次の空欄$[サ]$から$[ト]$にあてはまる数や式を書きなさい．

$x$-$y$平面上の$3$点$\mathrm{P}(-1,\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ 1)$，$\mathrm{R}(2,\ 0)$を通る$2$次曲線$C$を考える．$C$が方程式
\[ y=ax^2+bx+c \quad (a,\ b,\ c \text{は定数}) \]
で与えられるとすると，$C$は点$\mathrm{Q}$を通るから$c=[サ]$である．また$C$は点$\mathrm{P}$を通るから$[シ]=0$であり，点$\mathrm{R}$を通るから$[ス]=0$である．これより，$a=[セ]$，$b=[ソ]$となる．
この$2$次曲線$C$の頂点の座標は$\displaystyle \left( [タ],\ [チ] \right)$である．また，第$1$象限において$C$と$x$軸と$y$軸が囲む面積$S$は，
\[ S=\int_{[テ]}^{[ツ]} (ax^2+bx+c) \, dx \]
で与えられるから，$S=[ト]$となる．

以下の問いに答えよ．

(1)関数
\[ f(x)=x \sin^2 x \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
の最大値を与える$x$を$\alpha$とするとき，$f(\alpha)$を$\alpha$の分数式で表すと$[$1$]$となる．
(2)多項式
\[ a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2 \]
を因数分解すると$[$2$]$となる．
(3)$N$を与えられた自然数とし，$f(x)$および$g(x)$を区間$(-\infty,\ \infty)$で$N$回以上微分可能な関数とする．$f(x)$と$g(x)$から定まる関数を次のように定義する．$t$を与えられた実数として，
\[ \begin{array}{lll}
(f *_t g)(x) &=& \sum_{k=0}^N \displaystyle\frac{t^k}{2^k k!} f^{(k)}(x)g^{(k)}(x) \\
&=& \displaystyle f(x)g(x)+\frac{t}{2}f^\prime(x)g^\prime(x)+\cdots +\frac{t^N}{2^N N!} f^{(N)}(x)g^{(N)}(x)
\end{array} \]
とおく．ここに，$f^{(k)}(x)$は$f(x)$の第$k$次導関数である（$g^{(k)}(x)$も同様である）．$a$を実数，$n$を$N$以下の自然数とする．$f(x)=e^{2ax}$，$g(x)=x^n$にたいし，二項定理を用いて$(f *_t g)(x)$を計算すると$[$3$]$となる．
(4)関係式
\[ f(x)+\int_0^x f(t)e^{x-t} \, dt=\sin x \]
をみたす微分可能な関数$f(x)$を考える．$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めると，$f^\prime(x)=[$4$]$となる．$f(0)=[$5$]$であるから$f(x)=[$6$]$となる．

以下の問いに答えよ．

(1)次の文章の[ア]，[イ]，[ウ]を適当な整数で埋めよ．

$2^{10}=[ア]$より$10^{[イ]}<2^{10}<10^{[イ]+1}$であるから，$\displaystyle \frac{[ウ]}{10}<\log_{10}2<\frac{[ウ]+1}{10}$が成り立つ．

(2)$2^{13}$を計算し$2^{13}<10^4$であることを確かめよ．さらに$\log_{10}2<0.308$を示せ．
(3)$2^4 \times 3^8$を計算し$2^4 \times 3^8>10^5$であることを確かめよ．これと(2)を使って$\log_{10}3>0.471$を示せ．
(4)$3^9$を計算し$3^9<2 \times 10^4$であることを確かめよ．さらに，$\log_{10}3<0.479$を示せ．
(5)$3^{100}$は何桁の数であるか．

次の[　]の中を適当に補いなさい．

(1)不等式$4 \log_{\frac{1}{4}}(x-4)+\log_2(x-2)>0$を解くと[　]．
(2)下図において，地点Aから地点Bへの最短経路の総数は[　]．
\setlength\unitlength{1truecm}

（図は省略）

(3)$2010!=2^nm \ (m \text{は奇数})$のとき，自然数$n$を求めると$n=[　]$．

次の[　]の中を適当に補いなさい．

(1)$4 \cos 15^\circ(1-\sin^2 15^\circ-\sin 15^\circ)-3(\sin 15^\circ+1) \cos 15^\circ=[　]$．
(2)100人の学生を対象に100点満点の試験を行った結果，平均点が75点，最高点が95点，最低点が25点であった．平均点以上の学生数を$M$とし，$M$の最小値を求めると[　]．ただし，点数は全て自然数とする．
(3)関数$y=x^3-3x$のグラフに，直線$y=-1$上のある点から傾きがそれぞれ$k,\ -k \ (k>0)$の2本の接線が引けるとき，その2本の接線の接点の$x$座標を$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする．このとき，$A=\alpha^2+\beta^2,\ B=\alpha^3+\beta^3$の値を計算すると$(A,\ B)=[　]$．

$x$-$y$平面上の$3$点を
\[ \mathrm{A}(0,\ 9),\quad \mathrm{B}(-3,\ 0),\quad \mathrm{C}(2,\ 0) \]
とし，原点を$\mathrm{O}$とする．このとき，次の各問に答えよ．空欄にあてはまる最もかんたんな数値を解答欄に記入せよ．

(1)$\mathrm{AC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，$\mathrm{BD}$が$y$軸と交わる点を$\mathrm{E}$とするとき，$\mathrm{OE}:\mathrm{EA}=[　]:[　]$である．
(2)$\mathrm{CE}$を延長して，$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{F}$とするとき，$\triangle \mathrm{AFC}$の面積は，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の$\displaystyle\frac{[　]}{[　]}$である．

$[ア]$～$[オ]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)整数$a,\ b$が$2a+3b=42$を満たすとき，$ab$の最大値は$[ア]$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=1$，$\mathrm{CA}=\sqrt{2}$とし，$\angle \mathrm{A}=\alpha$，$\angle \mathrm{B}=\beta$とする．正の整数$m,\ n$が$m\alpha + n\beta = \pi$を満たすとき，$m=[イ]$，$n=[ウ]$である．
(3)数列$\{a_n\}$は次の$3$つの条件を満たしている．

(i) $\{a_n\}$は等差数列で，その公差は$0$ではない．
(ii) $a_1=1$
(iii) 数列$a_3,\ a_6,\ a_{10}$は等比数列になっている．

このとき数列$\{a_n\}$の第$2010$項までの和$\displaystyle \sum_{n=1}^{2010}a_n$の値は$[エ]$である．
(4)四面体$\mathrm{ABCD}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DA}=1$を満たす．このような四面体の体積のとり得る最大値は$[オ]$である．

次の各問に答えよ．

(1)異なる$3$個のサイコロを同時に投げたとき，目の和が$5$の倍数になる場合は$[ア]$通りである．
(2)数列$\{a_n\}$は，初項が$2$，公差が$5$の等差数列であり，数列$\{b_n\}$は，初項が$1$，公比が$3$の等比数列である．このとき
\[ a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = \frac{[イ]+([ウ]n+[エ])3^n}{[オ]} \]
である．ただし，$[オ]$はできる限り小さい自然数で答えること．

方程式$3^{2-\log_2 x}+26\cdot 3^{-\log_4 x}-3 = 0$を解くと，$x=$[カ]となる．

係数$a,\ b$が整数である$3$次方程式$x^3+ax^2+bx+1=0$が$2$つの虚数解と$1$つの整数解をもつ．これを満たす整数の組$(a,\ b)$は$[キ]$組あり，そのうち$a$の値が最大となる組は$(a, \ b)=([ク],\ [ケ])$である．