実数$k$に対し，円$C:x^2+y^2+(k-1)x-ky-1=0$を考える．

(1)円$C$の半径が最も小さくなるのは$\displaystyle k=\frac{[キ]}{[ク]}$のときであり，その半径は$\displaystyle \frac{[ケ] \sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．
(2)円$C$の中心の軌跡は
\[ [シ]x+[ス]y+1=0 \]
である．
(3)任意の実数$k$に対し，円$C$は必ず
\[ \left( \frac{[セ]}{[ソ]},\ \frac{[タ]}{[チ]} \right),\quad \left( [ツ],\ [テ] \right) \]
を通る．ただし$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}<[ツ]$である．
$k=3$のとき，この$2$点における円の接線の交点は
\[ \left( \frac{[ト]}{[ナ]},\ \frac{[ニ]}{[ヌ]} \right) \]
である．

以下の問で，各人はじゃんけんでグー，チョキ，パーをそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で出すものとする．

(1)$3$人でじゃんけんを$1$回するとき，$1$人が勝ち$2$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[ネ]}{[ノ]}$，あいこになる確率は$\displaystyle \frac{[ハ]}{[ヒ]}$である．
(2)$3$人でじゃんけんをする．負けた人がいれば，じゃんけんから抜け，$1$人の勝者が決まるか，じゃんけんの回数が$3$回になるまで繰り返す．じゃんけんの回数が$2$回以内で$1$人の勝者が決まる確率は$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}$，ちょうど$3$回で$1$人の勝者が決まる確率は$\displaystyle \frac{[ホ]}{[マ]}$である．
(3)$4$人でじゃんけんを$1$回するとき，$1$人が勝ち$3$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[ミ]}{[ム]}$，$2$人が勝ち$2$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[メ]}{[モ]}$，あいこになる確率は$\displaystyle \frac{[ヤ]}{[ユ]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{X}$大学には$5$つの学部があり，全ての学部で入学試験を行っている．次の$7$つの命題$(\mathrm{A})$～$(\mathrm{G})$の中で，お互いに否定命題となっている全ての組を以下の選択肢から選べ．もし，否定命題となっている組で選択肢にないものが存在するときは，$z$もマークせよ．

$(\mathrm{A})$ $\mathrm{X}$大学のある学部の入学試験科目には，数学がある．
$(\mathrm{B})$ $\mathrm{X}$大学の学部の中で，入学試験科目に数学があるのはただ一つである．
$(\mathrm{C})$ $\mathrm{X}$大学の全ての学部の入学試験科目には，数学がある．
$(\mathrm{D})$ $\mathrm{X}$大学には，入学試験科目に数学がない学部がある．
$(\mathrm{E})$ $\mathrm{X}$大学の全ての学部の入学試験科目には，数学がない．
$(\mathrm{F})$ $\mathrm{X}$大学の学部の中で，入学試験科目に数学がないのはただ一つである．
$(\mathrm{G})$ $\mathrm{X}$大学には，入学試験科目に数学がある学部とない学部の両方がある．

選択肢：
\[ \begin{array}{rlp{1mm}rlp{1mm}rlp{1mm}rl}
1. & (\mathrm{A}) \text{と} (\mathrm{C}) & & 2. & (\mathrm{A}) \text{と} (\mathrm{D}) & & 3. & (\mathrm{A}) \text{と} (\mathrm{E}) & & 4. & (\mathrm{A}) \text{と} (\mathrm{G}) \\
5. & (\mathrm{B}) \text{と} (\mathrm{F}) & & 6. & (\mathrm{B}) \text{と} (\mathrm{G}) & & 7. & (\mathrm{C}) \text{と} (\mathrm{D}) & & 8. & (\mathrm{C}) \text{と} (\mathrm{E}) \\
9. & (\mathrm{C}) \text{と} (\mathrm{G}) & & 10. & (\mathrm{D}) \text{と} (\mathrm{E}) & & 11. & (\mathrm{D}) \text{と} (\mathrm{G}) & & 12. & (\mathrm{E}) \text{と} (\mathrm{F})
\end{array} \]
(2)$f(0)=1$，$g(0)=2$を満たす$2$つの整式$f(x)$，$g(x)$に対して$p(x)=f(x)+g(x)$，$q(x)=f(x)g(x)$とおく．$\displaystyle \frac{d}{dx}p(x)=3$，$\displaystyle \frac{d}{dx}q(x)=4x+k$であるとき，$k=[ア]$または$[イ]$である．ただし$[ア]<[イ]$である．
(3)方程式$4^{x+1}+3 \cdot 2^x-1=0$の解は$x=[ウ]$である．

座標平面において，円$A$
\[ A:(x-4)^2+(y+1)^2=9 \]
および放物線$B$
\[ B:y=\frac{1}{4}x^2+1 \]
を考える．

