，および$y$軸で囲まれた図形の面積は$[カ]$である．
(1)$a=[アイ]$であり，接点の座標は$([ウ],\ [エオ])$である．
(2)この放物線と直線，および$y$軸で囲まれた図形の面積は$[カ]$である．
私立 関西大学 2010年 第1問$b,\ c$を実数とし，$2$次方程式$x^2+bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．次の$[ ]$をうめよ．
(1)$\alpha=\cos \theta$，$\beta=\sin \theta$となる$0 \leqq \theta<2\pi$が存在すれば，$b$と$c$は等式$[$1$]$を満たす．
(2)$\alpha=3 \cos \theta$，$\beta=\sin \theta$となる$0 \leqq \theta<2\pi$が存在するという条件のもとで，$b$のとりうる最大の値は$[$2$]$であり，このとき$\alpha=[$3$]$，$\beta=[$4$]$である．また，同じ条件のもとで$c$のとりうる最大の値は$[$5$]$であり，このとき$\theta=[$6$]$，$[$7$]$である．ただし，$[$6$]<[$7$]$とする．
(1)$\alpha=\cos \theta$，$\beta=\sin \theta$となる$0 \leqq \theta<2\pi$が存在すれば，$b$と$c$は等式$[$1$]$を満たす．
(2)$\alpha=3 \cos \theta$，$\beta=\sin \theta$となる$0 \leqq \theta<2\pi$が存在するという条件のもとで，$b$のとりうる最大の値は$[$2$]$であり，このとき$\alpha=[$3$]$，$\beta=[$4$]$である．また，同じ条件のもとで$c$のとりうる最大の値は$[$5$]$であり，このとき$\theta=[$6$]$，$[$7$]$である．ただし，$[$6$]<[$7$]$とする．