空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)円$x^2+y^2=30$上の点$\mathrm{P}(5,\ \sqrt{5})$における接線の方程式は$[$1$]$である．
(2)$\displaystyle \frac{5x+3}{x^2+7x-18}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+9}$が$x$についての恒等式であるとき，$a=[$2$]$，$b=[$3$]$である．
(3)$\displaystyle \sin (\alpha+\beta)=\frac{3}{4},\ \sin (\alpha-\beta)=\frac{1}{4}$であるとき，$\sin \alpha \cos \beta$の値は$[$4$]$，$\cos \alpha \sin \beta$の値は$[$5$]$，$\sin^2 \alpha+\cos^2 \beta$の値は$[$6$]$である．
(4)$7$人が円形のテーブルに着席する方法は$[$7$]$通りある．
(5)さいころ$3$個を同時に投げるとき，そのうち同じ目が出るさいころが$2$個だけである確率は，$[$8$]$である．また，さいころ$4$個を同時に投げるとき，少なくとも$2$個のさいころが同じ目である確率は，$[$9$]$である．
(6)連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt{x}+2 \log_{10}y=3 \\
x-3 \log_{10}y^2=1 \phantom{e^{[　]}}
\end{array} \right. \]
を満たす$x,\ y$の値は$x=[$10$]$，$y=[$11$]$である．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)不等式$2x-5 \leqq -x+10$の解は$[$1$]$である．
(2)整式$f(x)$を$x+2$で割ると余りは$-3$，$x-3$で割ると余りは$1$，$x+4$で割ると余りは$2$である．このとき，整式$f(x)$を$(x+2)(x-3)$で割ると余りは$[$2$]$，$(x-3)(x+4)$で割ると余りは$[$3$]$である．
(3)$2$次不等式$\displaystyle x^2+3x-\frac{3}{4} \leqq 1$の解は$[$4$]$であり，連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+3x-\displaystyle \frac{3}{4} \leqq 1 \\
-x^2+4>0 \phantom{\displaystyle \Biggl( \frac{1}{2} \Biggr)}
\end{array} \right. \]
の解は$[$5$]$である．
(4)放物線$y=-x^2+2x+1$を$C$とし，$C$上の点$\mathrm{P}(2,\ 1)$における接線を$\ell$とすると，直線$\ell$の方程式は$[$6$]$である．また，直線$\ell$と放物線$C$および$y$軸で囲まれた図形の面積は$[$7$]$である．
(5)$16$本のくじの中に，当たりくじが$4$本ある．このくじを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がこの順に，$1$本ずつ$1$回だけ引き，引いたくじはもとに戻さないものとするとき，$\mathrm{A}$の当たる確率は$[$8$]$となり，$\mathrm{B}$の当たる確率は$[$9$]$となる．
(6)$x$についての不等式$\log_a(3x^2-x-2)>\log_a(x^2+5x-6)$の解は，$a>1$のとき$[$10$]$であり，$0<a<1$のとき$[$11$]$である．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x-2>0 \\
2x-6 \leqq 0
\end{array} \right. \]
の解は$[$1$]$である．
(2)$x^3-4x^2+5x+2$を$x-4$で割った余りは$[$2$]$である．
(3)$f(x)=x^2+ax+b,\ g(x)=x^2+2ax+b$とする．放物線$y=g(x)$の頂点の座標が$\displaystyle \left( \frac{8}{3},\ \frac{26}{9} \right)$であるとき，$a=[$3$]$，$b=[$4$]$である．また，$2$つの放物線$y=f(x)$，$y=g(x)$および直線$x=\sqrt{3}$で囲まれた図形の面積は$[$5$]$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\displaystyle \angle \mathrm{B}=\frac{\pi}{12}$，$\mathrm{BC}=1$，$\mathrm{AB}=2$のとき，$\mathrm{AC}^2=[$6$]$，$\sin^2 A=[$7$]$である．
(5)$2$次方程式$3x^2+2x+15=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2+\beta^2=[$8$]$，$\displaystyle \frac{\alpha+i \beta}{\alpha-i \beta}-\frac{\alpha-i \beta}{\alpha+i \beta}=[$9$]$である．
(6)$1$から$15$までの異なる$15$個の自然数の中から，$4$個の異なる数をとって組を作る．このとき，偶数だけからなる組は$[$10$]$通りあり，偶数を少なくとも$1$個含む組は$[$11$]$通りある．

