$1$辺の長さが$2$である正四面体の$1$つの面の面積は$[　]$であり，体積は$[　]$である．

円$\mathrm{O}$と$2$直線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}$が図のように$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で接している．$\angle \mathrm{ACB}={48}^\circ$であるとき，
（図は省略）
\[ \angle \mathrm{OAB}=[　],\ \angle \mathrm{CBD}=[　] \]
である．ただし，$\mathrm{D}$は直線$\mathrm{AO}$と円$\mathrm{O}$との交点とする．

次の$[　]$を適当に補え．

(1)連続する$4$つの自然数を小さい順に$a,\ b,\ c,\ d$とする．$\displaystyle \frac{ac}{bd}=\frac{5}{8}$のとき，$a=[　]$である．
(2)袋の中に$0$と書かれたカードが$1$枚，$1$と書かれたカードが$2$枚，$2$と書かれたカードが$3$枚，合わせて$6$枚のカードが入っている．この袋から$1$枚ずつ$4$枚のカードを取り出し，取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき，$2011$となる確率は$[　]$である．また，$1$枚カードを取り出し，カードを袋に戻すことを$4$回くり返した場合，取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき，$2011$となる確率は$[　]$である．
(3)数列$\{a_n\}$は関係式$a_1=1$，$\displaystyle 2^{a_{n+1}}=\frac{4^{a_n}}{\sqrt{2}} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたすとする．このとき，$a_3=[　]$であり，$a_n=[　]$である．
(4)$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$において，$\tan \theta=-2$のとき，$\cos^2 \theta=[　]$，$\displaystyle \sin \left( 2\theta+\frac{\pi}{4} \right)=[　]$である．
(5)$2$次方程式$x^2-kx+9=0$が実数解をもつような実数$k$の範囲は$[　]$である．このとき，その実数解を$\alpha,\ \beta$とすると，$(\alpha+1)^2+(\beta+1)^2$の最小値は$[　]$である．
(6)整式$x^3+3x$を$x^2+1$で割った商は$[　]$であり，余りは$[　]$である．また，$\displaystyle \int_0^2 \frac{x^3+3x}{x^2+1} \, dx=[　]$である．

次の$[　]$を適当に補え．

(1)$2$つの自然数$x,\ y (x<y)$の積が$588$で，最大公約数が$7$であるとき，この$2$つの自然数の組$(x,\ y)$は$(x,\ y)=[　]$である．
(2)$xy$平面において，$2$次関数$y=f(x)$のグラフが点$(2,\ 5)$を頂点とし，点$(-1,\ -4)$を通る放物線であるとき，$f(x)=[　]$である．また，このグラフを$x$軸方向に$[　]$，$y$軸方向に$[　]$だけ平行移動すれば$y=-x^2+10x-21$のグラフになる．
(3)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{DA}=3$のとき，$\mathrm{BD}=[　]$，$\mathrm{CD}=[　]$である．
(4)全体集合$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10\}$の部分集合$A=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 8,\ 9\}$，$B=\{2,\ 4,\ m\}$（$m$は$2,\ 4$以外の$U$の要素）に対して，$A \cap B=\{2,\ 4\}$となるのは$m=[　]$のときであり，$\overline{A \cup B}=\{6,\ 7,\ 10\}$となるのは$m=[　]$のときである．ただし，$\overline{A \cup B}$は$U$における$A \cup B$の補集合である．
(5)$\displaystyle \left( x-\frac{1}{2x^2} \right)^{12}$の展開式において，$x^3$の係数は$[　]$であり，定数項は$[　]$である．

次の値を求めよ．

(1)$\sqrt{8} \div \sqrt[3]{16} \times \sqrt[6]{32}=[　]$
(2)$\displaystyle 2 \log_{10} \frac{1}{5}+\log_{10} 3-\log_{10} 12=[　]$

$\log_23$を$p$とおくと，$2^p=[　]$である．これを利用して$4^{-\log_23}$の値を求めると，$[　]$となる．

$3$点$\mathrm{A}(0,\ 0)$，$\mathrm{B}(6,\ 0)$，$\mathrm{C}(7,\ 1)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の重心は$[　]$であり，$3$点を通る円の中心は$[　]$である．

$2$次方程式$3x^2-x-4=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$2 \alpha+1$と$2 \beta+1$を解とする$2$次方程式を$3x^2+ax+b=0$とすると，$a=[　]$，$b=[　]$である．

$a,\ b$を定数とする．等式
\[ \frac{x+1}{(2x-1)(4x+1)}=\frac{a}{2x-1}+\frac{b}{4x+1} \]
が$x$についての恒等式になるとき，$a=[　]$，$b=[　]$である．

第$2$象限の角$\theta$が$\displaystyle \sin \theta=\frac{\sqrt{5}}{3}$を満たしている．このとき$\cos \theta=[　]$，$\cos 2\theta=[　]$である．