(1)$m$を実数とすると，直線$\ell:y=mx+m-1$は$m$の値によらずに点$([エ],\ [オ])$を通る．
(2)$\ell$と円$A$との共有点の個数を$n_a$，$\ell$と放物線$B$との共有点の個数を$n_b$とする．$n_a+n_b=2$となるのは，$m<[カ]$または$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}<m<\frac{[ケ]}{[コ]}$または$[サ]<m$のときである．
(3)$m=[カ]$のとき$\ell$と$B$とのただ一つの共有点は$\mathrm{P}([シ],\ [ス])$であり，$m=[サ]$のとき$\ell$と$B$とのただ一つの共有点は$\mathrm{Q}([セ],\ [ソ])$である．
(4)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線の方程式は$\displaystyle y=\frac{[タ]}{[チ]}x+[ツ]$であり，直線$\mathrm{PQ}$と放物線$B$とで囲まれた図形の面積は$[テ]$である．

次の空欄ア～ソに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$x$が$0<x<1$と$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=3$を満たすとき，$x^3$の値は$[ア]$である．
(2)不等式$\displaystyle \log_5 \left( \frac{x+1}{2} \right)+\log_5(x-4)<2$の解は$[イ]<x<[ウ]$である．
(3)$\sqrt{3} \sin \theta-\cos \theta>1 (-\pi<\theta<\pi)$を満たす$\theta$の範囲は，$[エ]<\theta<[オ]$である．
(4)$3$次方程式$x^3+3x^2-24x-a=0$が，異なる$3$つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲は，$[カ]<a<[キ]$である．
(5)積分$\displaystyle \int_{-3}^3 |x^2-1| \, dx$の値は$[ク]$である．
(6)$2$次不等式$ax^2-4x+b<0$の解が$-3<x<5$であるとき，定数$a$は$[ケ]$であり，定数$b$は$[コ]$である．
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ -1,\ 1)$と$\overrightarrow{b}=(x-2,\ -x,\ 4)$のなす角が$30^\circ$のとき，$x$の値は$[サ]$である．
(8)点$(x,\ y)$が直線$2x+3y=4$の上を動くとする．$4^x+8^y$が最小値をとるとき，$x,\ y$の値は$x=[シ]$，$y=[ス]$である．
(9)三角形$\mathrm{ABC}$の$\mathrm{A}$における角度は$45^\circ$，$\mathrm{C}$における角度は$75^\circ$，辺$\mathrm{AC}$の長さが$6$であるとき，辺$\mathrm{BC}$の長さは$[セ]$である．
\mon $0,\ 1,\ 2,\ 3$の数字から選んで$4$桁の自然数を作るとき，同じ数字を何回用いてもよいとすると，$2$の倍数でない自然数は$[ソ]$個できる．

次の空欄ア～セに当てはまる数を記入せよ．

(1)$(x+1)^5$の$x^3$の係数は$[ア]$である．
(2)中心を$\mathrm{O}$とする円の円周上に異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\mathrm{AB}=3$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$の内積は，$[イ]$である．
(3)$y=x^2+px+q (pq \neq 0)$のグラフが点$(1,\ 1)$を通り，$x$軸に接するとき，$p=[ウ]$，$q=[エ]$である．
(4)$120$人の学生の通学手段について調査したところ，電車を利用する学生が$83$人，バスを利用する学生が$48$人，電車もバスも利用しない学生が$28$人であった．電車とバスの両方を利用する学生は$[オ]$人である．
(5)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$の$6$枚のカードをよくきって，$6$枚を$1$列に並べるとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が隣り合う確率は$[カ]$である．
(6)$2$次方程式$x^2-4x-2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．$\displaystyle \frac{\alpha^2}{\beta}$と$\displaystyle \frac{\beta^2}{\alpha}$を解とする$2$次方程式を$x^2+px+q=0$とするとき，$p=[キ]$，$q=[ク]$である．
(7)方程式$\log_2 \sqrt[3]{x}-\log_4 4x^3+8=0$の解は$x=[ケ]$である．
(8)$x+x^{-1}=7$のとき，$x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}$は$[コ]$である．ただし，$x>0$とする．
(9)$100$以下の自然数の中で，$4$で割ると$1$余る数の総和は$[サ]$である．
\mon $f^\prime(x)$を$f(x)$の導関数とする．$f^\prime(x)=3x^2-4x-1$，$f(1)=0$を満たすとき，$f(x)$を$f(x)=x^3+px^2+qx+r$とおくと，$p=[シ]$，$q=[ス]$，$r=[セ]$である．