$f(x)=|x^2-2x-3|+|2x+3|$とする．次の条件のとき$f(x)$を簡単にしなさい．

(1)$\displaystyle x<-\frac{3}{2}$のとき，$f(x)=[　]$
(2)$\displaystyle -\frac{3}{2} \leqq x<-1$のとき，$f(x)=[　]$
(3)$-1 \leqq x<3$のとき，$f(x)=[　]$
(4)$3 \leqq x$のとき，$f(x)=[　]$

$k$を定数とする．方程式$x^2-|x|-6=k$を満足する実数$x$がちょうど$3$個あるのは$k=[　]$のときであり，この方程式を満足する実数$x$が存在しないのは$k$の範囲が$[　]$のときである．

ある動物の染色体$10$種類の中から無作為に$1$つ選ぶ作業を$5$回行った．ただし何度この作業を行っても，これら$10$種類の染色体の選び易さは常に同様であるものとする．

(1)$5$回ともすべて異なる種類の染色体を選ぶ確率は$[　]$である．
(2)$5$回中ある$1$種類の染色体が$3$回，それと異なるもう$1$種類の染色体が$2$回それぞれ選ばれる確率は$[　]$である．

次の$[　]$にあてはまる数字または符号を記入せよ．

(1)$\displaystyle -2<\log_8 x<\frac{5}{3}$を満たす$x$は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}<x<[　]$である．
(2)$x^3+ax^2+x+b=0$が$1$と$-2$を解にもつとき，もう$1$つの解は$[　]$である．
(3)$7$個の数字$1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4$を$1$列に並べる．このとき，偶数番目がすべて奇数になるような並べ方は$[　]$通りある．
(4)$2$点$(2,\ 0,\ 1)$，$(1,\ 1,\ 2)$を通る直線がある．原点$\mathrm{O}$からこの直線に下ろした垂線の足を$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]} \right)$であり，原点から点$\mathrm{A}$までの距離は$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)$y=3 \cos x$のグラフ上の$1$点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{6},\ \frac{3 \sqrt{3}}{2} \right)$における接線に平行な単位ベクトルを$\overrightarrow{a}=(a_1,\ a_2)$，垂直な単位ベクトルを$\overrightarrow{b}=(b_1,\ b_2)$とすると，$(a_1,\ a_2)=[　]$，$(b_1,\ b_2)=[　]$である．
(2)$a_1>0$，$\sqrt{13}(a_1,\ a_2)=(A_1,\ A_2)$とおくとき，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
A_1+2 & A_2-2 \\
A_1 & A_2
\end{array} \right)$に対し，連立方程式$A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=m \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$が$(x,\ y)=(0,\ 0)$以外の解をもつとき，定数$m$の値は$[　]$である．次に行列$A$で表される$1$次変換によって，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$に移り，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$が同じ向きになったという．ただし点$\mathrm{O}(0,\ 0)$であり，$x \neq 0$とする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k \overrightarrow{\mathrm{OP}}$となる定数$k$の値は$[　]$である．さらにこのとき直線$\mathrm{PQ}$の方程式は$y=[　]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle m(x)=\frac{m_0}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{x}{c^2}}}$とする．ただし$m_0,\ c$は正の定数である．また$c^2$より十分小さい正の定数$\varepsilon$に対して$0<x<\varepsilon$とする．

(i) $m^\prime(x)=[　]$である．
(ii) $m(x)-m_0$を平均値の定理を用いて表すと$[$*$]$である．ただし$*$を書き表わす際，新たに必要となる実数があれば$k$を用い，$k$が満たすべき条件も明記せよ．
(iii) $\varepsilon \to 0$とすると$*$の値は$[　]$に近づく．

(2)$a,\ b$を正の実数とするとき，積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{\{ax+b(1-x)\}^2} \, dx$の値は$[　]$である．またこの値を$a$について微分すると，$[　]$となる．

次の各設問に答えよ．

(1)$\sqrt{10}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とすると，$b^2+2ab$の値は$[ア]$である．
(2)方程式$x^2-4x-8=4 |x-2|$を解くと，$x$の値は$[イ]$と$[ウエ]$である．
(3)$x=\log_{5}50+\log_{25}400-3$のとき，$\sqrt[3]{5^x}=[オ]$である．
(4)袋の中に赤玉$5$個と白玉$5$個が入っている．この袋の中から同時に玉を$3$個取り出すとき，赤玉$2$個，白玉$1$個が取り出される確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キク]}$である．