次の空欄$[ア]$から$[オ]$に当てはまるものをそれぞれ入れよ．

関数$f(t)$は$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$において微分可能で$f(t)>0$かつ$f^\prime(t)>0$をみたすとする．また$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{3} \right)=2$とする．
媒介変数表示$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}
x=f(t) \cos t \\
y=f(t) \sin t
\end{array} \right. \left( 0<t<\frac{\pi}{2} \right)$により定まる曲線を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(f(t) \cos t,\ f(t) \sin t)$における接線と$x$軸との交点を$\mathrm{A}(a(t),\ 0)$とすれば
\[ a(t)=\frac{(f(t))^2}{f^\prime(t) [ア]+f(t) [イ]} \]
となる．$\mathrm{O}$を原点とするとき，すべての$t$に対し$\mathrm{OP}=\mathrm{OA}$であれば$f$は
\[ f^\prime(t) [ア]+f(t) [ウ]=0 \]
をみたす．この式の両辺に$\cos t+1$をかけて整理すると
\[ \frac{d}{dt} \left( f(t) [エ] \right)=0 \]
となり，
\[ f(t)=[オ] [エ]^{-1} \]
が得られる．

次の空欄$[ア]$から$[ス]$に当てはまるものを入れよ．ただし連続した空欄$[シス]$は$2$桁の数字をあらわす．

$a$を正の定数とする．$2$点$\mathrm{A}(0,\ a)$，$\mathrm{B}(t,\ t^2)$の間の距離を$L(t)$とする．$L(t)$は$\displaystyle a \leqq \frac{1}{2}$の場合は$t=[ア]$で最小値$[イ]$をとり，$\displaystyle a>\frac{1}{2}$の場合は$|t|=[ウ]$のとき最小値$[エ]$をとる．
$\mathrm{A}(0,\ a)$を中心とする半径$1$の円$C_1$と放物線$C_2:y=x^2$が$2$点で接しているとき$\displaystyle a=\frac{[オ]}{[カ]}$であり，接点の座標は
\[ \left( \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right),\quad \left( -\frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right) \]
である．このとき，円$C_1$と放物線$C_2$で囲まれた図形（下の図の灰色の部分）を$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}\pi$である．
ただし，$2$つの曲線が共有点$\mathrm{P}$をもち，$\mathrm{P}$における$2$つの曲線の接線が一致す
るとき，これら$2$つの曲線は$\mathrm{P}$で接しているといい，$\mathrm{P}$を接点という．
（図は省略）

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)実数$x,\ y$が$x^2+y^2=5$を満たすとき，$x^2+3y+1$の最大値は$[ア]$であり，最小値は$[イ]$である．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & 1
\end{array} \right)$が$b+c=1$，$b>c$，$A^2+3A-3E=O$を満たすとき，$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．ただし，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とする．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$a,\ b$を正の定数とする．関数
\[ f(x)=a(1+\cos x)+b(3+\sin x) \quad (0 \leqq x<2\pi) \]
の最大値が$3$で最小値が$1$であるならば，$a+3b=[ア]$，$a=[イ]$である．
(2)$n$を自然数とする．$\displaystyle \frac{1}{n^2-3 \sqrt{2}n+5}$を最大にする$n$の値は$[ウ]$であり，そのときの最大値は分母を有理化すると$[エ]$である．

次の各問の$[　]$にあてはまる数を記入せよ．

座標空間内に点$\mathrm{P}(s+3,\ 2s-1,\ 2s+1)$と点$\mathrm{Q}(2s+3,\ 1-2s,\ s-1)$がある．ただし，$s$は実数全体を動く．次の問に答えよ．
(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さは
\[ \sqrt{[ア] \left( [イ]s^2-[ウ]s+[エ] \right)} \]
であり，$\displaystyle s=\frac{[オ]}{[カ]}$のときに最小値$\sqrt{[キ]}$をとる．

(2)$\mathrm{O}$を原点とし，$\theta=\angle \mathrm{POQ}$とする．$\cos \theta$のとる値の範囲を求めよう．$k=\cos \theta$とおくと
\[ k=\frac{[クケ]s+[コ]}{[サ]s^2+[シ]s+[スセ]} \cdots\cdots (*) \]
である．

(i) $\displaystyle s=-\frac{[コ]}{[クケ]}$のとき$k=0$となる．
(ii) $k \neq 0$のときに$(*)$を満たす実数$s$が存在するための条件は
\[ -\frac{[ソ]}{[タ]} \leqq k \leqq \frac{[チ]}{[ツ]} \]
である．

$(ⅰ),\ (ⅱ)$より$\cos \theta$のとる値の範囲は
\[ -\frac{[ソ]}{[タ]} \leqq \cos \theta \leqq \frac{[チ]}{[ツ]} \]
である．また，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[チ]}{[ツ]}$となるのは$\displaystyle s=\frac{[テ]}{[ト]}$のときである．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[ア]$，$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}=[イ]$である．
(2)$x^2-x+y-6=0$，$y \geqq 0$のとき，$6x+y$の最大値は$[ウ]$，最小値は$[エ]$である．
(3)$a>0$とする．円$x^2+y^2-2ax-4ay+4a^2-1=0$が$x$軸と接するとき，$a=[オ]$であり，直線$x+y-1=0$と接するとき，$a=[カ]$である．
(4)放物線$C:y=x^2-2$と直線$\ell:y=x$がある．$C$と$x$軸によって囲まれる部分の面積は$[キ]$であり，$C$と$\ell$によって囲まれる部分の面積は$[ク]$である．

