曲線$y=x^3-x+3$上の$x=1$の点における接線の方程式を$y=ax+b$とすると，$a=[　]$，$b=[　]$である．

$2$つの放物線$y=-(x+1)^2+4$と$y=(x-1)^2$の交点の$x$座標は$x=[　]$である．また，これら$2$つの放物線で囲まれた部分の面積は$[　]$である．

第$5$項が$101$，第$10$項が$76$である等差数列がある．この数列の初項は$[　]$であり，初項から第$n$項までの和を最大にする$n$の値は$[　]$である．

ベクトル$\overrightarrow{a}=(4,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 3)$，$\overrightarrow{c}=(-10,\ 9)$に対し
\[ \overrightarrow{c}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b} \]
となる実数$s,\ t$の値は$s=[　]$，$t=[　]$である．

三角形$\mathrm{ABC}$があり，点$\mathrm{P}$は，$3 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+4 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=2 \overrightarrow{\mathrm{PA}}$を満たしている．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$は
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[ア]}{[イ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[ウ]}{[エ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
であり，線分$\mathrm{BC}$と線分$\mathrm{AP}$との交点を$\mathrm{D}$とすると，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[オ]}{[カ]} \overrightarrow{\mathrm{AD}}$である．
(2)三角形$\mathrm{ABD}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{CPD}$の面積を$S_2$とすると，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}=\frac{[キ]}{[クケ]}$である．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AD}$が$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線で，$\angle \mathrm{BAC}=60^\circ$とすると
\[ |\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=\frac{[コ]}{[サ]} |\overrightarrow{\mathrm{AB}}| \]
であり
\[ |\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=\frac{[シ] \sqrt{[ス]}}{[セ]} |\overrightarrow{\mathrm{AB}}| \]
となる．

$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2-6x+12,\quad C_2:y=x^2+6x+8 \]
の頂点同士を結ぶ直線を$\ell$とする．

(1)$C_1$の頂点の座標は$([ア],\ [イ])$であり，$C_2$の頂点の座標は$(-[ウ],\ -[エ])$である．
(2)$\ell$の方程式は$\displaystyle y=\frac{[オ]}{[カ]}x+[キ]$となる．
(3)$C_1$と$\ell$との交点の$x$座標は$[ク]$，$\displaystyle \frac{[ケコ]}{[サ]}$，$C_2$と$\ell$との交点の$x$座標は$-[シ]$，$\displaystyle -\frac{[ス]}{[セ]}$である．$C_1$と$\ell$とで囲まれた部分の面積と，$C_2$と$\ell$とで囲まれた部分の面積との和は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タチ]}$となる．

三角形$\mathrm{ABC}$があり，各辺の長さは$\mathrm{BC}=2 \sqrt{13}$，$\mathrm{CA}=2 \sqrt{10}$，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{5}$である．このとき，

(1)$\displaystyle \cos A=\frac{\sqrt{[　]}}{10}$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[　]$である．
(3)頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線を引き，この垂線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とすれば，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[　] \sqrt{65}}{65}$である．
(4)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{E}$とすれば，線分$\mathrm{AE}$の長さは$\sqrt{[　]}$である．
(5)$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，線分$\mathrm{CF}$の長さは$4 \sqrt{13}-2 \sqrt{[　]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{3}} \div \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{2}} \times {2}^{\frac{5}{6}}=[　]$
(2)$(\log_2 27+5 \log_2 3) \cdot \log_3 2=[　]$
(3)$16<{4}^{x-1}<8 \cdot {2}^x$を満たす$x$の範囲は$[　]<x<[　]$である．
(4)$\log_{\frac{1}{3}}(x-2)+3>0$を満たす$x$の範囲は$2<x<[　]$である．

$2$つの放物線$y=x^2-4x+2$と$y=-x^2+6x-6$がある．

(1)これらの放物線の交点の座標は$([　],\ -1)$と$([　],\ [　])$である．
(2)これらの放物線によって囲まれた図形の面積$S_1$は$S_1=[　]$である．
(3)$x \geqq 0$の範囲で，これらの放物線と$y$軸によって囲まれた図形の面積$S_2$は$\displaystyle S_2=\frac{[　]}{3}$である．

関数
\[ y=f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
-x^2-12x & (x<0) \\
3x^2-12x+a & (0 \leqq x)
\end{array} \right. \]
を考える．関数$y=f(x)$の区間$0 \leqq x \leqq 6$における最小値が$-12$であるという．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$a$の値は$[ア]$である．
(2)$f(x)=0$となる$x$の値を小さい方から並べると$x=[イウエ],\ [オ],\ [カ]$である．
(3)曲線$y=f(x)$の点$\mathrm{P}(k,\ -k^2-12k)$（$k<0$とする）における接線$\ell$が点$(-1,\ 15)$を通るという．このとき，$k$の値は$[キク]$である．
(4)接線$\ell$と曲線$y=f(x)$の共有点は点$\mathrm{P}$と$([ケ],\ [コサ])$で，接線$\ell$と曲線$y=f(x)$で囲まれる部分の面積は$[シス]$である．