次の空欄ア～サに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$2$つの異なる$2$次方程式$x^2+3px+4=0$，$x^2+3x+4p=0$が共通の実数解を持つとき，$p$の値は$[ア]$である．ただし，$p \neq 1$とする．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=4$，$\displaystyle \cos C=\frac{1}{3}$であるとき，$\sin A$の値は$[イ]$である．
(3)不等式$|2x|+|x-4|<6$を解くと，$[ウ]$となる．
(4)実数$x,\ y$が$(3+2i)x+(1-i)y+13+2i=0$を満たすとき，$x=[エ]$，$y=[オ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(5)点$\mathrm{Q}$が円$x^2+y^2=4$上を動くとき，点$\mathrm{P}(3,\ 0)$と点$\mathrm{Q}$の中点の軌跡の方程式は$[カ]$である．
(6)$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{5}$のとき，$\tan \theta=[キ]$である．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(7)$a=\log_{10}2$，$b=\log_{10}3$とするとき，$\displaystyle \log_{100}\frac{125}{9}$を$a,\ b$を用いて表すと，$[ク]$となる．
(8)等式$\displaystyle f(x)=x^2+4x-\int_0^1 f(t) \, dt$を満たす関数$f(x)$は，$[ケ]$である．
(9)数列$2,\ 4,\ 9,\ 17,\ 28,\ 42,\ \cdots$の第$n$項を$n$を用いて表すと，$[コ]$となる．
\mon 座標空間上に$3$つの点，$\mathrm{A}(1,\ 3,\ -1)$，$\mathrm{B}(-1,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{C}(2,\ 0,\ 1)$をとるとき，三角形$\mathrm{ABC}$の重心の座標は$[サ]$である．

袋の中に赤玉$3$個，白玉$2$個，青玉$1$個が入っている．

(1)袋から玉を$1$個取り出して，色を調べてからもとに戻すことを$2$回繰り返す．その結果，赤玉が$a$回，白玉が$b$回，青玉が$c$回出たとする．このとき，この結果を$(a,\ b,\ c)$と書く．

(i) この結果として得られる$(a,\ b,\ c)$は$[ト]$通りある．

(ii) $(a,\ b,\ c)=(2,\ 0,\ 0)$となる確率は$\displaystyle \frac{[ナ]}{[ニ]}$，

$(a,\ b,\ c)=(1,\ 0,\ 1)$となる確率は$\displaystyle \frac{[ヌ]}{[ネ]}$である．

(iii) $(a,\ b,\ c)$という結果に対し，得点$a+2b+3c$を与えることにすると，得点の期待値は$\displaystyle \frac{[ノ]}{[ハ]}$である．

(2)袋から玉を$2$個取り出したとき，赤玉が$\alpha$個，白玉が$\beta$個，青玉が$\gamma$個出たとする．このとき，この結果を$(\alpha,\ \beta,\ \gamma)$と書く．

(i) この結果として得られる$(\alpha,\ \beta,\ \gamma)$は$[ヒ]$通りある．

(ii) $(\alpha,\ \beta,\ \gamma)=(2,\ 0,\ 0)$となる確率は$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}$，

$(\alpha,\ \beta,\ \gamma)=(1,\ 0,\ 1)$となる確率は$\displaystyle \frac{[ホ]}{[マ]}$である．

(iii) $(\alpha,\ \beta,\ \gamma)$という結果に対し，得点$\alpha+2 \beta+3 \gamma$を与えることにすると，得点の期待値は$\displaystyle \frac{[ミ]}{[ム]}$である．

関数$f(x)=\log_3(x+1)+\log_9(3-x)$を考える．次の$[　]$をうめよ．

(1)$f(x)$の定義域は$[$①$]$である．また，整式$g(x)=[$②$]$に対し，$f(x)=\log_9g(x)$となる．
(2)整数$n$に対し$f(n)$の値も整数とする．このとき，$n=[$③$]$であり，$f(n)$の値は$[$④$]$となる．$x$を整数と限らなければ，$f(x)=[$④$]$となるのは，ほかに$x=[$⑤$]$のときがある．

次の問いに答えよ．

(1)$\log_{10}x+\log_{10}y-\log_{10}(y+1)=1$を満たす整数$x,\ y$に対して，
\[ x+y=[ア] \text{または} [イ] \]
が成り立つ．ここで$[ア]<[イ]$とする．
(2)$(100.1)^7$の$100$の位の数字は$[ウ]$であり，小数第$4$位の数字は$[エ]$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}>\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}=8$，$\displaystyle \cos A=\frac{9}{40}$であり，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とすると$\mathrm{AM}=5$である．このとき，
\[ \mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2=[オ],\quad \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC}=[カ] \]
である．したがって
\[ \mathrm{AB}=[キ] \sqrt{[ク]},\quad \mathrm{AC}=[ケ] \sqrt{[コ]} \]
である．