以下の$[あ]$から$[お]$にあてはまるものを答えよ．

座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$，$\mathrm{C}(2,\ 4)$をとり，$\theta=\angle \mathrm{ABC}$とおく．ただし，$-1<b<2$とする．
(1)直線$\mathrm{AB}$の傾きと直線$\mathrm{BC}$の傾きを$b$を用いて表すと，それぞれ$[あ]$，$[い]$である．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$となるのは，$b=[う]$のときである．
(3)$\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{2}$のとき，$\tan \theta$を$b$で表すと，$[え]$である．
(4)$b$が$-1<b<2$の範囲を動くとき，$\theta$の値が最小となるのは，$b=[お]$のときである．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)放物線$y=x^2+2x$を$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$\displaystyle \frac{1}{2}p^2$だけ平行移動して得られる放物線$C$の方程式を求めると$y=[ア]$である．$C$と直線$y=x$が異なる$2$つの点で交わるような$p$の値の範囲を求めると$[イ]$である．
(2)$3$次の整式$F(x)$を考える．$F(x)$の$x^3$の項の係数は$1$であり，$xF(x)$を$x^2-3x+2$で割った余りは$2x$である．このとき，$F(2)$の値は$F(2)=[ウ]$であり，さらに，$F(-1)=2$であるとき，$F(-2)$の値は$F(-2)=[エ]$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さがそれぞれ$2,\ 3,\ x$であるとする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が最大になるような$x$の値を求めると$x=[オ]$である．また，$\angle \mathrm{ACB}$が最大になるような$x$の値を求めると$x=[カ]$である．
(4)$0<\alpha<\beta<\pi$のとき，座標平面上で，$2$点$\mathrm{A}(2 \cos \alpha,\ 2 \sin \alpha)$，$\mathrm{B}(2 \cos \alpha+\cos \beta,\ 2 \sin \alpha+\sin \beta)$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$を考える．$\mathrm{B}$の座標が$(1,\ 1)$のとき，$\cos \angle \mathrm{AOB}$の値は$\cos \angle \mathrm{AOB}=[キ]$であり，$\cos \alpha$の値は$\cos \alpha=[ク]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)循環小数$1. \dot{4} \dot{6}$を分数で表すと$[ア]$である．$1. \dot{4} \dot{6}+2. \dot{7}$を循環小数で表すと$[イ]$となる．
(2)$f(\theta)=\sqrt{3} \sin 2\theta-\cos 2\theta+\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta$とする．$x=\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta$として，$f(\theta)$を$x$で表すと$[ウ]$となる．$0 \leqq \theta \leqq \pi$であるとき，関数$f(\theta)$の最大値は$[エ]$である．
(3)$\displaystyle \left( \frac{4}{3} \right)^n$の整数部分が$10$桁になるような整数$n$は$[オ]$個ある．$n$がその中で$4$番目に小さい整数であるとき，$\displaystyle \left( \frac{4}{3} \right)^n$の最高位の数字は$[カ]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(4)円$(x-2)^2+y^2=1$と直線$y=mx$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとき，$m$の値の範囲は$[キ]$であり，原点を$\mathrm{O}$とするとき，線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{OQ}$の長さの積は$[ク]$である．
(5)図のように半径$r$の半球面に円柱が内接している．円柱の体積が最大になるのは円柱の高さが$[ケ]$のときであり，その円柱の体積は$[コ]$である．
（図は省略）

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)関数$\displaystyle f(x)=\left( \frac{1}{9} \right)^x-12 \left( \frac{1}{3} \right)^x+40 (-3 \leqq x \leqq -1)$を考える．$-3 \leqq x \leqq -1$のとき，$\displaystyle t=\left( \frac{1}{3} \right)^x$のとりうる値の範囲を求めると$[ア]$である．また，$f(x)$の最小値$m$とそのときの$x$の値を求めると$(m,\ x)=[イ]$である．
(2)$0 \leqq \theta < 2\pi$とする．方程式$\cos 2\theta+3 \cos \theta-1=0$を解くと$\theta=[ウ]$である．また，方程式$\displaystyle \log_3 (\sqrt{3} \tan \theta+1)+\log_3 (\cos \theta)=\frac{1}{2}$を解くと$\theta=[エ]$である．
(3)$2x^3-ax^2-2x+a$を因数分解すると$[オ]$である．また，$P(x)=2x^3-ax^2-2x+a$，$Q(x)=-x^2+(2a-1)x+2a$とおくとき，すべての正の$x$について$P(x)-Q(x)>0$が成立するような$a$の値の範囲を求めると$[カ]$である．
(4)四角形$\mathrm{ABCD}$が半径$4$の円に内接し，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=4 \sqrt{3}$，$\mathrm{CD}=\sqrt{3} \mathrm{DA}$とする．このとき，$\mathrm{AC}$の長さを求めると$\mathrm{AC}=[キ]$であり，$\mathrm{DA}$の長さを求めると$\mathrm{DA}=[ク]$である．